1.2 三面投影图
根据前面讲到的投影的特性可知，当投影必备的三个要素（投影中心、形体、投影面）确定后，形体的投影是唯一确定的。但是，只有形体的一个投影无法确定形体空间的实际形状，也无法确定形体的空间位置。
图1-8 形体单面正投影
a）形体模型 b）H面投影
假如一个形体模型A，在模型的下面放置一个平行于底面的投影面H，作投影时，投射线垂直于H面，由上向下投影，如图1-8a所示。形体模型A由一大一小的两个长方体相叠组成，它们的底面都是矩形。根据上述投影的特性，上下两个长方体在H面上的正投影，是内外两个矩形线框。线框的本身形状和大小与长方体上、下底面的实际的形状和大小相同；线框每一边是形体上水平侧棱的实形投影，同时又是长方体上一个对应的侧面的积聚投影。根据投影的特性，点的一个投影不确定该点的空间位置，所以，形体的H投影不能反映形体上不同点的相对高度，所以不能唯一确定模型A中两个长方体的相对位置。如图1-8a所示，形体B和C的H投影和形体A的H投影完全一样，也就是说，根据图1-8b的投影不能唯一确定模型的具体形状，如果工程施工中只根据H投影，可能作出A、B、C或其他不同形状的形体。
如何才能用投影明确表达形体的形状大小，使得根据投影能够把形体识读出来呢？工程中常采用形体在两个或三个互相垂直的投影面上的投影来表达形体。
1.2.1 三面投影体系
为了能够完整地表达形体的实际形状，工程上通常采用形体的三个平面的投影图，即在一个投影面的基础上增加两个投影面，如图1-9所示。其中，H面为水平投影面，简称水平面；V面垂直于H面，称为正立投影面，简称正立面；W面同时垂直于V面和H面，称为侧立投影面，简称侧立面。
相互垂直的三个投影面V面、H面和W面常称为基本投影面，构成的投影面体系称为三投影面体系。三个投影面两两相交，三条交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴；H面和W面的交线称为OY轴；V面和W面的交线称为OZ轴。三投影轴交于一点O，称为原点。
三个投影面将空间分成八个角，几何学称为卦角，它们依顺序编号为1、2、3、4、5、6、7、8。编号为1的卦角称为第一卦角，又称第一分角。
图1-9 三投影面的建立与卦角
我国制图标准规定：工程图样采用第一分角画法，即将物体置于第一分角中进行投影的方法，也就是将形体放在V面前面，H面上面，W面左面的空间，以三个互相垂直的平面作为投影面，分别向V面、H面和W面投影而得到三面投影图，如图1-10a所示。
对一般形体来说，用三个投影就已经足够确定其形状和大小。在形体的三个投影中，水平面上的投影，称水平投影或H投影。作水平投影时，投射线垂直于水平面，由上向下投影；正立面上的投影，称为正面投影或V投影。作正面投影时，投射线垂直于正立面，由前向后投影；侧立面上的投影，称为侧面投影或W投影。作侧面投影时，投射线垂直于侧立面，由左向右投影。
为了将三个投影图画在同一个平面上，需要展开三个投影面。工程制图中规定：在展开三个投影面时，V面固定不动，使H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，最终H面和W面都与V面同在一个平面上。这时OY轴分为了两条，一条随H面转到与OZ轴在同一铅直线上，标注为OYH；另一条随W面转到与OX轴在同一水平线上，标注为OYW，以示区别。展开后，正面投影（V投影）、水平投影（H投影）和侧面投影（W投影）位于同一平面上所组成的投影图，称为三面投影图，如图1-10b所示。
工程投影图中，投影框一般不画出。如果投影图样要求表示出形状的大小，而不要求反映形体与各投影面的距离时，投影轴也可不画。在这种无轴投影图中，各个投影之间仍须保持正投影的投影关系，如图1-10c所示。
人们常常将投射线形象地称为人的视线，所以在工程制图中三面投影图又称为三视图，即正面投影成为主视图；水平投影称为俯视图；侧面投影称为左视图。
图1-10 形体三面投影图
1.2.2 三面投影图的规律
1.形体轴向尺寸
在投影面体系中，OX、OY、OZ轴分别平行于形体的三个向度（长、宽、高）。
（1）长度 形体上最左和最右两点之间平行于OX轴方向的距离。
（2）宽度 形体上最前和最后两点之间平行于OY轴方向的距离。
