第四节 色度的计算方法
颜色的色度计算通常包括三刺激值X、Y、Z和色度坐标x、y的计算以及主波长和纯度的计算。
一、标准照明体和标准光源
物体的颜色受照亮它的光源所左右，这是人所共知的。在日常生活中，人们通常在日光下观察颜色，但日光的组成也是随时间而变化的。如日出时、日落前、正午直射的日光、阴天的日光等，其光谱能量分布都不尽相同。除此之外，人们还时常在人造光源下观察物体的颜色，如白炽灯、日光灯等，它们也都有着各自的光谱能量分布。因此，在这些具有不同光谱能量分布的光源下观察颜色，彼此之间必然会产生一定的差别。在色度学中，为了使颜色测量的结果更具有普遍性，以便于人与人之间的交流和颜色的传递，因而提出了标准光源的概念，以使大家在进行颜色鉴别时有一个共同的标准。所谓光源，在物理学中，指的是发光的物理辐射体，如各种灯、太阳、天空（反射光）等都可以叫作光源。而色度学中的所谓标准光源，是事先选定的符合颜色测量要求的光源。标准照明体是继标准光源概念之后提出的一个新概念。标准照明体亦称标准施照体，它仅仅代表一种特定的光谱能量分布，这种分布是根据颜色测量的要求而设定的，这种分布不一定必须由实在的光源提供，在颜色测量实践中，标准照明体的能量分布，有些很难由单独的光源来实现。
国际照明委员会推荐的标准照明体有标准A照明体、标准B照明体、标准C照明体和标准D65照明体。目前常用的有标准D65照明体、标准A照明体，标准C照明体也有应用。此外，在颜色测量中还常常使用D55、D75、三基色荧光灯（TL—84）、冷白荧光灯（CWF）和U30等照明光源。从目前颜色测量的实际情况看，标准B照明体和标准C照明体目前正逐渐被弃用。
1.标准A照明体 标准A照明体相当于颜色温度为2855.6K的完全辐射体的光谱能量分布，能够提供此光谱能量分布的光源，CIE规定为标准A光源。实际应用中，点亮的充气钨丝灯可以重现标准A照明体的光谱能量分布，而点亮的充气钨丝灯就是标准A光源。
2.标准B照明体 标准B照明体相当于正午直射日光，颜色温度大约为4874K，标准B照明体的光谱能量分布，由CIE规定的标准B光源得到。而标准B光源，是以标准A光源加戴维斯—吉伯逊（Davis-Gibson）液体滤光器B1、B2得到。
3.标准C照明体 标准C照明体颜色温度为6774K，相当于6774K完全辐射体的光谱能量分布。它代表有薄云的阴天日光的光谱能量分布，一般认为相当于上午9：00至下午4：00的日光光谱能量分布的平均值。所以通常又称其为平均日光。标准C照明体的光谱能量分布，CIE规定由标准C光源得到，而标准C光源则可以由标准A光源加戴维斯—吉伯逊液体滤光器C1、C2来实现。戴维斯—吉伯逊C光源液体滤光器的溶液组成见表2-5。
表2-5 戴维斯—吉伯逊C光源液体滤光器的溶液组成
4.标准D65照明体 标准D65照明体颜色温度为6504K。相当于6504K的完全辐射体的光谱能量分布。标准D65照明体的光谱能量分布，更接近于平均日光的光谱能量分布，因为这一光谱能量分布是参照平均日光能量分布人为设定的，更适合颜色测量的需要，所以又称重组日光。标准D65照明体的光谱能量分布，目前还不能由相应的光源来准确重现，只可以近似的模拟。它不仅在可见光范围内更接近日光，而且在紫外线区也和日光非常接近，它是测量带有荧光样品时所必需的。此外，还有颜色温度为5503K和颜色温度为7504K的D55和D75照明体，作为D65照明体的辅助照明体，也有应用。各种标准照明体的光谱能量分布见图2-12、图2-13。
图2-12 A、B、C标准照明体的光谱能量分布曲线
图2-13 D65照明体的光谱能量分布曲线
二、三刺激值X、Y、Z和色度坐标x、y的计算
计算三刺激值X、Y、Z的基本公式：
式中：
、
、
——CIE1931—XYZ表色系统标准色度观察者光谱三刺激值；
、
、
——CIE1964—XYZ补充色度学系统标准色度观察者光谱三刺激值；
S（λ）——标准照明体的相对光谱能量分布；
ρ（λ）——物体的分光反射率；
k——常数，称作调整因数。
调整各种不同照明体的明度Y=100，k值可由式（2-13）求得：
在上面的积分式中，由于积分函数是未知的，或者是相当复杂的，所以积分运算事实上不能进行。只能用求和的方法来进行近似的计算。由于采用近似计算处理的方法不同，因此就有了三刺激值X、Y、Z的不同计算方法。
1.等间隔波长法 用等间隔波长法计算三刺激值的近似式为：
所谓等间隔波长法，就是使Δλ以相等的大小进行分割，测得相应的反射率值后，用式（2-14）进行计算。计算三刺激值X、Y、Z时，Δλ是一个常数，但是通常需要根据测量的要求来确定分割间隔的大小。
