二、平面与回转体的交线——截交线的画法

在制图员职业资格证考试中，截交线的考查内容主要是回转体的截交线，所以在这里，重点讨论平面与圆柱、圆锥和圆球相交的截交线的绘制方法和步骤。

（一）求回转体截交线的一般方法和步骤

1.空间和投影分析

（1）分析截平面与回转体的相对位置，确定截交线的形状。

（2）分析截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。

2.画出截交线的投影

（1）补全三面投影（据情况）。

（2）确定截交线上特殊点（如最高、最低、最左、最右、最前、最后诸点以及可见性分界点等）的三面投影。

（3）求截交线上一般点的三面投影。通过在回转体表面上取直素线或辅助圆（纬圆），作出素线或辅助圆与截平面的交点。

（4）依次光滑地连接各同面投影点。

3.整理轮廓线，并判断其可见性 理顺轮廓线，并判断轮廓线的可见性，对虚实线加以正确判断。

（二）绘制回转体的截交线

下面通过几个绘制截交线的例子，说明不同回转体的截交线作图的一般方法和步骤。

【例3-1】如图3-3（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线的投影。

空间与投影分析

由于截平面与圆柱轴线倾斜，故截交线应为椭圆，如图3-3（b）所示。由于截平面垂直于正平面，故截交线的正面投影积聚成直线。由于圆柱面的水平投影具有积聚性，故截交线的水平投影与圆柱面的水平投影重合，侧面投影可根据圆柱面上取点的方法求出。

图3-3 圆柱被正垂面截切

作图过程

（1）由图3-3（a）给出的圆柱的两面投影作出截切前的圆柱的侧面投影，如图3-4（a）所示。

（2）找出截交线上的特殊点。如图3-4（b）所示，标注出其正面投影1′、2′、3′、（4′），它们是圆柱的最左、最右以及最前、最后素线上的点的正面投影，也是截交线椭圆长、短轴的四个端点的正面投影。作出这四个点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1′′、2′′、3′′、4′′。

（3）作截交线上一般点的投影。如图3-4（c）所示，先在正面投影上选取5′、（6′）、7′、（8′），根据圆柱面的积聚性，作出其水平投影5、6、7、8，由点的两面投影，按投影规律作出侧面投影5′′、6′′、7′′、8′′。

（4）由图3-4（d）所示，将这些点的侧面投影依次光滑地连接起来，由于截切掉了上半部分圆柱，截交线的侧面投影全部可见，用粗实线连接，就得到截交线的侧面投影。

（5）整理轮廓线，仍如图3-4（d）所示，由于圆柱面的侧面投影的转向轮廓线在3′′、4′′点以上部分被截切，所以只保留这两点以下的转向轮廓线和圆柱的底面，画粗实线。

图3-4 圆柱的截交线的画图步骤

【例3-2】如图3-5（a）所示，求圆柱被切割后的W面投影。

分析

该图形是一个与圆柱体的轴线垂直、倾斜、平行的三个平面组合切割成的形体［图3-5（b）］，即一个是水平面，截交线形状是圆弧；一个是侧平面，截交线形状是矩形；一个是正垂面，截交线形状是椭圆弧。截交线的正面投影和水平投影已知，只需求出其W面投影。

作图

（1）根据已知基本体三视图按投影规律画出未切割圆柱体W面投影，如图3-5（c）所示。

（2）水平截平面的截交线为圆弧，其正面投影是已知直线2′—4′（8′）—6′（10′），水平投影是已知圆弧（6）—（4）—（2）—（8）—（10），利用投影规律求其侧面投影是直线8″—10″—2″—6″—4″，如图3-5（d）所示。

（3）侧平截平面的截交线为矩形，其正面投影是已知直线5′（9′）—6′（10′），水平投影是已知虚线5（6）—9（10），利用投影规律求其侧面投影是矩形5″—6″—10″—9″，如图3-5（e）所示。

（4）正垂截平面的截交线是椭圆弧，其正面投影是已知直线1′—3′（7′）—5′（9′），水平投影与圆弧5—3—1—7—9重合，利用投影规律求其侧面投影椭圆弧的类似形5″—3″—1″—7″—9″（1″、7″、3″三点为椭圆弧所在椭圆的三个端点），如图3-5（f）所示。

