第3节 纳什均衡

诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森曾经说过：如果你想把一只鹦鹉训练成经济学家，只需要让它掌握两个词语：供给与需求。后来博弈论专家坎多瑞又补充为：想成为经济学家，只懂得的供给与需求还不够，你还需要多掌握一个词，那就是“纳什均衡”。

“纳什均衡”的概念来自纳什的两篇论文《n人博弈中的均衡点》和《非合作博弈》，纳什在论文中介绍了合作性博弈与非合作性博弈的区别，并给出了“纳什均衡”的定义。

“纳什均衡”，简单地说就是多人参加的博弈中，每个人根据他人的策略制定自己的最优策略。所有人的这些策略组成一个策略组合，在这个策略组合中，没有人会主动改变自己的策略，那样会降低他的收益。只要没有人做出策略调整，任何一个理性的参与者都不会主动改变自己的策略。这个时候，所有参与者的策略便达成了一种平衡，这种平衡便是“纳什均衡”。

博弈论是应用数学的分支，因此最严谨的“纳什均衡”表达方式需要用数学公式。用数学方式表达的“纳什均衡”的定义：在博弈G={S1，……，Sn：u1，……，un}中，如果由各个博弈方的各个策略组成的某个策论组合（s1*，……，sn*）中，任一博弈方i的策论si*，都是对其余博弈方策略的组合（s1*，……s*i-1，……s*i+1……，……，sn*）的最佳对策，也即ui（s1*，……s*i-1，si*，s*i+1，……，sn*）≥ui（s1*，……s*i-1，sij*，s*i+1，……，sn*）对任意sij∈Si都成立，则称（s1*，……，sn*）为G的一个“纳什均衡”。

如果你的数学不够好，这串数学表达式让你阅读起来有难度的话，请不要担心，本书中主要的表达方式是语言描述加上通俗易懂的表格，此处引用数学表达式，只为严谨。

“纳什均衡”主要用来研究非合作博弈中的均衡，因此也被称为非合作博弈均衡。“纳什均衡”的一个特别之处在于通俗易懂，有人把“纳什均衡”比喻成锅里的乒乓球。如果你把几个乒乓球放到锅里，它们便会向锅底滚去，并在锅底相互碰撞，最后停住不动的时候便达成了一种平衡，这个时候如果动了其中的一个，其他乒乓球便会受影响，如果想要保持住这种平衡，就不能动其中任何一个乒乓球，一直保持下去。这个比喻中，乒乓球代表各参与者的策略，乒乓球最后停留在锅底形成的平衡便是“纳什均衡”。

“囚徒博弈”这个案例前面我们已经介绍过了，它是“纳什均衡”最有名的案例，我们再简单回想一下。甲乙两位盗贼犯罪后被警察抓住，警察对他们进行单独审讯，并分别告诉他们：如果一方坦白招供，另一方抵赖、拒不认罪，那么招供一方可以当即释放，抵赖的一方则要判刑10年；如果双方都认罪，每人判8年；如果双方都拒不认罪，那么警方会因为证据不足，只能判处他们私闯民宅，不能判处他们入室盗窃，每人只判1年。用矩阵图表示如下：

“纳什均衡”中，一方会根据对方的策略制定自己的最优策略。通过上面图表可以看出“囚徒困境”中包含着两个“纳什均衡”：（8，8）和（1，1）。如果罪犯甲选择坦白，罪犯乙的最优策略也是选择坦白；如果罪犯甲选择不坦白，罪犯乙的最优策略也是选择不坦白。其中，两名罪犯都选择不坦白得到的“纳什均衡”是一种好均衡，双方都选择坦白得到的均衡是一种坏均衡。

这个案例中，由于两人被隔离审讯，不能串供，因此都不知道对方的策略。这个时候，受到自保的本能和心理的影响，他们会选择坦白。原因很简单，若是坦白最多坐8年牢，若是不坦白最多坐10年牢。再说了，要是侥幸同伙不坦白而自己坦白的话，就可以当即释放了。这样来看，坦白是最好的选择。其实，他的同伙也是这样想的，也选择坦白，最终两人每人被判8年，警察收到了自己满意的结果。由于信息的不沟通，两人为了自己最大利益的追求放弃了好的均衡，选择了坏的均衡。