（3）高度 形体上最高和最低两点之间平行于OZ轴方向的距离。
2.形体三面投影之间的关系
从三面投影图的形成过程中可以看出，正面投影反映形体的长度和高度，以及形体上平行于V面的各个面的实形；水平投影反映形体的长度和宽度，以及形体上平行于H面的各个面的实形；侧面投影反映形体的高度和宽度，以及形体上平行于W面的各个面的实形。由此可以归纳出投影面展开之后，三个投影图之间的关系为：
（1）长对正 正面投影与水平投影长度相等且左右对齐（图1-10b）。
（2）高平齐 正面投影与侧面投影高度相等且上下对齐（图1-10b）。
（3）宽相等 水平投影与侧面投影宽度相等（图1-10b）。
三面正投影的等高、等长、等宽的关系简称“三等”关系，这是绘制和识读建筑给水排水工程图的基本理论依据和规律。
3.形体三面投影与形体方位的关系
投影图能够反映形体的方位。在投影图上识别形体的方位，对识图非常关键。形体有前、后、上、下、左、右等六个方位（图1-11a）。它们之间的关系是：
1）正面投影反映了物体的上、下和左、右方位关系（图1-11b）；
2）水平投影反映了物体的前、后和左、右方位关系（图1-11b）；
3）侧面投影反映了物体的上、下和前、后方位关系（图1-11b）。
图1-11 投影图上形体方向的反映
1.2.3 点、直线、平面的三面投影识读
在三面投影图中，一般用大写英文字母（A、B、C、D、…）标注形体空间点，用小写字母（a、b、c、d、…）标注点的H投影，用小写字母上加一撇（a′、b′、c′、d′、…）标注V投影，加两撇（a″、b″、c″、d″、…）标注W投影。
1.点的三面投影
如图1-12所示，在三投影面体系中，设有一空间点A，自A分别作垂直于H面、V面、W面的投射线，得到点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″。
图1-12 点的三面投影
分析图1-12中A点的投影，可以概括出点的三面投影具有以下规律：
1）点的每两个投影面上的投影，在投影图上的连线必垂直于这两个投影面相对应的投影轴。例如图1-12中a′a⊥OX。
2）点到某一个投影面的距离，等于该点在该投影面上的投影到对应投影轴的距离。例如图1-12中，a′ax=a″ay=点A到H面的距离。
在工程上，常用坐标法来确定点的空间位置，三投影面体系中的三根投影轴可以构成一个空间直角坐标系。如图1-12所示，空间点的位置可以用x、y、z三个坐标表示。
工程图识读时，需根据点的投影规律，通过比较点投影位置的坐标来确定点在空间的左右、前后和上下位置。x坐标值大的点在左，y坐标值大的点在前，z坐标值大的点在上。图1-13中，通过比较A、B二个点的三面投影的坐标，可以看出A点在B点的上、左、后方。
当两点处于同一个投射线上时，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影必然重合，这两点称为对该投影面的重影点。判断重影点可见性的规则是上遮下；左遮右；前遮后。也就是说，对于观察者而言，上方点可见、下方点不可见；左方点可见、右方点不可见；前方点可见、后方点不可见。
图1-13中，点A、C在H面的投影重合成a一点，说明点A、C是对H面的重影点；点B、D在V面的投影重合成b′一点，说明点B、D是对V面的重影点。
为了区分重影点的可见性，将不可见的投影加上括号表示。在图1-13中，点A、C投影重合，从正面投影可以看出点A比C点高，所以a可见，c不可见，用（c）表示；B、D投影重合，从侧面投影可以看出点B在D点前面，所以b′可见，d′不可见，用（d′）表示。
图1-13 点的三面投影识读
2.直线的三面投影
在投影图中，形体上的直线有各种不同的位置。按照直线与投影面的不同位置关系，有一般位置线、投影面平行线和投影面垂直线三种情况，其投影特性各不相同。
（1）一般位置线的三面投影 同时倾斜于三个投影面的直线称为一般位置线。一般位置直线的三面投影如图1-14所示。
由图1-14分析可知，一般位置线的投影规律是：各投影面上的投影（ab、a′b′、a″b″）均倾斜于投影轴；各投影既不反映实形也无积聚性；各投影均为直线且短于实形AB。
在识图时，一直线只要有两个投影是倾斜的，它一定是一般位置线。