（5）整理轮廓线，判断可见性。由已知正面投影可知，前后转向轮廓线被切，即侧面投影中3″—4″之间、7″—8″之间的轮廓线被切掉，其余轮廓线保留并描粗，截交线的侧面投影均可见，如图3-5（g）所示。

图3-5

图3-5 带切口的圆柱截交线的W面投影

【例3-3】如图3-6（a）、（b）所示，求圆锥被P、Q、R三个截平面切割后的H、W面投影。

分析

该图形是由一个过锥顶的正垂面P、一个水平面Q与一个平行于圆锥轴线的侧平面R组合切割圆锥体后的形体，立体形状如图3-6（b）所示。从图中可以看到：正垂面P截切圆锥的交线为三角形；水平面Q截切圆锥的交线为圆弧；侧平面R截切圆锥的交线为双曲线加直线。截交线的正面投影已知［如图3-6（c）所示］，求其H、W面投影。

作图

（1）根据基本体三视图按投影规律画出切割前圆锥体的W面投影，如图3-6（c）所示。

（2）过锥顶的正垂截平面P的交线是由两条素线和一条由P与Q面交线围成的三角形，正面投影是已知直线1′—2′（3′），水平投影是三角形的类似形1—2—3，侧面投影是三角形的类似形1″—2″—3″，如图3-6（d）所示。

（3）平行于圆锥轴线的侧平截平面的交线为双曲线加直线，正面投影为已知直线6′（7′）—8′（9′），水平投影为直线8—6—10—7—9，侧面投影为双曲线6″—8″、7″—9″和直线8″—9″，如图3-6（e）所示。

（4）水平截平面的交线是圆弧，正面投影为已知直线6′（7′）—4′（5′）—2′（3′），水平投影为6—4—2和7—5—3前后两段圆弧，侧面投影为直线5″—3″—7″—6″—2″—4″，如图3-6（f）所示。

（5）判断可见性。只有水平投影直线2—3不可见，用虚线表示，其他截交线均可见。整理轮廓线，侧面投影中的前后转向轮廓线1″—4″、1″—5″被切掉，其余轮廓线描粗，如图3-6（g）所示。

图3-6

图3-6 带切口的圆锥截交线的H、W面投影

【例3-4】如图3-7（a）所示，一连杆头由轴线为侧垂线的圆柱、圆锥和球同轴组成。其前后各被正平面截切，画出该截交线的正面投影。

分析

组合回转体是由若干个同轴的基本回转体组成，作组合回转体的截交线时，首先要分析各部分的曲面性质，然后按照它的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出其投影。该截平面为前后对称的且与组合回转体的轴线平行的正平面，因此，球面部分的截交线为圆；圆锥部分的截交线为双曲线；圆柱部分未被截切。截交线为一封闭组合曲线，水平和侧面投影积聚为两直线，正面投影反映实形，如图3-7（b）所示。

作图

（1）先在正面投影上确定球面与圆锥面的分界线。以球心o′作圆锥正面外形轮廓线的垂线得交点a′、b′，连线a′b′即为球面与圆锥面的分界线，如图3-7（c）所示。以o′为圆心，R为半径在正面投影作圆弧，即为球面的截交线1′—3′—2′，如图3-7（d）所示。

（2）作圆锥面上截交线的特殊点正面投影6′。先在水平投影上作圆锥最前转向轮廓线与前方的正平截平面水平积聚投影的交点6，再由6按投影规律作出正面和侧面6′、6″，如图3-7（e）所示。

（3）求圆锥面上截交线的一般点。作侧平的辅助平面P，其与圆锥面的交线为侧平的圆（该圆正面投影、水平投影均积聚为直线）。水平投影直线与前端正平截平面的交点为一般点4（5），侧面投影（反映实形）圆与前端正平截平面的交点为一般点4″、5″，再由投影规律得到一般点的正面投影4′、5′。依次连接1′—4′—6′—5′—2′各点，即得截交线双曲线的正面投影，如图3-7（f）、（g）所示。

（4）由于两个截平面前后对称，前后截交线的正面投影相互重合，后面的截交线就不另行求作。

图3-7

图3-7 组合回转体截交线的V面投影