在实际测量时，分割间隔大小的确定，首先要考虑仪器的测量精度，其次要考虑测试的精度要求。精度要求高的计算，分割间隔可以选取比较小的值。进行颜色测量基础研究时，目前可选取的最小分割间隔为 Δλ=1nm。精度要求不是很高时，为了简化计算，可以采用比较大的分割间隔。
目前，按CIE规定，分割间隔最大不超过20nm。分割间隔越小，计算的工作量越大。在实际中，这种计算一般都由计算机来完成。
为简化计算，广大科技工作者进行了大量的前期准备工作，目前在很多资料中，都直接给出了
、
、
的值，计算时，只要把测得的ρ（λ）值与给出的数值对应相乘，然后再把所得到的数值相加后与调整因数k值相乘。等间隔波长法，是近代测色仪器的计算基础。X、Y、Z计算的示意图，见图2-14。表2-6列出了等间隔波长法的计算实例。
图2-14 X、Y、Z计算示意图（标准D65照明体）
表2-6 等间隔波长法的计算实例（D65，2°视场）
续表
2.选择坐标法 20世纪中叶，在颜色测量技术的最初发展阶段，由于计算机技术的限制，相关的计算手段比较少，选择坐标法在颜色测量方面是有一定实际意义的。因为它可以使三刺激值的计算大大简化，使原来必须由计算机完成的计算过程，通过手工即可顺利完成。该方法的基本原理是：分别选择计算X、Y、Z所需要的适当的波长，调整不同波长区域的波长间隔Δλx、Δλy、Δλz，使三刺激值X、Y、Z计算公式中的积分函数
、
、
为常数，则三刺激值计算式（2-14）将变为：
式中：
，
，
因此，我们只要测定相应波长下的ρ（λ）值，并在380～760nm范围内选定波长下的ρ（λ）值求和，再乘以相应的系数，就可以计算出X、Y、Z的值了。常见的选择坐标为30个坐标（表2-7），表2-7中带*的波长为10个坐标，此时的系数为：fX10=3fX30，fY10=3fY30，fZ10=3fZ30。
表2-7 选择坐标法计算实例
续表
选择坐标法，对于分光反射率曲线起伏大的，通常会产生较大的误差，为了得到更高的测量精度，通常需要分割更多的点。这一方法计算简单，但是计算精度不如等波长间隔法。为了得到较高的准确度，必须缩小选择波长的间隔，增加选择波长的数量，随之而来的计算，当然也就变得复杂了。除此以外，选择坐标法中ρ（λ）的读取常常比较困难，不可避免地会产生误差。对于计算精度，克夫（DE Kerf）进行过反复计算，他选择固体样品和透明薄膜，共20余个样品，以分割间隔Δλ=5nm、Δλ=10nm和30个选择坐标进行计算，其结果见表2-8。
表2-8 等波长间隔法与选择坐标法准确性的比较（NBS单位）
其中的误差是以分割间隔Δλ=1nm的计算结果为基准，从结果可以看出，当测量的精度要求为0.1NBS单位时，必须用Δλ=5nm的等间隔波长法进行计算，而计算精度要求0.5NBS单位时，则可以用Δλ=10nm的等间隔波长法计算，而30个选择坐法则不十分准确。尽管如此，在理论上还是有一定意义的。因为这一计算方法，对理解等间隔波长法计算三刺激值X、Y、Z的基本原理是有一定帮助的。
三、主波长和色纯度的计算
至此我们已经成功建立起了表色系统和相应表色参数的计算方法，基本上实现了把颜色用数字来表示的目的。但是，面对这复杂抽象的数字，我们仍然很难把它们与生活中五彩缤纷的颜色联系起来，例如：Y=30.050，x=0.3927，y=0.1892是一个鲜艳的带蓝光的红色；又如Y=3.130，x=0.4543，y=0.4573是一个暗黄色。可见，我们仅仅知道了表示颜色的参数，却不能根据这些参数，准确地了解相应颜色的属性，这在实际应用中显然还不是很方便。为了解决这一问题，经过大量的研究，结合色的三个属性，专家们提出了与色的三个属性相联系的主波长和兴奋纯度等概念，使颜色的基本属性与表示颜色的相关参数联系起来，为人们通过表示颜色的相应参数来了解颜色的属性提供了方便条件。给用X、Y、Z三刺激值表色系统的实用化，带来很大的方便。
1.主波长的计算 用某一光谱色，按一定比例与一个确定的标准照明体（如CIE标准照明体A、B、C或D65）相混合而匹配出样品色，该光谱色的波长就是样品色的主波长。颜色的主波长大致对应于日常生活中观察到的颜色的色相。如果已知样品的色度坐标（x，y）和标准照明体的色度坐标（x0，y0），就可以通过两种方法定出样品的主波长。
