2.3 单利与复利

2.3.1 单利与复利的定义

单利和复利是两种计算利率的方式，而非两种不同的利率。

所谓单利，就是在计算存款利息时，每年的利息都以同一本金为基础进行计算，这也就意味着当前所得利息不再参与下一期的利息计算。例如，100元的4年期银行存款，如果按年利率10%单利方式计算利息，那么，在未来4年内，该笔存款每年计提的利息都是10元，4年内该存款的本金和利息之和为140元（即本金100元，4年内的利息之和为40元），如图2-2所示。

注：实线对应着本金的传递，虚箭头对应着利息的生成。

所谓复利，就是在计算存款的利息时，本期利息在下一期具有和本金相同的取得利息的权利，且按相同的利息率进行计算。例如，100元的4年期银行存款，如果按年利率10%、复利方式计算利息，那么该存款在未来4年内的利息情况如图2-3所示。

注：实线对应着本金的传递，虚箭头对应着利息的生成。

2.3.2 现实中的单利与复利

1. 关于单利的实践问题

前文中的单利定义只说明了利息的计算方式，没有涉及利息的支付方式。事实上，即使同时单利核算利息，由于利息支付方式不一样，所得的效果是不一样的。

借用前文的例子，若当前存入（或借出）的100元钱，在未来4年内采取单利方式计算利息，所有利息在到期时一次交付，则本金和利息的变化情况如图2-4所示。在到期前，似乎针对每期都会有利息计算，但是并不进行利息的支付，因此，每一期的利息都失去了在下一期获取利息的权利，与接下来将要提到的情况相比。这种“失去”是永远的、不可改变的。

注：实线对应着本金的传递，虚箭头对应着利息的生成。

如果以单利方式计算的利息，在支付方式上发生改变：每一期末都计算利息，并实施利息支付；该利息支付后，即失去了参与下一期利息计算的机会，如图2-5所示。由于利息在各期末被支付，不能和本金一期参与下一期的利息核算，因此这仍然属于单利情形。但是这种情形下的收益效果与前面的方式却有所不同。问题的关键在于受益人自己如何处理利息。如果受益人取得利息后，将利息取出，以现金方式持有到期，那么，该方式与上一种方式就没有区别。如果受益人在每次取得利息后，都选择继续存入银行，那么每一期的利息都在下一期取得时间价值，这种情况类似于复利方式，但是显然不可以和复利等同。因为在复利方式下，每一期的利息和本金在取得时间价值的权利上是等同的，即所使用的利息率是一致的。而本处所举例子中，每一期的利息在下一期进行利息核算时，所使用的利率却可能是不一样的。

注：实线对应着本金的传递，虚箭头对应着利息的生成。

采取与上面类似的例子。假定本金100元，银行给出的五年期单利利率为10%；未来5年内银行的一年期定期存款利率分别为6%、7%、8%、9%、10%；对于复利的情况，考虑两个复利利率，分别为5年期复利利率10%，和5年期复利利率6%。现在来比较一下，单利方式下两种不同利息处理方式的收益，以及它们与复利方式下收益之间的关系。

（1）采取单利方式，利息在第五年末时一次性支付。5年后本利和为150=100+10%×5。

（2）采取单利方式，利息在每期期末支付，但是被立即存入银行。5年后的本利和为

159.79=100×10%×（1+7%）×（1+8%）×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+8%）×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+10%）+100×10%+100

（3）采取复利方式。当复利利率为10%时，5年后的本利和为161.05=100×（1+10%）5；当复利利率为6%时，5年后的本利和为133.82=100×（1+6%）5。

在利率相同的情况下，第一种单利操作方式所得的利息总量无疑是最少的。第二种单利操作方式下，利息实现了利滚利，和复利已经没有实质性区别，不同地方有两个：其一，它的滚利利率在各时段可能不太一样；其二，单利情况下的滚利是否能够实现，必须由个人到银行去做出指令，银行不会自动实施执行。

现实生活中，单利计息方式通常流行于一些比较偏远的地区、邻里熟人之间，发达金融市场中基本不会存在单利计算，因为发达金融市场中的金融工具种类齐备、交易方便，资金很难被沉淀，人们都在力争实现所有的时间价值。但是也有一种金融资产的价值核算与单利计算及支付非常相似，那就是付息债券（后文将有详细介绍）。该类债券按照面额发行，每单位时间支付固定的利息，利息的处理方式由受益人自主决定，发债方没有义务为期在随后的时段内进行复利。

2. 关于复利的实践问题

前文中的复利定义指出，在协定的复利时间区间内，每一期的利息和本金在下一期都享有取得相同的时间价值的权利。这里需要明确的一点是，这并不意味着复利必须在每个单位时间内采取相同的利率。只要契约有明确规定，我们可以采取以下两种复利方式进行资金的存、贷。

例如，你现在想将钱存4年，可以有两种方式。

一种方式是选择以（即期）长期利率进行复利，对应的利率为R0×4，如果当前本金为10 000元，那么4年后你将获得10 000×（1+R0×4）4的本利和。以R0×4=3.5%为例，则4年后的本利和为11 519.64元。

另一种方式是选择在契约中规定按远期利率连续滚存（即要求存储机构每年末自动将本利和一起转入下一期进行复利），对应的年利率分别为R0×1，R1×2，R2×3，R3×4，如图2-6所示。如果当前本金为10 000元，那么4年后你的本利和为10 000×（1+R0×4）×（1+R1×2）×（1+R2×3）×（1+R3×4）。假如远期利率分别为R0×1=3.2%，R1×2=3.35%，R2×3=3.55%，R3×4=3.80%，则4年后的本利和为11 464.04元，与前一种方式相比，要少55.60元，相当于对烦琐手续的补偿。

当前采取该种方式进行复利的存款类产品尚未发现，原因是现实情况远比上面的例子复杂：现实的未来利率和预期的远期利率之间存在不确定的差异！因此利息的收、支双方都存在着利率变化的风险。沿用上面的例子，协议利率仍如图2-6所示，但是实际的利率却变为R0×1=3.0%，R1×2=3.1%，R2×3=3.2%，R3×4=3.3%，利息的支付方将因此损失143.27元。相反地，如果未来的市场利率上升了，这种复利方式将导致利息收入方受损。