第二节 模型论
模型论是数理逻辑的重要分支，是研究形式语言及其解释（模型）之间的关系的理论。早在20世纪20年代，数理逻辑的研究中就有了模型论性质的重要结果。但直到1950年以后，模型论才逐渐发展成为系统的理论。模型论的发展主要有两条主线：
（1）从具体的数学结构（如实数域）出发，利用模型论方法获得关于该结构以及该结构中的可定义集合的新性质。
（2）对于一些重要的理论，研究它们的模型的一般性质。
还应当指出，每种逻辑都有其相应的模型论。因此，除了一阶模型论之外，还有其他逻辑的模型论。例如，无穷长语言的模型论，广义量词的模型论，多值逻辑的模型论，等等。
一 一阶模型论
早在20世纪60年代，Vaught就提出如下猜想：如果一个可数理论有不可数多个互不同构的可数模型，那么它就有连续统个这样的模型。罗里波证明了当限制到齐性模型时，Vaught猜想是成立的[295]。1998年，罗里波还研究了多个一元关系上的Vaught猜想[308]。关于齐性模型的个数还有如下开问题（见C.C.Chang和Keisler的模型论专著）：对于哪一个大于3自然数n，存在可数完全理论T使得对任意无穷基数α，T恰有n个互不同构的势为α的齐性模型？罗里波通过研究模型的并与积运算，证明了对于型如n=2r3s的自然数，上述理论是存在的[66]。在研究限制到超稳定模理论的Vaught猜想时，Prest建议讨论模的一些性质的保持性。王捍贫考察了交换环上的模的稳定性和超稳定性的保持性[117][355]。他讨论了将分式环S-1R上的模归约到R上的模时包（hull）、类（class）、界（bound）、秩（rank）的保持性，证明了NR是A在MR中的包当且仅当NS-1R是A在MS-1R中的包，还讨论了分式模S-1MS-1R与MR之间上述性质存在单向或双向保持性的条件[118]。王进一步研究了将分式环S-1R上的模归约到R上的模时noforking性质的保持性[346]。
V.Huber-Dyson在1979年考察了一种扩张的群论语言
，其中
表示x的已约（reduced）串的尾字母（terminal syllable）。他引入了两个理论
和
，其中
是语言
中的n次自由群理论，而
则是把群中的生成员作为常项的扩充语言中的该群的理论。Huber-Dyson问：
是否是完全的？
是否是模型完全的？罗里波仅用四页长的论文就否定地回答了她的问题，并证明了
是不可判定的[296]。但对于交换群，情况就不同了。Szmielew证明了交换群的理论是可判定的。Ferrante和Rackoff研究这一判定问题的复杂性。而罗里波给出了当时最好的复杂性结果。即，证明了存在时间复杂度不超过三重指数、空间复杂度不超过二重指数的算法，它能判定一个一阶语句（1）是否在所有交换群中成立？（2）是否在所有有穷交换群中成立？罗的这篇发表在Annal of Pure and Applied Logic的文章长达44页[294]。
众所周知，看似简单的整数环上的理论却是不可判定的（Gödel不完全定理）。然而，Tarski证明了貌似复杂的实数域上的理论是可判定的。在证明过程中，Tarski发展了一种称之为量词消去的方法。从此，量词消去性质成了模型论的一个重要研究方向。沈云付证明了闭有序微分域理论容许量词消去[334]。他还证明了语言{+，0，e}上的素数阶群理论的量词消去性，给出了判定该理论的复杂度的上界[95][96]。薛瑞通过研究完全布尔代数理论的量词消去性得到了该理论的计算复杂性[146]。罗里波和刘吉强、廖东升证明了完全二叉树理论可量词消去[57]，且证明该理论是可判定的。进而，罗里波、李祥等分析了该理论的判定复杂性。他们用有界Ehrenfeucht-Fraisse博弈证明了完全二叉树理论可在二重指数时间和指数空间内判定[56]。沈复兴与陈磊还通过研究完全稠密二叉偏序理论的可数模型[9]，证明了以
为语言的完全稠密二叉偏序理论不具有量词消去性质，但是该理论在语言
