1.2 工程问题的数学物理方程及数值算法

一般而言，工程问题可以转换为与之等价的数学物理方程，而数值算法是求解数理方程的有效手段。

1.2.1 工程问题复杂的需求及过程

现代社会中，随着快速交通工具、大型建筑物、大跨度桥梁、大功率发电机组、精密机械设备等向高速化、大型化、大功率化、轻量化、精密化的趋势发展，由此引发的机械工程问题日趋复杂。这对工程设计人员提出了新的挑战，往往需要在设计阶段就精确地考虑及预测出产品及工程的技术性能，不仅涉及结构分析的静力、动力问题，以及结构强度、刚度、稳定性、疲劳失效等问题，而且还涉及结构场、温度场、流场、电磁场等多场耦合情况的分析计算。

例如，随着对产品速度要求的提高，短时间内的加速或减速将导致结构惯性力增加；随着产品结构的柔度加大，结构更容易产生振动，而振动将降低结构的精度和缩短使用寿命，因此产品动力设计中就要综合考虑这些影响因素（见图1.2-1所示的运动机构）。

保温夹套蝶阀（见图1.2-2）中需关注温度分布、流体速度、压力分布对蝶阀性能参数的影响，故要进行热、流体、结构的耦合场分析；手机的设计中需要考虑（见图1.2-3）传热、热应力、信号集成、芯片电源管理、高频分析、天线、触摸屏、信号干扰等多种工程难题。

1.2.2 工程问题的数学物理方程

1．简述

解决实际工程问题时，一般都可以借助于物理定理，将其转换为相关的代数方程、微分方程或积分方程，即工程问题可以转化为与之等价的数学物理方程。

一般在工程问题的控制微分方程组的描述中，有相应的物理边界条件和/或初值条件，控制方程通常由其基本方程和平衡方程给出，平衡方程往往代表了微元体的质量、力或能量的平衡，这样给定一组条件，求解微分方程组就可以得到系统的解析解。

工程问题中常见的3种数学物理方程是波动方程、输运方程（扩散方程）和稳定场方程，其含义、控制微分方程和定解条件见表1.2-1。

2．案例说明

下面以稳定场方程中的一维弹性问题为例加以说明，一维弹性直杆如图1.2-4所示。

（1）平衡方程。

假设轴向方向为x，在法向应力σ(x)和轴向体积力b(x)的作用下，截面积为A(x)的直杆上的微元体力平衡问题可以表示为一维微分方程：

（2）基本方程。

根据Hooke（胡克）定律，x处截面的应力σ(x)与应变ε(x)为线弹性关系，比例系数为直杆材料的弹性模量E(x)，则材料本构方程表示为：

应变ε(x)与轴向位移u(x)的几何方程表示为：

由式(1.2.1)～式(1.2.3)得到关于位移u(x)的二阶微分方程：

（3）定解条件。

第一类边界条件（也称为几何边界/本质边界）为位移边界：

第二类边界条件（也称为自然边界）为应力边界：

根据上述条件可以得到未知的位移函数u(x)的解。

式（1.2.4）的参数中，确定的直杆参数包括材料参数和几何参数，材料参数为弹性模量E(x)，几何参数为截面积A(x)和直杆长度L；而使构件位移产生变化的扰动参数则是直杆的体积力b(x)和边界条件。

因此工程问题中，可将影响系统行为的参数分为两组，一组参数反映系统的自然行为，为系统的自然属性，如弹性模量、热导率、黏度、面积、惯性矩等材料、几何特征等；另一组参数会引起系统的扰动，如外力、力矩、温差、压差等。

这样区分主要是为了帮助理解在有限元分析模型中涉及的矩阵（如结构分析中的刚度矩阵和载荷矩阵）的位置及其作用。

3．工程物理问题的表征

为便于理解，表1.2-2给出部分工程物理问题的表征，表1.2-3给出稳定场边值问题中用一维控制微分方程表征不同物理问题的示例。

1.2.3 控制微分方程的数值算法

虽然推导控制方程不是很困难，但得到精确的解析解仍是个棘手的问题，因此近似求解的分析方法是一种有效的手段。

偏微分方程数值解的求解方法主要包括有限差分法、有限元方法、有限体积法，本质上都需要将求解对象细分为许多小的区域（单元）和节点，使用数值解法求解离散方程。有限差分法主要用于求解依赖于时间的问题（双曲线方程和抛物线方程），而有限元方法则侧重于稳定场问题（椭圆方程）；有限体积法则介于有限元法和有限差分法。

有限差分法使用差分方程代替偏微分方程，从而得到一组联立的线性方程组；而有限元法使用积分方法建立系统的代数方程组，用一个连续函数近似描述每个单元的解，由于内部单元的边界连续，故可以通过单个解组装起来得到整个问题的解。

有限体积法属于加权余量法中的子区域法，属于采用局部近似的离散方法；将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；使待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。

有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求节点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。3种数值算法对比见表1.2-4。