1.2　行列式的性质

1.2.1　行列式的性质

行列式的计算是本章的重点内容，用行列式的定义计算行列式，只有对某些特殊的行列式才较为可行，比如上三角行列式.对于一般的行列式，随着阶数n的增大，用定义来计算是极其复杂的.本节将讨论行列式的性质，利用这些性质可大大简化行列式的计算.

设

即DT是由D行列位置互换后得到的，称DT为D的转置行列式.

性质1　行列式D与它的转置行列式DT相等.

证明　记，即bij=aji（i，j=1，2…n），

由行列式定义

此性质表明行列式中行与列的地位是对等的，因而以下对行成立的性质对列也成立.

性质2　互换行列式的两行（列），行列式变号.

证明　设行列式

是由行列式det（aij）对换i，j两行得到，即当k≠i，j时，bkp=akp；当k=i，j时，bip=ajp，bjp=aip，

其中，1…i…j…n为自然排列，t为排列p1…pi…pj…pn的逆序数.

设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为t1，则，故

以ri表示行列式D的第i行，以cj表示其第j列.交换D的i，j两行记作ri↔rj；交换D的i，j两列记作ci↔cj.

推论1　如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.

证明　两行互换后D=-D，故D=0.

性质3　行列式的某一行（列）中所有的元素乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式.即

　　证明

第i行（或列）乘以k，这种运算记作ri×k（或ci×k）.

推论2　行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面.

第i行（或列）提出公因子k，这种运算记作ri÷k（或ci÷k）.

性质4　行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.

证明　略.

性质5　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则有下式成立：

　　证明

性质6　行列式的某一行（列）元素加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式不变，

即i≠j时，

以数k乘第j行加到第i行上，这种运算记作ri+krj.

　　证明

例5　　利用行列式的性质计算下列行列式

（1）

（2）

　　解

1.2.2　利用行列式的性质计算行列式

如何计算行列式是本章的重点内容，从1.1中例4可以看到，上（下）三角形行列式的值等于对角线上元素的积.因此，若能利用行列式的性质将所给行列式化成上（下）三角形行列式，便可以求出行列式的值了，这是计算行列式的基本方法之一.

例6　计算行列式

解

例7　计算n阶行列式

解　此行列式的特点是行和或列和相等，因此把D的第2列，第3列…第n列均加到第1列上，然后提出公因子，再用第1列乘以-b加到其余各列.

例8　设，记，，证明：D=D1D2.

证明　对D1作运算ri+krj，把D1化为下三角形行列式，

对D2作运算ci+kcj，把D2化为下三角形行列式.设q11…qnn，于是，对D的前k行作运算ri+krj后，再对后n列作运算ci+kcj，把D化为下三角行列式，，故D=p11…pkkq11…qnn=D1D2.

例9　计算行列式

解　此行列式的特点是主对角线及与主对角线平行的上下两条斜线上元素不全为零，其余元素全为零，这种行列式称为三对角行列式，根据此行列式的特点，从第一行开始每行逐次加到下面一行，可得上三角行列式.