中具有量词可消去性质[10]。
20世纪50年代以来，研究κ-范畴理论的特性一直是模型论的主要方向，这一研究通过稳定性理论的方法不断发展。沈复兴和陈磊定义了完全二叉树理论的决定公式，利用该类公式证明了此理论是原子理论，且型的个数是可数的，还给出了它的可数原子模型和饱和模型，进而证明了完全二叉树理论的ω1-范畴性[11]。在此基础上，他们又分析了该理论的1-型和2-型，进而证明了空集上的每个型的Cantor-Bendixon秩小于第一个不可数基数[12]。沈复兴和刘吉强从一些特殊情况出发讨论了不同可数模型的分式模型之间的关系，然后利用量词消去方法证明了当T是完全理论时
的完全性，进一步给出了
是ω-范畴理论的一个充分必要条件，回答了Ash的一个问题[58]。沈复兴和周明宏讨论了p阶拟循环群理论的可数饱和模型，并用强极小理论证明了p阶拟循环群理论是ω1-范畴的，进而p阶拟循环群理论的每一个模型都是齐次模型[176]。沈复兴和吴兴玲依次用
、U-秩与SU-秩证明了p阶拟循环群理论的稳定性、超稳定性与超单纯性，并证明了该理论中任意n元型的CB-秩均小于ω1[142]。
型空间和强极小理论在范畴性的（如小Vaught猜想，Morley猜想）研究中起着举足轻重的作用。沈云付定义了强型拓扑空间，证明了该空间要么是有穷的，要么是具有连续统[335]。陈国龙通过研究型拓扑空间得到了ω-范畴完全理论的一个等价定义[8]。童雪和别荣芳等研究了强极小理论之间的关系。他们证明了，对于完全理论的两个强极小公式，要么其中一个可由另一个X-表示，要么二者是独立的[111]。
二 其他逻辑的模型论
H.M.Friedman于1975年发表102个当时未解决的开问题。其中第24各问题是关于无穷长命题演算
的。
中有κ多个原子命题，允许小于κ多个命题的合取。Friedman的问题是下面论断是否正确：
具有内插定理当且仅当κ要么是强不可达基数，要么是共尾于ω的强极限基数的后继。罗里波在广义连续统假设（GCH）下肯定地回答了这一问题[67]。
是一个重要的无穷长语言，它允许可数多个公式的合取。如果仅允许具有有穷多个自由变元的可数多个公式的合取，就得到
的一个子语言。M.D.Morley于1971年引进了该子语言上的一理论的型结构（type structure）和部分型结构。Morley的问题是，在什么条件下，一个部分型结构可以拓展为一个完整的型结构。黄且圆给出了三个条件，并给出了一个部分型结构不能拓展为型结构的反例[258]。童雪和别荣芳建立了
上的一种α-省略型定理，并利用这一定理证明了当T是可测基数时的Morley猜想（即不存在可有穷公理化的ω-范畴理论）[112]。
1991年，Ebbinghaus引进了一种广义量词，即单分划量词Pm，n。分划逻辑L（MP）是在一阶逻辑中加入单分划量词。田启佳和沈恩绍等证明了，两个模型M，N在单分划逻辑中是初等等价的当且仅当存在具有P1，1back-and-forth性质的从M到N的部分同构的无穷序列[109]。这是Fraisse定理在分划逻辑上的推广。紧接着，沈恩绍和田启佳在国际杂志Theoretical Computer Science上撰文把染色pebble博弈方法引入到分划逻辑中，证明了，虽然单分划逻辑的表达能力比单二阶逻辑严格地弱，但却有很好的语义特性，为研究有穷自动机提供了形式化方法[328]。沈恩绍比较了二阶逻辑中有穷加标图（finite labeled graph）与有穷图自动机（tiling系统），证明了，在picture上，存在型单二阶逻辑中的公式等价于存在型的单分划逻辑公式[327]。分划逻辑也是研究字语言的有力工具，别荣芳、沈恩绍详细讨论了字模型在分划逻辑模型论博弈之下等价类数目的上界，在此基础上利用Z-自动机和ω-自动机讨论了
和