（1）作图法：在CIEx—y色度图上，分别标出样品色和标准照明体的色度点，连接这两点作直线，并从样品色度点向外延长与光谱轨迹相交，这一交点对应的光谱轨迹的波长就是样品色的主波长。如图2-15所示，M和O分别为样品色和标准C光源的色度点，连接两个色度点得到一条直线，把直线延长，与光谱轨迹相交于519.4nm，519.4nm就是该样品色M的主波长。但并不是所有样品的颜色都有相应的主波长。在色度图上，光谱色两端与标准光源色度点形成的三角形区域（紫色区）内的颜色，如N就没有主波长。这时，可以通过这一颜色的色度点与光源C的色度点作一条直线，直线的一端与对侧的光谱轨迹相交，另一端与纯紫轨迹相交，与光谱轨迹交点的光谱色波长就是该颜色的补色主波长。
图2-15 颜色主波长和补色主波长的确定
在标定颜色时，为了区分主波长和补色主波长，通常在补色主波长前面加一个负号，或在其后面加符号C来表示。样品N的补色主波长为-495.7nm，也可以写成495.7C。
（2）计算法：计算法是根据色度图上连接参照光源色度点与样品色度点的直线的斜率，查表读出相应的主波长。计算时需利用CIE1931x—y色度图标准光源A、B、C、E恒定主波长线的斜率表，见附录三。
例1.已知颜色M（x=0.2231，y=0.5032），照射光源为标准C光源2°视场（x0=0.3101，y0=0.3162）。
求：在标准C光源2°视场照射下，颜色M的主波长。
解：计算
和
在这两个斜率中，取绝对值较小的
，查附录三可知，-0.4652处于-0.4557和-0.4718之间，而-0.4557、-0.4718相应的波长为520nm和519nm，再由线性内插法计算得：
520-（520-519）×［（0.4652-0.4557）÷（0.4718-0.4557）］=519.4
则M点的主波长为519.4nm。
例2.已知颜色N（x=0.5241，y=0.2312），照射光源为标准C光源2°视场（x0=0.3101，y0=0.3162）。
求：在标准C光源2°视场照射下的N点的补色主波长。
解：求斜率
和
其中
的绝对值较小，从附录三中按例1的方法可得N点的补色主波长为-495.7nm。
2.兴奋纯度 通常用样品颜色接近同一主波长光谱色的程度，表示该样品颜色的纯度。在x—y色度图中样品主波长线上，用标准光源点到样品色度点的距离与标准光源点到光谱色色度点（或标准光源点到纯紫轨迹上的样品补色主波长色度点）的距离之比来表示纯度时，称为兴奋纯度。也可以理解为：一个颜色的兴奋纯度，是同一主波长的光谱色被白光冲淡后，光谱色在这一混合颜色中所占的比例。在图2-15中，O代表标准光源（标准C光源）点，M代表颜色样品的色度点，L代表光谱轨迹上的色度点，兴奋纯度由下列方程计算：
或
式中：Pe——兴奋纯度；
x，y——样品的色度坐标；
x0，y0——标准光源的色度坐标；
xλ，yλ——光谱轨迹上（或纯紫轨迹上）色度点的坐标。
样品的主波长和兴奋纯度，随所选用标准光源的不同而不同，用式（2-16）和式（2-17）计算兴奋纯度应得到相同的结果，但如果主波长（或补色主波长）与x轴近似平行时，也就是y、yλ 和y0 接近时，式（2-17）误差较大。当y、yλ 和y0 的值相同时，式（2-16）便失效，而应采用式（2-17）。反之，主波长（或补色主波长）与y轴接近平行时，则采用式（2-16）。从这里我们可以看出，标准光源的兴奋纯度为0，而光谱色的兴奋纯度为1。
例3.计算上述例1中在标准C光源2°视场照射下，颜色样品M的兴奋纯度。
解：在标准C光源下，样品M的
表明，主波长线位于色度图y轴方向，宜用式（2-17），标准C光源的y0=0.3162，样品y=0.5032，已经计算出样品主波长λ=519.4nm，由表2-2查得519.4nm的光谱色yλ=0.8338，所以：
样品M的兴奋纯度为0.36。
用主波长和纯度表示颜色比只用色度坐标表示颜色的优点在于，这种表示方法能给人以具体的印象，可以表示出一个颜色的色相和饱和度的大概情况。如我们用色度坐标表示在标准光源照射下的两个样品C1和C2。
虽然通过比较两样品的色度坐标，已经能够粗略地估计出颜色的差异，但是，如能再给出相应的主波长和兴奋纯度，那么我们就可以知道这两个橙色，C1比C2色光稍红，并且C1比C2兴奋纯度更高，颜色更鲜艳。
颜色的主波长与日常生活中所观察到的颜色的色相大致相对应。但是，恒定主波长线上的颜色，并不对应着恒定的色相。同样，颜色的兴奋纯度，大致与颜色的饱和度相当，但并不完全相同。因为，色度图上不同部位的等纯度并不对应于等饱和度。图2-16为各种颜色在色度图上所处的位置。
图2-16 各种颜色在色度图上所处的位置