4.1　用瑞利法求螺旋桨轴扭转振动固有频率简介

因为发动机有极大的惯性，轴的发动机端可以当作是固定的，所以可以把系统描述成一根“扭转的悬臂梁”。如果没有螺旋桨，那变位曲线的形状（即角与离发动机的距离之比）就是1/4正弦波；如果轴的惯性与螺旋桨质量相比可以略而不计时，那形状就是一根通过原点的直线。选取后面一根直线作为将要计算的形状即瑞利形状，因此：。

从材料力学，我们可以取得两个结果：

① 转矩M和扭转角之间的关系

　

② 储藏在轴的一片dx的势能

式中，为抗扭刚度。

因为所假定的瑞利曲线具有一定斜率，随之根据这些方程中的第一个，就得到转矩，此转矩沿轴长是不变的，这样，第二个方程就能直接积分为势能

轴的小元dx的动能是（I₁ dx），其中I₁是每单位轴长的质量的惯性矩。

但。

轴的动能变成

螺旋桨（其惯性是I）的角振幅是，而它的动能

使两个动能的和等于势能，然后求的值得

　　（4.1）

例4.1　试用瑞利法求螺旋桨轴扭转振动固有频率

具体参数如下：有一个船舶动力传动方案，包括一台发动机，三种长度（30m、40m、50m）的螺旋桨轴。螺旋桨轴直径25cm。一个螺旋桨的惯性矩相同于一只厚10cm、直径1.20m的实心钢盘。发动机的惯性可以当作是无穷大。现用瑞利法求三种螺旋桨轴扭转振动的固有频率。

以上简介的几个公式即为瑞利法的公式。由式（4.1）可知：轴的惯性的三分之一是当作集中在螺旋桨上的，根据题意已知数据，可求出该例：

g = 980（重力加速度，cm/s²）；r₀ = 60（简化螺旋桨的钢圆盘半径，cm）；b = 10（简化螺旋桨的钢圆盘厚度，cm）；ρ = 0.008（钢密度，kg/cm³）。

m₀ = (ρ/g) bπr₀²（简化螺旋桨的钢圆盘的质体，kg·s² /cm）；i = (1/2)m₀r₀²（简化螺旋桨的钢圆盘的惯性，cm·kg·s²）。

又有：d₀₁ = 25（螺旋桨轴直径，cm）；r₀₁ = d₀₁/2；l_ol = 50×10²（螺旋桨轴长度，cm）；

m₀₁=(ρ/g) l_ol×πr₀₁²（螺旋桨轴的质体，kg·s² /cm）；

i_1l = (1/2) m₀₁(d₀₁² / 4)（螺旋桨轴的惯性，cm·kg·s²）。

又有：G_jm = 80×10⁴（钢的剪切模量，G_pa=80×10⁴MPa）。

G_Ip = (G_jm / lol)(π/2) r₀₁⁴（螺旋桨轴抗扭刚度，cm·kg）

ω ₂ = G_Ip / (i + i_1l / 3)（螺旋桨轴角加速度，rad²/s²）

则螺旋桨轴扭转振动固有频率可用式（4.1）算得。见以下所编的程序。