习题三

1.设X的分布律为求EX，E（-X+1），E（X2）。

2.银行抽奖共有三种奖，头奖250元，二奖100元，三奖50元；头奖1个，二奖2个，三奖5个。共有1000个储户，每户各有一个号码。问每户得到奖金的数学期望是多少？

3.设X表示10次重复独立射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求E（X2）。

4.已知随机变量X服从二项分布B（n，p），且E（X）=1.6，var（X）=1.28，求n和p。

5.设X的分布密度为，求E（X），E（X2），var（X）。

6.对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间［a，b］内，求球的体积的平均值。

7.某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）（设产品是否为次品是相互独立的）。

8.轮船横向摇摆的随机振幅X的分布密度为

求（1）A；（2）E（X）；（3）遇到大于其振幅均值的概率；（4）var（X）。

9.对某一目标进行射击，直到击中为止，如果每次命中率为p，求（1）射击次数的分布律；（2）射击次数的期望与方差。

10.证明：当k=E（X）时，E（X-k）2的值最小，最小值为var（X）。

11.设随机变量X的密度函数为

求E（2X），E（e-2X）。

12.设（X，Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求E（X），E（-3X+2Y），E（XY）。

13.设（X，Y）的密度函数

求的均值。

14.设X，Y相互独立，分布密度分别为

求E（XY）。

15.若随机变量X和Y不相关，证明var（X+Y）=var（X）+var（Y）。

16.设（X，Y）的密度函数为

求E（X），E（Y），var（X），var（Y）及协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY。

17.设（X，Y）服从区域D={（x，y）｜0≤x≤1，0≤y≤x}上的均匀分布，求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY。

18.设（X，Y）的联合分布律为

（1）求E（X），E（Y）；（2）设Z=Y/X，求E（Z）；（3）设Z=（X-Y）2，求E（Z）；（4）讨论X和Y的独立性。

19.假设（X，Y）在闭圆域x2+y2≤r2上服从均匀分布，（1）求X和Y的相关系数ρXY；（2）问X和Y是否独立？

20.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周内5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次以上（包括三次）故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？