1.3.1　进位计数制及相互转换

1.几种常用的进位计数制

进位计数制很多，这里主要介绍与计算机技术有关的4种常用的进位计数制。

（1）十进制

十进位计数制简称十进制。十进制数的特点是“逢十进一”，任意一个十进制数都可用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字符号组成的字符串来表示，这些数字符号称为数码。

数码处于不同的位置将代表不同的数值。例如：

（169.6）10=1×102+6×101+9×100+6×10-1　　　　（1）

由（1）式可归纳出，任意一个十进制数K，都可表示成如下形式：

（K）10=Kn-1×10n-1+Kn-2×10n-2+…+K1×101+K0×100+K-1×10-1+K-2×10-2+…+K-m+1×10-m+1+K-m×10-m

式中的K为数码，取值范围为0～9；n为整数位个数，m为小数位个数，10为基数，10n-1、10n-2、…、101、100、10-1…10-m是十进制数的位权。在计算机中，一般用十进制数作为数据的输入和输出。

（2）二进制

计算机内部使用的是二进制数。二进制数的特点是只有两个数码符号——0和1，运算规则是逢二进一。例如：

（1010.1）2=1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1　　（2）

将（2）式与（1）式比较，便会发现二进制数的基数为“2”，而不是“10”。相应的位权也发生了变化，不是104、103、102、101、100，而是24、23、22、21、20。

（3）八进制

由于二进制数太长，不便记忆，因而在计算机中还经常使用八进制数和十六进制数。八进制数的特点是逢八进一，每一个八进制数都由0～7这8个数码来表示。

（4）十六进制

十六进制数的特点是逢十六进一，每一个十六进制数都是由0～9这10个数码再加上A、B、C、D、E、F这6个字母来表示，A～F分别对应10～15这6个数。

计算机中常用的几种进位计数制如表1-2所示。

2.不同进位制数间的转换

由于计算机使用的是二、八、十六进制，而人们习惯于用十进制进行计算，因此，在计算机和人交流信息的过程中就必须进行相应的数据转换。

（1）R进制转换为十进制

方法：按权展开求和，即个位数字乘100，十位数字乘101，百位数字乘102……。下面分别是十六进制、八进制、二进制转换成十进制的示例：

（354）H=（3×162+5×161+4×160）D=（768+80+4）D=（852）D

（254）O=（2×82+5×81+4×80）D=（128+40+4）D=（172）D

（11010）B=（1×24+1×23+0×22+1×21+0×20）D=（16+8+0+2+0）=（26）D

（2）十进制转换成R进制

将一个十进制整数转换成R进制是采用“除R逆序取余”法，即将十进制整数连续地除以R取余数，直到商为0为止，余数从下到上排列。

小数部分转换成R进制是采用“乘R顺序取整”法，即将十进制小数不断地乘以R取整数，直到小数部分为0或达到一定精度为止，余数从上到下排列。

例如：将十进制数100.8125转换成二进制数。转换结果为（100.8125）D=（1100100.1101）B。

再如：将十进制数193.15转换成八进制数。转换结果为（193.15）D≈（301.11463）O。

（3）二进制与八进制、十六进制之间的转换

由于二进制、八进制和十六进制之间存在特殊关系：81=23、161=24，即1位八进制数相当于3位二进制数，1位十六进制数相当于4位二进制数，因此转换方法比较容易。

①二进制数转换成八进制数时，整数部分是从最后一位开始向左数，三个数一组，不足用“0”补上；小数部分则是从第一位开始向右数，3个数一组，不足用“0”补上。

例如：将二进制数（10101011.110101）B转换成八进制数。

（整数高位补0）

再如：将八进制数（2731.62）O转换成二进制数。

（整数前的高位0可取消）

②二进制数转换成十六进制数时，与二进制转换为八进制类似，只不过是每4位为一组，两头不足4位补0即可。

例如：将二进制数（10101011.110101）B转换成十六进制数。

（小数低位补0）

再如：将十六进制数（2D5C.74）H转换成二进制数。

（整数前的高位0和小数后的低位0可取消）

二进制、十进制、八进制、十六进制的对应关系如表1-3所示。