根据“纳什均衡”的定义我们可以知道，一场博弈中并不一定只有一个“纳什均衡”，但是均衡之间有好坏之分。比如“囚徒困境”中，两名囚犯同时选择不坦白，得到的均衡便是好的均衡。同时选择坦白，得到的均衡便是坏的均衡。好均衡的结果是双方受益，坏均衡的结果是双方亏损，或者受益没有好均衡那样多。“纳什均衡”中各方策略的制定都是对对方策略的最佳反应，以为自己争取最大利益为目的，好均衡与坏均衡都是如此。

好均衡与坏均衡之间有时候可以转换。古时候，楚国和魏国交界处有一个小县城，城中的居民都以种瓜为生。有一年，天气大旱。魏国一边的村民比较勤劳，白天挑水浇瓜，瓜苗长势喜人；而楚国一边的村民比较懒，所以瓜苗长得又枯又黄。楚国村民看着魏国一边的瓜苗绿油油一片，而自己这边又枯又黄，于是心生嫉妒，夜里组织人到魏国一边去搞破坏，将瓜苗拔出来扔到一边。

魏国的村民知道之后，非常气愤，决定以牙还牙，报复楚国的村民。但是，村长却反对这样做。他认为报复的结局是两败俱伤，最终两个村到了秋后谁也收获不了瓜。最后村长提出了一个想法，那就是以德报怨，晚上组织村民偷偷到楚国一边的村庄田地里，替他们给瓜苗浇水。

村民们按照村长说的去做，最后楚国的村民看到自己田里的瓜苗变绿了，并且知道是魏国的村民晚上来偷偷浇水，都感到非常羞愧。为了表示歉意，楚国村民晚上偷偷到魏国村庄的田地里去替他们重新种上了瓜苗。最终，双方平安无事，从此和谐相处。

我们看一下其中的均衡是如何转换的，我们将这个故事中双方的博弈制作成一个简单的博弈模型。假设选择去损毁对方瓜苗为A策略，而选择去以德报怨，相互帮助为B策略。瓜苗被损毁，所得利益为0，没有被损毁所得利益为10。这样我们就会得到一个简单的博弈矩阵图：

这场博弈中存在两个“纳什均衡”：如果一方选择损毁对方瓜苗，另一方的最优对应策略是选择报复，再一个便是双方同时选择相互帮助。两个均衡的结果也截然相反，第一个均衡的结局是（0，0），两败俱伤，第二个均衡的结果是（10，10），实现双赢。可见双方相互报复的平衡是坏平衡，相互帮助的平衡是好平衡。

很明显，（A,A）的策略组合是一种坏的策略组合，因为它会导致（0，0）的最坏结局。不过，这仍是一种“纳什均衡”。因为对方选择A策略的时候，你的最优选择也是A策略，这个时候形成的策略组合便是“纳什均衡”。同样，（B,B）的策略组合也是“纳什均衡”，（10，10）的结果是双方都想得到的。（A,B）和（B,A）的策略组合不是“纳什均衡”。这也说明一场博弈中可以有多个“纳什均衡”，并且有优劣之分。

故事中楚国最先选择了A策略，按照博弈论的分析，选择A策略是魏国的最好的回应，也就是以牙还牙。这种想法非常符合我们日常的行为习惯，你不让我好过，我也不让你好过。这样选择的结果将会达成一种平衡，不过是坏的平衡。但是魏国人没有选择报复，而是用行动来感化对方，选择了B策略。最终楚国人被感化，也选择了B策略，双方达成了一种新的均衡。这时候的均衡是一种好的“纳什均衡”。

这里面存在一个问题，那就是博弈模型同现实情况之间的差异。理性的博弈分析中，选择报复是最优决策。而现实情况中则要考虑很多其他影响因素，比如以后低头不见抬头见之类的。以德报怨不是博弈分析中的最优决策，但是却可以解决现实问题。相互报复会陷入恶性循环，“冤冤相报何时了”，所以即使不能感化对方，也不应该采取报复。再说，魏国村民之所以会做出以德报怨的决策，肯定是对楚国村民的民风民俗很了解，知道他们会被感化。若是同水火不容的敌人之间，则不会有忍让。这些都是出于对现实情况的考虑。