的分划逻辑理论的具体的可执行判定过程[2]。2000年沈恩绍、陈翌佳在Mathematical Logic Quaterly撰文证明了，分划逻辑和带有Malitz量词的逻辑具有降Löwenheim-Skolem-Tarski性质，而对于单分划逻辑，初等链定理成立[329]。他们还研究了分划逻辑的描述复杂性（属于有穷模型论的研究方向），给出了分划逻辑的子逻辑，他们分别刻画了复杂度类NP，P和NL[193]。
宋契对一种附加量词逻辑L（Q）的一些模型论性质进行了讨论，用构造性证明方法证明了完全理论和模型完全理论的一些等价条件，还给出了完全理论T的一种判定定理[100]。
三 格值模型论
一般而言，以不同格中的元素作为真值就会产生不同的格值逻辑。为了研究格值逻辑的模型论，王世强、吴望名研究了在什么情况下，两个不同的格产生同样的逻辑[349]。王世强和翁稼丰还研究了格值一阶谓词逻辑的前束范式和Skolem范式的存在性[122]。有了这些准备工作，王世强首先证明了对于有穷补格L，在L-值逻辑中紧致性定理成立[126]。紧接着王世强和卢景波研究了两类格下的格值模型论性质，证明了超积基本定理，强升、强降Löwenheim-Skolem定理、初等链定理，Robinson和谐定理，Craig内插定理[121][337]。王世强还定义了格值模型的原子模型和可数饱和模型，讨论了它们的基本性质[127]；证明了省略型定理[125]。王世强建立了格值模型论的基本概念、方法和定理。在此基础上，王世强的学生们对格值模型论的研究更加深入。沈复兴定义了格值模型的∑n-初等子模型[330]，给出了一个分划理论是模型完全的充分必要条件[88]。沈复兴把传统模型论中的力迫方法引入到格值模型论中，定义了格值模型的有穷力迫和脱殊模型，证明了脱殊模型存在性定理[86]。沈复兴还建立了无穷长语言
的格值模型论，在给出一个格值模型满足一个无穷长公式的定义之后，他做了如下工作[331]：
·证明了Scott同构定理；
·推广了和谐性质，证明了模型存在定理；
·证明了降Löwenheim-Skolem定理，弱Robinson和谐定理，以及Craig内插定理。
之后，沈复兴又把力迫方法引入无穷长语言中的格值模型论中[87]。继沈复兴的工作，别荣芳证明了
子语言
的格值模型论中的省略型定理[6]。在此基础上，她证明了原子模型的存在性；给出了素模型存在的充分必要条件，一模型是素模型的充分必要条件等。别荣芳还证明了
的格值模型的Malitz插入定理[5]。宋契则证明了逻辑
的格值模型论中的超积基本定理[339]。
前面提及的工作，主要是把2-值模型论的方法和结论推广到格值模型中。沈云付则研究格值模型的性质与格的性质之间的联系。他给出了若干条件，当一个格满足这些条件（之一）时，格值模型论的一些定理可以通过2-值模型论来讨论。进而他给出了强升Löwenheim-Skolem定理在格值模型论中不成立的反例[93]。他还给出了Keisler-Shelah同构定理在格值模型论中不成立的反例[92][94]。
王捍贫和谢惠扬将带广义量词Q的一阶逻辑的二值弱模型推广到取值于完备弱可补格上，对有限的线性序弱可补格证明了省略型定理[119]，还讨论了初等子模型的一些性质，如强升和强降Löwenheim-Skolem定理等[144]。
四 模型论在数学中的应用
模型论的思想和方法应用于具体的数学结构取得了惊人的成功。
王世强不但研究模型论，也重视模型论的应用。他定义了交换环上的哥德巴赫性质：即对任何非0非单位元a，2a都可表示为两个不可约元（亦称素元）的和。王世强利用模型论和数论方法首先证明了：每个二次代数整数环都存在满足哥德巴赫性质的扩环[133]。紧接着王和武涛又证明了：每个二次代数整数环都存在不满足哥德巴赫性质的扩环[123]。这一结果表明哥德巴赫猜想对这些环理论的独立性。构作这些扩环的基本思路是：考虑上述任意代数整数环I的某些剩余类环，由于它们是有限环，所以易于判断哥德巴赫性质对之是否成立。如果能找到I的无限多个适合此性质的剩余类环，则可构作它们的一个适当的超积J，使J成为I的扩环。