（2）投影面平行线的三面投影 与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。按照直线与不同的投影面平行的情况，投影面平行线分为以下三种：
1）水平线：平行于H面，倾斜于V面和W面，三面投影如图1-15所示。
图1-14 一般位置线的三面投影
图1-15 水平线的三面投影
2）正平线：平行于V面，倾斜于H面和W面，三面投影如图1-16所示。
3）侧平线：平行于W面，倾斜于V面和H面，三面投影如图1-17所示。
图1-16 正平线的三面投影
图1-17 侧平线的三面投影
由图1-15、图1-16、图1-17分析可知，投影面平行线的投影规律是：直线在它所平行的投影面上的投影是倾斜直线，反映实长；其余两个投影平行于相应的投影轴，长度小于实长。
识图时，一直线如果有一个投影平行于投影轴而另有一个倾斜于投影轴时，它一定是投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。
（3）投影面垂直线的三面投影 与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。按照直线与不同的投影面垂直的情况，投影面垂直线分为以下三种：
1）铅垂线：垂直于H面，平行于V面和W面，三面投影如图1-18所示。
2）正垂线：垂直于V面，平行于H面和W面，三面投影如图1-19所示。
3）侧垂线：垂直于W面，平行于H面和V面，三面投影如图1-20所示。
由图1-18、图1-19、图1-20分析可知，投影面垂直线的投影规律是：直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；其余两个投影平行于相应的投影轴，反映实长。
图1-18 铅垂线的三面投影
图1-19 正垂线的三面投影
图1-20 侧垂线的三面投影
识图时，如果一直线有一个投影积聚为一点，它一定是投影面的垂直线。
3.平面的三面投影
工程中常见的平面是闭合的平面图形。在投影图中，按照平面对投影面的相对位置的不同，将平面分为一般位置面、投影面平行面和投影面垂直面三类，其投影特性各不相同。
（1）一般位置面的三面投影 同时倾斜于三个投影面的平面称为一般位置面。一般位置面的三面投影如图1-21所示。
由图1-21分析可知，一般位置面的投影规律是：各投影面上的投影均为反映原平面图形的类似形，但不反映实形也无积聚性；各投影均为小于实形。
图1-21 一般位置面的三面投影
在识图时，一平面的三个投影都是平面图形，它一定是一般位置面。
（2）投影面平行面的三面投影 与一个投影面平行，与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。按照平面与不同的投影面平行的情况，投影面平行面分为以下三种：
1）水平面：平行于H面，垂直于V面和W面，三面投影如图1-22所示。
图1-22 水平面的三面投影
2）正平面：平行于V面，垂直于H面和W面，三面投影如图1-23所示。
图1-23 正平面的三面投影
3）侧平面：平行于W面，垂直于V面和H面，三面投影如图1-24所示。
图1-24 侧平面的三面投影
由图1-22～图1-24分析可知，投影面平行面的投影规律是：平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；其余两个投影各积聚为直线，平行于相应的投影轴。
识图时，一平面只要有一个投影积聚为平行于投影轴的直线，该平面就是投影面平行面。它平行于非积聚投影所在的平面，该面上的投影反映实形。
（3）投影面垂直面的三面投影
与一个投影面垂直，与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。按照平面与不同的投影面垂直的情况，投影面垂直线分为以下三种：
1）铅垂面：垂直于H面，倾斜于V面和W面，三面投影如图1-25所示。
图1-25 铅垂面的三面投影
2）正垂面：垂直于V面，倾斜于H面和W面，三面投影如图1-26所示。
3）侧垂面：垂直于W面，倾斜于H面和V面，三面投影如图1-27所示。
