二　什么是量化理论

量化是现代逻辑中对量词进行语义解释的理论。卡尔纳普[33]认为，一般而言，我们使用语言的场合都包含三个基本的要素：说话者、语言表达（声音或文字）、指称（言语表达式所意谓的东西，如对象、性质，事物的状态等）。根据所关注重点的不同，对自然语言的研究可以分为三个领域：语用学（pragmatics）、语义学（semantics）和句法学（syntax）。其中语用学关注的是语言的使用者和使用语境因素。而语义学则忽略掉说话者的因素，重点研究语言表示式和其指称之间的关系。而句法学则忽略掉说话者和指称的因素，只关注语言表达式及其形式，以及如何构建合式公式。对人工语言的研究不同于对自然语言的研究，因为自然语言总是要考虑历史的、经验的因素，而人工语言则是直接通过规则一步步构建的，说话者的因素不在人工语言的考虑之中，因此，对人工语言的研究分为两个领域：语义学和句法学，这两个领域也构成了人们研究人工语言的两种途径：语义学路径和句法学路径。这两个路径之间也是相互联系的，语义是对句法系统的解释，解释相当于在纯粹的形式系统和外部事物之间搭起的桥梁。就量词而言，量词—变元是句法学上的符号，而量化理论就是对量词—变元这些句法符号进行语义解释的理论。

而在语义解释中，真是一个核心的概念。一般而言，一个语义系统是这样一步步构建的：首先给出符号列表，接着给出形成规则，然后是指称规则，最后是真之规则。通过形成规则，一个系统S中的句子被定义出来，通过指称规则，一个系统中的“在S中指称”被定义，通过真之规则，一个系统中的“在S中是真的”被定义。“对‘在S中是真的’的定义是整个语义系统的真正目的，其他的定义都是为真服务，并且正是在‘在S中是真的’的定义基础上，S中的其他的语义概念才能被定义。”[34]因此，对于量词而言，量化理论关心的就是包含量词的量化式在什么情况下取真值，什么情况下取假值。

弗雷格在发现量词—变元的同时，对量词也作出了解释，弗雷格关于量词的理论构成了逻辑史上的第一个量化理论。在《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》中，在构造了全称量词后，弗雷格对量词进行了语义的解释：“它就意谓下面这样一个判断：无论把什么看作是其自变元，那个函数都是一个事实。”[35]这是弗雷格关于量词的一个简洁的解释，“函数是一个事实”是指函数的值为真，这句话的大概意思是，一个全称命题为真，意味着所有对自变元的代入，其结果总是真的。

在《概念文字》发表之后，鉴于当时的哲学界，更重要的是数学界对于这种新的形式语言的陌生和不理解，弗雷格撰写了一系列的文章来解释自己的哲学思想，这些文章包括《函数和概念》、《概念和对象》、《指称和意谓》、《逻辑导论》等，在这些文章里，弗雷格对量词和量化进一步进行论述：“只有在这里（论述普遍性时——作者注）才促使我们把一个思想分析为一些不是思想的部分。最简单的情况是二分的情况。各部分是不同种类的：一类是不饱和的，另一类是饱和的（完整的）。这里必须考虑被传统逻辑表示为单称判断的思想。这样一个思想表达了一个对象的某种情况。表达这样一个思想的句子是由一个专名和一个谓词部分组成，这个专名相应于这个思想的完整的部分，这个谓词部分相应于思想的不饱和部分……一个新思想（所有事物是与自身相等的），它与（二是与自身相等的，月亮是与自身相等的）这些单称命题相比是普遍的。‘所有事物’一词在这里处于专名的位置，但它本身不是专名，不表示对象，而只用来赋予这个句子内容的普遍性。”[36]在《函数和概念》里，弗雷格进一步解释了什么是普遍性：“无论人们用什么做自变元，这个函数的值总是为真。”[37]