又由于哥德巴赫性质是一阶逻辑语言中的命题，所以由模型论中的超积基本定理可知J也适合哥德巴赫性质。对于哥德巴赫性质的反面以及孪生素数命题及其否定命题，也都可沿着类似思路构作出I的相应扩环。到了1984年，王世强又证明了某些三次代数整环也分别有满足和不满足哥德巴赫猜想的扩环[134]。他在某些满足哥德巴赫性质的环中还得到了，Dirichlet定理的一种弱形式和“最后”费马定理的弱形式[135]。然而，沈复兴构造一种新环其中哥德巴赫性质成立，但Dirichlet定理却不成立[89]。沈复兴和丁震讨论了王世强于1984年定义的两个环中的数论性质，特别地，丢番图方程
（其中k是正整数）在某一个环中有非零解[85]。到了2007年，王世琪证明了：对于很多4次代数整数环，存在着不具有Goldbach性质的扩环[120]。而别荣芳证明了，对于很多5次代数整数环，存在着具有哥德巴赫性质的扩环[4]。
王世强于1988年又转向归纳环和归纳域的研究[129]。他于1989年在国际杂志Annals of Pure and Applied Logic撰文证明了：每个特征为0的代数闭域都是归纳域；对于有单位元和非0特征的环，它是归纳的当且仅当它同构于
的剩余类环；对每一基数k，王构造出无穷多个互不同构的基数为k的归纳环；王还给出了两个不是归纳环的例子[350]。别荣芳研究了整数环的归纳扩环的多样性[3]。别荣芳和王世强证明了，数论中的某些无解的三次丢番图方程在整数环的某些归纳扩环中有解[186]。
王世强结合模型论方法，给出了代数闭域上希尔伯特零点定理的一些推广形式[124]。他将前人关于任意域上无限线性方程组可解性的定理在不可数域上推广到可以包括高次不等式组的情况，这样可便于讨论线性代数中例如方阵的非异性等问题[132]。童雪与别荣芳以α-型和紧致性定理为工具研究Hilbert零点问题，推广了Abiande的结果，给出了域上的无限线性方程组有解的一些判定准则[110]。
王世强把他的关于Hilbert零点的结果应用于有关域上无限方阵的问题的研究。例如证明了如下结论：设F为一有限域或为一不可数代数闭域，则F上每一无限矩阵M都能表示为两个特殊形状无限矩阵的平方和[128]。王世强对域上某些无限维向量引入“无限线性相关”的概念，给出了任意域上行列有限矩阵M（即：每行及每列都只含有限个非零元的无限矩阵，以下简称rcf矩阵）存在各种逆方阵的充分必要条件。例如：任域F上rcf矩阵M具有rcf双侧逆矩阵的充分必要条件是：M的诸行及诸列都是与无限线性无关的[131]。在此基础上，他解决了任意域上rcf矩阵M在等价变换下的对角化问题，给出了M可对角化的充分必要条件及可对角化rcf方阵的完全分类[347]。这项分类的成果显示了rcf矩阵与有限矩阵在性质上的很大差异。F上的rcf矩阵并不都是可对角化的。张玉平和王世强给出了ω1-饱和域上的矩阵可对角化的一个充分条件[166]。陈国龙则研究了可除环上的上三角矩阵双侧可逆的充分条件[7]。
沈恩绍用布尔值模型的方法引入了弱力迫的一种表示，并把它用于f-伴随理论的表示[84]。他还发现了一种构造存在闭结构的新方法[326]。沈恩绍还把Henkin方法的能行形式与Robinson的模型论力迫法结合起来研究最大和最小存在完全结构的可判定性和存在性，给出了相应的充分必要条件[325]。王世强讨论了域理论中全称公式的可判定性[138]。薛瑞利用广义Ehrenfeucht博弈理论证明了有限可换主理想环上模的理论是可判定的，并且判定过程的计算复杂性上界为
[148]；他还证明了广义模理论T（Q）的模型可归约性[147]。
于丽荣和罗里波应用紧致性定理构造算术系统的非标准模型，讨论了中国剩余定理的非标准形式[155]。沈复兴和马鑫用模型论的方法证明了一类三素元组猜想独立于一公理组，此公理组在自然数系
上与Peano算术公理系统是等价的[69]。
汪芳庭利用模型论研究一种特殊语言上的算术理论，建立了构造实数的新方法[114]。