1.3　数学建模示例

【例1.1】　宾馆定价问题　某宾馆有150间客房，经过一段时间的经营实践，该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为200元，入住率为55％；定价为180元，入住率为65％；定价为160元，入住率为75％；定价为140元，入住率为85％。欲使每天的收入最高，问每间客房的定价应为多少？

（1）模型假设

假设1：每间客房的最高定价为200元。

假设2：根据题目提供的数据，可设随着房价的下降，入住率呈线性增长。

假设3：宾馆的每间客房的定价相等。

（2）模型建立

设y表示宾馆一天的总收入，与200元相比每间客房降低的房价为x元。由假设2可得，每降低1元房价，入住率就增加。因此

y=150×（200-x）×（0.55+0.005x）

由0.55+0.005x≤1，可知0≤x≤90。于是问题转化为求当0≤x≤90时，总收入y的最大值是多少？

（3）模型求解

利用一元函数微分学的知识，令y'=150×（0.45-0.01x）=0，得当x=45，即房价定为155元时，可获得最高收入18018.75元。此时，相应的入住率为77.5％。

【例1.2】　城市人口问题　人口统计学家已经发现：每个城市的市中心人口密度最大，离市中心越远人口越稀少、密度越小。最为常见的人口密度模型为（每平方千米人口数），其中a，c为大于0的常数，r是距市中心的距离。如何求某城市的总人口数？

（1）问题分析

为了确定区间，设市中心位于坐标原点，于是，从而人口密度函数为。

根据相关数据可知：某城市市中心的人口密度为：f=105。

在距离市中心10km时的人口密度为：。

并且该城市为半径30km的圆形区域。

（2）模型求解

先确定人口密度中的常数a，c。

由r=0，f=105；r=10，，可得，c=105，

因此人口密度函数为：。

从而该城市的总人口数就是人口密度函数的积分，其中积分区域D为0≤r≤30，0≤θ≤2π，即

【例1.3】　名画伪造案的侦破问题　《Emmaus的信徒们》是17世纪荷兰大画家JanVermeer的名画。第二次世界大战后，荷兰安全机关开始追捕纳粹党徒。1945年5月29日，法国三流画家H.A.van Meegeren因通敌罪被捕。Meegeren供认卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是他制作的赝品，当时荷兰当局认为他的供词是假的，目的是想逃脱通敌的罪名。著名艺术史专家A.Bredius也证明说，那件《Emmaus的信徒们》是Vermeer的原作，该画当时已被Renbradt协会以17万美元买去。可是，仍有一部分人坚持认为《Emmaus的信徒们》是Meegeren制作的赝品。他们认为Meegeren因为自己在艺术界名气太小而极为不满，于是带着狂热的情绪临摹了这幅名画，以显示他比三流画家强。此事在当时轰动了全世界。

这样，对Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》究竟是赝品还是Vermeer的原作，就不得而知，该案一直悬而未决。直到1967年，Carneigie-Mellon（卡内基-梅隆）大学的科学家们通过建立数学模型，并利用测得的一些数据，证实了上述所谓的名画确实是赝品，从而使这一悬案得以告破。那么，科学家们是怎样利用数学建模的方法来证实的呢？

众所周知，所有的绘画颜料中都含有放射性元素铅-210（210Pb）和镭-226（226Ra），而这两种重金属元素都会发生衰变，科学家们就是从这一点上找到了突破口。

（1）模型假设

为了使问题明确具体，设y（t）是颜料中铅-210（210Pb）的含量，r（t）是t时刻每分钟每克颜料中镭-226（226Ra）的衰变数量。

（2）模型建立

利用著名物理学家卢瑟福的原子物理理论，可以建立下列微分方程模型：

由于镭-226的半衰期约为1600年，而现在仅对300年左右的时间感兴趣，因此可设镭-226保持常数r。

（3）模型求解

求解上述微分方程的初值问题，得方程的特解为：

其中y（t）和r可以用仪器直接测量出来，要求出t-t0，只需要求出y0和λ即可。

下面先计算λ，令N（t）表示放射性元素铅的原子数，则有

解得

N（t）=N0e-λ（t-t0）

即

又已知铅的半衰期为22年，故得：。

再来计算y0，由式，得

λy0=λy（t）eλ（t-t0）-r［eλ（t-t0）-1］

如果这幅画是真品，应该有300年的历史，可以取t-t0=300，于是得

λy0=λy（t）e300λ-r（e300λ-1）

由于镭-226的衰变率r=0.8，铅-210的衰变率yλ=8.5，故（借助数学软件可求）

λy0=8.5e300λ-0.8（e300λ-1）=98050

（4）模型应用

λy0=98050这个数太大了，与真实情况不符，因此可以证明Meegeren卖给德国人的《Emmaus的信徒们》是赝品。不仅这样，Carneigie-Mellon大学的科学家们利用上述方法，对其他有质疑的油画都作了鉴定，判断了真伪。