从这些论述中可以看出，弗雷格的形式系统中只有一个量词，即全称量词，特称量词可以通过量词之间的互定义性，由全称量词加否定词得到，因此，弗雷格的量化理论主要是关于全称量词的语义解释的理论。逻辑学在弗雷格看来是以真为目标并以追求真的普遍性为己任的科学，而量词是弗雷格所构建的逻辑系统中表达普遍性的设置。每个量化表达式都有确定的真值，一个句子的真值就是将量词域中的对象带入函数的结果。对于一个全称表达式而言，如果带入的结果总是真的，全称表达式就是真的，而如果代入的结果有假，则全称量化陈述就是假的。根据量词之间的互定义性，对于一个特称表达式而言，如果至少有一个自变元的带入结果为真，则特称量化取真值，如果带入的结果都为假，则特称量化式取假值。这就是弗雷格关于量化的基本观点，也是逻辑史上第一个量化理论。

弗雷格关于量化的观点奠定了经典逻辑中量化理论的基本思想。现代逻辑包括紧密联系的两部分内容：命题逻辑和谓词逻辑。其中命题逻辑是以简单命题为最小单元并以命题之间的联结方式为研究对象的逻辑系统。而谓词逻辑则深入命题内部的结构，把词项作为最小的研究单元。与命题逻辑相比，谓词逻辑主要增加了量词、谓词、个体常元和个体变元，其中量词作为逻辑常项，在谓词逻辑中占据着核心的位置，因此，谓词逻辑也被称为量词逻辑。量化理论是现代逻辑的核心理论。

在现代逻辑中，量化式的真值都是通过定义开语句的满足而间接得到的。尽管不同的逻辑学家会用不同的符号和语言来表达量词、量化公式、量词域等概念，但其量化理论背后的逻辑思想都是一致的，即先定义什么是满足，再定义真。一般而言，谓词逻辑中个体变元的出现方式有两种：自由出现和约束出现。假设x是一个个体变元，并设A为任一公式，x在A中的出现是约束的，当且仅当这一出现是在A中的某个使用x的量词（亦即某个x中），或是在这样的量词的辖域中。x在A中的出现是自由的，当且仅当这一出现不是约束的，即变元的这一出现既不是出现在任何量词x或x中，也不是在这些量词的辖域中。根据变元的出现方式，量化式可以相应地分为两种：开公式和闭公式，前者是指包含个体变元自由出现的语句，而后者是指所有的个体变元出现都是约束出现的公式。开公式是没有真假的，闭公式是量化理论讨论真假的基础，因此闭公式也被简称为语句。闭公式又可以进一步分为两种类型：一种是不包含约束个体变元的公式，如公式Fa、Fb等；另一种是所有的个体变元都是约束出现的闭语句，前者可以看作后者的一种极限的情况，即没有任何个体变元出现的闭公式。这两种闭公式的重要区别就在于前者不包含量词，而后者与量词密切相关。在不包含量词的闭公式Fa、Fb中，a和b都是个体常元，用来表达具体的一个专名，这样的公式的真值取决于谓词F是否能够谓述a或b所指称的对象。而包含量词的闭语句的真值情况相对而言比较复杂。这样的公式包含量词，因而与一定范围（domain）内的对象相联系，直观上而言，整个量化式的真假由此取决于将域中的对象赋值给变元后所形成的结果，而且整个量化式中的非逻辑符号也需要进行指派和解释，因此包含量词的闭公式的语义解释理论比较复杂。鉴于这种情况，现代逻辑通常是通过递归地定义开语句的“满足”来间接地获得量化式的真值的。一般而言，一个全称量化式是真的，当且仅当量词域里的所有对象都满足于量词后面的开语句，一个存在量化式是真的，当且仅当至少有一个对象满足于量词后面的开语句。这种理论被称为基础语义学（Basic Semantic Definition，BSD），或塔尔斯基语义学，这种语义学的最重要的特点是通过递归地定义开语句的“满足”来定义真，真是被间接定义的。关于满足和真，其严格的定义可以参考克斯维尔和奥杰斯的《数理逻辑》[38]和徐明的《符号逻辑讲义》[39]中相关的章节。