2.2　时间序列的平稳性

在进行时间序列分析时，针对时间序列的平稳（Stationary）和非平稳特性需要采取不同的建模方法进行研究，因此区分研究对象是平稳时间序列还是非平稳时间序列是时间序列分析的首要步骤。

时间序列分析理论中有两种平稳性定义，即所谓严平稳性（Strictlystationary）和弱平稳性（Weaklystationary）。

2.2.1　严平稳性

严平稳性也称强平稳性（Stronglystationary），是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。而我们知道，随机变量族的统计性质完全由他们的联合概率分布族决定，所以严平稳时间序列的定义如下。

定义：设为一时间序列，对任意正整数m ，任取对任意整数τ，有：

则称时间序列为严平稳时间序列。

在实践中要获得随机序列的联合分布是一件非常困难的事，而且即使知道随机序列的联合分布，计算和应用起来也非常不便。所以严平稳时间序列通常只具有理论意义，在实践中用得更多的是条件比较宽松的弱平稳时间序列。

2.2.2　弱平稳性

弱平稳性也称协方差平稳性（Covariance Stationary）、二阶平稳性（Second-order Stationary）或宽平稳性（Wide-sense Stationary），它是在时间序列二阶矩基础上定义的平稳性。简单来说，弱平稳时间序列的一阶矩和二阶矩不随时间的变化而改变。

弱平稳性（Weakstationary）是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶（二阶）矩平稳，就能保证序列的主要性质近似稳定。

定义：如果满足以下三个条件：

（1）任取t,j∈T，有

（2）任取µ为常数

（3）任取t,j,s∈T，有

则称为宽平稳时间序列，宽平稳也称为弱平稳或二阶平稳（Second-order Stationary）。

弱平稳定义中，（1）和（2）表明弱平稳时间序列具有有限的常数均值和方差，（3）表明弱平稳时间序列的自协方差只与时滞s有关，而与时间的起始位置无关。因此可以将自协方差函数由二维函数γ(t,s)简化为一维函数γ(s−t)。概括来说，弱平稳时间序列的一阶矩和二阶矩都是不随时间变化而改变的常数。

由于平稳时间序列的自相关系数是时滞s的函数，因此通常也称ρs为自相关函数（Auto-Correlation Function,ACF），ρs对时滞s作图通常称为自相关图（Correlogram）。

容易验证，和相关系数一样，自相关系数具有如下三个性质：

（1）规范性

（2）对称性

（3）非负定性

对任意正整数m ，相关阵Γm为对称非负定阵。

值得注意的是ρk除了具有这三个性质外，它还具有一个特别的性质：非唯一性。

一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳时间序列。在本书所涉及的时间序列建模理论中，只考虑平稳性即可，因此本书中后续涉及的平稳性都指弱平稳性。

一般来说，满足严平稳的序列也具有弱平稳性，但严平稳却并不能全部涵盖弱平稳。例如，如果一个严平稳时间序列不存在二阶矩或一阶矩（如柯西分布），则它就不满足弱平稳性。

2.2.3　时序图检验

所谓时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值，时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。

根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动范围有界的特点。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。根据这个性质，很多非平稳序列通过查看它的时序图可以立刻被识别出来。

绘制2017年12月5日到12月29日的上证综指收盘价的时间序列，可得到如图2-1所示的趋势图。

可以看出12月收盘价的时间序列围绕一个常数值上下波动，很可能是一个平稳的序列。而2017年5—6月上证综指的时序图呈现明显的向上趋势，如图2-2所示，该时间段内的时间序列明显不是平稳的。更严谨的平稳性检验将在后面的章节中介绍。