成功利用数学模型进行案件侦破的例子有很多，充分显示了数学模型强大的应用价值。

【例1.4】　循环比赛名次问题　若5个队进行单循环比赛，其结果是：1队胜3队、4队；2队胜1队、3队、5队；3队胜4队，4队胜2队；5队胜1队、3队、4队。按直接胜与间接胜次数之和排名次。

（1）模型的分析与建立

用邻接矩阵A来表示各个队直接胜的情况：A=（aij）5×5，若第i队胜第j队，则aij=1，否则aij=0（i，j=1，2，3，4，5）。由此可得：

（2）模型求解

A中各行元素之和分别为各队直接胜的次数，分别为2，3，1，1，3。可见按直接胜次数排名有2队与5队并列，3队与4队并列。

间接胜的邻接矩阵为：

A2中各行元素之和分别为各队间接胜的次数，分别为2，6，1，3，4。于是A+A2中各行元素之和分别为各队直接胜与间接胜的次数，分别为4，9，2，4，7。可见按直接胜与间接胜的次数之和排名仍有1队与4队并列。那么继续求出

于是A+A2+A3中各行元素之和分别8，16，5，10，13。可见按直接胜与间接胜的次数之和排名结果为2队、5队、4队、1队、3队。

【例1.5】　工资问题　现有一个木工、一个电工、一个瓦工和一个粉饰工，四人相互统一彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们约定每人工作13天（包括在自己家干活），每人的日工资根据一般的市价在100～130元，每人的日工资数应使得每人的总收入和总支出相等。表1.1是他们协商后制订出的工作天数的分配方案。如何计算出他们每人应得的日工资以及每人房子的装修费用（只计算工钱，不包括材料费）？

（1）模型的分析与建立

这是一个“收入-支出”平衡的闭合模型。设木工、电工、瓦工和粉饰工的日工资分别为x1，x2，x3，x4（元），为满足“平衡”条件，每人的收支相等，即要求每人在这14天内的“总收入=总支出”，则可建立线性方程组：

整理得齐次线性方程组

（2）模型求解

可以利用初等行变换求解上述方程组：

即（x1，x2，x3，x4）T=k（54，63，60，59）T，为了使x1，x2，x3，x4取值为100～130，可令k=2，得x1=108，x2=126，x3=120，x4=118。

所以，木工、电工、瓦工和粉饰工的日工资分别为108元、126元、120元和118元。于是，每人房子的装修费用相当于本人13天的工资，因此分别为1404元、1638元、1560元和1534元。

【例1.6】　有趣的蒙特莫特问题　新年即将来临，班里准备举办一次联欢活动。小明提议每人带上一件小礼物，放在一起；然后再用抽签的方式各取回一件作为纪念品。这一提议立即引起了大家的兴趣，多数同学都认为这个办法有新意。可也有人提出疑问：这样抽取纪念品是否会有多数人将自己带去的礼物又抽回去了呢？

（1）模型分析

上述问题实际上是一个有名的数学问题，早在1708年就由法国数学家蒙特莫特提出了，因此又称为“蒙特莫特问题”或称为“配对问题”。用概率论的知识可以计算：如果有n个人参加这项活动，至少有一人取回自己所带礼物的概率以及平均有多少人会取回自己所带的礼物？

（2）模型假设与符号说明

假设1：整个班级共有n个同学。

假设2：每位同学都随机的挑选一个礼物作为纪念品。

记Ai=“第i个人取回自己所带礼物”（i=1，2，…，n），则“n个人中至少有一人取回自己所带的礼物”。

（3）模型的建立与求解

由概率的加法公式与乘法公式可得：

当n较大时，至少有一人取回自己所带礼物的概率约为

再引入随机变量，而

（4）模型分析与检验

利用概率的加法公式和乘法公式进行配对问题的概率计算。其结果表明：采用这种抽取纪念品的方式虽然可能有人会取回自己所带的礼物，但这n个人中（无论n多么大！），平均来说只有一人能取回自己所带的礼物。因此，作为一项娱乐活动，小明的提议是可以得到采纳的。

（5）模型应用

配对问题是非常普遍的概率问题，不同的提法还有装信封问题、匹配问题、相遇问题等。配对问题的解决方法在经济管理中有着重要的应用。值得指出的是：无论n等于多少，配对个数的期望值和方差均等于1。