§1　随机事件及样本空间

一、随机事件及其有关概念

为了揭示随机现象的规律性，如前所述，需要做有下面三个特点的试验。

（1）在相同的条件下可以重复地进行；

（2）每次试验的结果不止一个，但试验的所有可能结果预先是明确的；

（3）每次试验之前不能预先确定哪一种结果会出现。

这种试验称之为随机试验（random experiment），简称试验，记作E。

上面提到的投掷一枚硬币，观察哪一面朝上的试验；掷一颗正六面体的骰子，观察出现的点数的试验都是随机试验。又如

E1：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数；

E2：将一枚硬币抛三次，观察“币值”面朝上的次数；

E3：掷两颗骰子，观察其出现的点数之和。

这些试验都具有随机试验的三个特点。今后，通过随机试验来研究随机现象。

随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（simple event），通常用小写的希腊字母ω表示。在随机试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中呈现统计规律性的事件统称为随机事件，简称事件。基本事件是随机事件中最简单的一类，由基本事件复合而成的事件称为复合事件。在每次随机试验中，一个复合事件发生，当且仅当构成该复合事件的任一基本事件发生。如掷一颗骰子的试验中，其出现的点数，“1点”、“2点”……“6点”都是基本事件。出现偶数点，它是由出现“2点”或“4点”或“6点”三个基本事件组成的，这是个复合事件。

在每次试验中必然发生的事件称为必然事件，用字母Ω表示；必然不发生的事件称为不可能事件，用符号ф表示。如掷一颗骰子，出现的点数“大于或等于1而小于或等于6”，这是必然事件，而出现的点数“等于7”，这是不可能事件。应当指出，必然事件或不可能事件都具有确定性，但为了今后研究的方便，仍将这两种事件看成特殊的随机事件。

二、随机事件的关系及其运算

在随机现象的研究中，需要考虑不同随机事件之间的相互关系，以及用相对简单的随机事件来表示复杂的随机事件。例如，检验某种圆柱形构件产品的外形尺寸。如果规定只有它的长度与直径都合格时才能成为合格品，那么“产品合格”与“直径合格”、“长度合格”这三个事件之间有着密切的关系。因此，有必要讨论事件之间的相互关系与运算。

（1）如果事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A⊂B或B⊃A。例如，“直径不合格”⊂“产品不合格”。

若A⊂B且B⊂A，则称事件A与事件B相等，记为A=B。

对任一事件A，规定ф⊂A。显然，A⊂Ω。

（2）两事件A与B至少有一个发生所构成的事件称为事件A与B的和事件，记为A∪B。例如，“直径不合格”∪“长度不合格”=“产品不合格”。

类似地，n个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生所构成的事件称为这n个事件的和事件，记为A1∪A2∪…∪An，简记为。同样，表示事件组“A1，A2，…，An，…”中至少有一个发生所构成的事件。

（3）两个事件A与B同时发生所构成的事件称为事件A与B的积事件，记为A∩B或AB。例如，“直径合格”∩“长度合格”=“产品合格”。

事件组A1，A2，…，An同时发生，记为。事件组A1，A2，…，An，…同时发生，记为。

（4）如果事件A与B不能同时发生，即AB=ф，则称事件A与B互斥（或互不相容）。例如，“直径不合格”与“产品合格”互斥。

（5）如果事件A和B满足A∪B=Ω且AB=ф，则称事件A与B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。记为或。例如，“直径合格”与“直径不合格”互为逆事件。换言之，事件A与事件B互为对立事件，指的是在每次试验中，事件A，B中必有一个发生，且仅有一个发生。

（6）由事件A发生而事件B不发生所构成的事件称为事件A与事件B的差事件，记为A-B。例如，“直径合格”-“长度不合格”=“产品合格”。

显然，。。

设A，B，C表示事件，随机事件之间的上述关系与运算具有如下几条性质。

（1）若A⊂B，B⊂C，则A⊂C。

（2）A∪B=B∪A。

（3）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。

（4）（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）；A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

（5），若A⊂B，则。

（6）；。

上述性质的证明都很容易，下边只证对偶性质，其余留给读者做练习。

按照事件相等的定义，若发生，则A∪B不发生，即A与B均不发生，换言之，发生且发生，亦即发生，于是。同理可证。所以。

三、样本空间

为了使概率论建立在严密的理论基础上，须引进样本空间的概念。

随机试验E的所有可能结果，即基本事件全体组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω。样本空间的每一个元素，即每一个基本事件，称为样本空间的样本点。

例如，在前面列举的E1中，若用ei表示电话总机在一分钟内接到i次呼唤，则E1的样本空间为Ω1={e0，e1，e2，…，en，…}；在E2中，若用i表示“币值”面朝上的次数，则E2的样本空间为Ω2={0，1，2，3}；在E3中，若用i表示掷两颗骰子出现的点数之和，则E3的样本空间为Ω3={2，3，4，5，6，…，12}。

样本空间的元素是由试验目的确定的，例如，掷两颗骰子，观察一点朝上的个数i，此时，样本空间Ω={i｜i=0，1，2}。这与E3的样本点的意义不同，样本空间也不同。

样本空间是概率论最基本的一个概念，它把事件与集合联系起来，用集合表示事件；由一个样本点组成的单点集就是基本事件，试验E的样本空间Ω的子集为E的随机事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释。

随机事件之间的关系与运算可以表示为一个示意图，称为随机事件的Venn图（Venn diagram）。在Venn图中，用平面上的矩形表示样本空间（即必然事件），矩形内的任一子区域表示一个随机事件，如图1-1所示，图中的两个圆形表示事件A和事件B。

【例1】　从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1，2，3）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品；三次中不多于两次取到合格品。

解　三次都取到了合格品：A1A2A3；

三次中至少有一次取到了合格品：A1∪A2∪A3；

三次中恰有两次取到合格品：；

三次中最多有一次取到合格品：；

三次中都不多于两次取到合格品：。