由图1-25～图1-27分析可知，投影面垂直面的投影规律是：平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成一倾斜线，其余两个投影是反映原平面图形的类似形，但比原形小。
识图时，如果一直线有一个投影积聚为一倾斜线，它一定是投影面垂直线，并垂直于积聚投影所在的投影面。
图1-26 正垂面的三面投影
图1-27 侧垂面的三面投影
1.2.4 形体的三面投影
如果对工程形体进行分析，我们不难看出，它们总是可以将其看成由一些简单的几何形体叠砌或切割而组成。在工程制图上，我们把这些简单几何体，称为基本形体；把由两个或两个以上基本形体组合成的复杂形体称为组合形体。
在识读组合形体投影之前，必须熟练掌握各种基本形体的投影的读法，然后分析该组合形体是由哪些基本形体叠砌而成，或由哪一种基本形体切割而成。
根据构成基本形体表面的面的性质不同，可以把常见的基本形体分为两类：平面体和曲面体。
1.平面体的投影图
平面体由若干侧面和底面围成，例如棱柱、棱锥和棱台等。相邻两侧面的交线称为侧棱线，底面和侧面的交线称为底面的边。平面体的侧面和底面都是平面图形，只要按照直线和平面的投影特性及三面投影的特征作出各侧面的投影，就可以得到平面体的三面投影图。
识读平面体的投影就是识读围成平面体的各表面平面图形的投影。常见的平面体（三棱锥、四棱柱、四棱台）的投影图见表1-1。
表1-1 常见平面体投影图
2.曲面体的投影图
曲面体由曲面或曲面和平面围成，曲面体表面没有明显棱线，例如圆柱、圆锥、圆球和圆环等。要作出曲面体的三面投影图，主要是画出形体外形轮廓线的投影，同时表示出形体轴线和中心线。
常见的曲面体（圆锥、圆台和球）的投影图见表1-2。如表1-2中所示，各曲面体是由直线或圆绕一固定的轴线旋转而成的，称为回转曲面。由回转曲面围成的形体成为回转体。识读曲面体的投影就是识读形成该曲面体的回转曲面的投影。
表1-2 曲面体投影图
3.组合形体的投影
组合体由基本形体形成，按其形成方式可分为叠加、切割和二者混合等几种类型。
1）叠加型是由多个基本形体按一定的相对位置依次逐一叠加而成（图1-28a）。
2）切割型是由一个平面体或曲面体切除了某些部分而形成的（图1-28b）。
3）混合型是指由叠加和切割两种类型混合构成的（图1-28c）。
把一个复杂的形体分解成若干个简单的基本形体，并分析这些基本形体的形状、相对位置、组合方式及交线情况，形成对整个组合形体的整体概念，从而进行画图、识图的思维方法，称为形体分析法。对于工程图样的绘制和识读，通常采用形体分析法。
识读组合形体投影图时，应用形体分析法，并运用投影规律，最终想出形体的整体形状。例如识读图1-29中的一个组合形体的投影图，具体步骤如下：
图1-28 组合形体
a）叠加型 b）切割型 c）混合型
（1）根据线框划分形体 根据代表各基本形体投影的线框，将组合形体划分成几个基本形体。一般来说，从形体三面投影中，按形体组成的前后、左右、上下的方位关系，依据先粗后细，先整体、后局部的原则，把简单形体划分出来。如图1-29a所示，根据水平投影可将组合形体划分为前后两部分，根据侧面投影又将前部形体划分为上、下两部分，这样整个组合体被划分成三部分。
（2）找形体对应线框，想象其形状 根据投影规律，分别找到这三部分基本形体各自对应的一组三面投影，如图1-29b所示。由基本形体的三面投影，想象出它们各自的形状，这三个简单形体分别是长方体、半圆柱和一个三棱柱，如图1-29c所示。
图1-29 识读组合形体投影图
（3）想象组合体整体形状 根据各基本形体的位置关系，将它们组合起来，如图1-29d所示。
根据对图1-29所示的组合形体的分析，可知
1）投影上的封闭线框，可能表示平面的实形投影，例如图1-29b中标注1、1′和1″的线框，是长方体上平行于三个投影面的各平面的实形投影；可能是平面的非实形投影，例如图1-29b中标注2和2′的线框，是三棱柱相对于H面和V面倾斜的侧面的投影；可能是曲面的投影，例如图1-29b中标注3的线框，是半圆柱面的H面投影。
2）当形体由平面组成时，相邻两个线框表示两个平面，平面之间的相对位置需要根据另外两个投影图才能判断。
3）组合体的形状，必须通过一组投影图才能表达清楚。识读时，必须把几个投影图联系起来阅读，否则不能唯一确定形体的形状。