第1章
引论

1.1　总论

量子力学研究的是微观世界物质粒子的运动规律，是物理科学一个最重要的分支。量子力学的研究对象涉及原子、分子和凝聚态物质，而且包括原子核和基本粒子等。量子力学在化学、材料学和生物学等学科以及许多近代技术中均得到了广泛的应用。它与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。量子力学已经取得了惊人的成功，至今还没有发现一项量子力学的理论预言是错的。当今全球经济的大约1/3依赖于以量子力学为基础而发展起来的学科，例如半导体物理学、原子物理学、固体物理学、量子光学、核物理学和粒子物理学甚至于包括化学和宇宙学等。

19世纪末，人类在生产实践中发现旧有的经典物理学理论无法解释微观系统的一些实验事实。于是，经过物理学家们的努力，在20世纪初（主要是20年代）创立了量子力学，解释了经典物理学不能解释的现象。量子力学从根本上改变了人类对物质结构及其相互作用的理解。现在，除了需要透过广义相对论描写的引力之外，迄今所有的基本相互作用都可以在目前的量子力学（量子场论）框架内描述。

量子力学是同20世纪一起来到人间的。奇妙的是，量子力学甚至有一个大家公认的诞生日，那就是：1900年12月14日。这一天，德国伟大的物理学家普朗克在柏林德国科学院物理学年会上宣布了他的伟大发现——能量量子化假说，即标志着量子论的诞生。量子论给我们提供了新的关于自然界的表述方法和思考方式。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质、光的吸收与辐射等。人们将量子的发现称为人类科学和思想领域中的一场伟大的革命。继普朗克发现量子之后，量子力学的发展远远超出了任何一个最能幻想的科幻小说家的想象。

量子力学的发展主要可以分为两个阶段，即1900年至1925年的旧量子论时期和1925年以后的量子力学理论的正式创立和完善阶段。

1．关于正统的量子力学理论创立之前的旧量子论时代（1900—1925年）

旧量子论主要包括普朗克的量子假说、爱因斯坦的光量子理论和玻尔的原子理论。关于旧量子论的创立，普朗克作出了非常特殊的贡献，取得了划时代意义的突破——第一个窥见了“量子”。人们在研究黑体辐射时，发现维恩公式只在短波范围成立，而瑞利公式只在长波范围适用，这两个公式当时各自独立地在各自的频率区域内成立。1900年10月，普朗克“无意”中凑出了一个公式，它很自然地在短波区域趋于维恩公式，而在长波区域趋于瑞利公式。1900年10月19日，普朗克在柏林物理学会的会议上提出了上述公式。这个公式被发现与实验数据符合得非常好。普朗克非常清楚公式的背后一定隐藏着重要的“东西”，这最终促成了上面提到的1900年12月14日量子假说理论的诞生。所谓的“量子”，就是辐射能量的释放和吸收都是不连续的，而是一小份一小份地进行。普朗克把这每一小份能量称为一个“量子”。

1905年，爱因斯坦引进光量子的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。此外，爱因斯坦又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热的问题。可以看到，爱因斯坦对早期量子理论的发展起到了举足轻重的作用。1913年，玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论，按照这个理论，电子只能在分立的轨道上运动。玻尔是旧量子论时代的领袖人物，团结和鼓励了一大批在量子力学领域取得辉煌成就的年轻人。在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，1923年法国物理学家德布罗意提出了物质波这一概念。他认为一切微观粒子均伴随着一个波，就是所谓的德布罗意波，这最终帮助了量子力学波动力学形式的诞生。显然，旧量子论是同普朗克、爱因斯坦、玻尔以及索末菲等人的名字紧紧联系在一起的。更加具体的讨论会在相关章节中展开。

2．关于正统的量子力学理论的创立

1925年，德国物理学家海森伯（W. Heisenberg，曾译为海森堡）建立了量子力学的第一个数学描述——矩阵力学。1926年，奥地利科学家薛定谔提出了描述物质波连续时空演化的偏微分方程——薛定谔方程，从而给出了量子力学的另一个数学描述——波动力学（狄拉克也有一种形式，但通常不被提起）。1948年前后，费恩曼还创立了量子力学的第三种形式——路径积分形式。历史上，正统的量子力学理论的发展有两条路线（后来费恩曼的路径积分形式除外）：一条是从普朗克的量子论到玻尔的原子结构的量子论，再到爱因斯坦的辐射量子论，最后到海森伯的矩阵力学；另一条是从普朗克的量子论到爱因斯坦的光的波粒二象性，再到德布罗意的电子的波粒二象性，最后到薛定谔的波动力学。矩阵力学和波动力学都是逻辑上完备的量子力学体系，二者早被证明是等价的，不过只是数学形式上的不同而已。

量子力学正统理论的发展（从1925年开始）是同海森伯、薛定谔、玻恩、约尔当⁽¹⁾、泡利、狄拉克以及德布罗意等人的名字紧紧联系在一起的（这里只列出代表性人物，当然还有其他人），他们完成了把旧量子论转变成一种真正的量子理论这一艰苦的工作。20世纪20年代的物理学风起云涌，重大理论突破不断出现，很快就建立了量子力学比较完善的理论体系。这也使得后来的许多聪明人只能作为“旁观者”而叹息那种激动人心的大发现的时代已经一去不复返了。

当从经典力学过渡到量子力学的时候，我们所关心的最重要的物理量也发生了变化。在经典力学中，最重要的是系统的受力情况，而在量子力学中，受力已经不再重要（甚至无用了），重要的是系统的能量和动量。我们在量子力学中处理的不再是质点的运动轨迹，而是在空间和时间中变化的波函数。正统量子力学体系的核心是薛定谔方程及其波函数的概念（波动力学体系）。薛定谔写出薛定谔方程之后，1926年夏，玻恩提出了对波函数的正确解释，即几率解释。可见，有趣的是，尽管波函数早已被写在了薛定谔方程当中，但是薛定谔本人却并不清楚波函数的含义，他甚至极力反对玻恩对波函数进行的几率解释。从薛定谔方程诞生以来，九十多年过去了。虽然量子力学的内容被极大地丰富了，但是最基本的量子力学原理和概念并没有变化。量子力学是严谨的和实事求是的，而且量子力学还在进步着，尽管有时候是艰难和缓慢的。有人统计过，截至1960年，以薛定谔方程为基础的论文就超过了10万篇（到现在，已经远远大于这个数），可见它是处理物质的电子和结构问题的强大的数学工具。

量子力学最重要的方面是其所揭示的叠加性、随机性和非定域性。在量子力学中，讨论波的叠加时，都是指波函数的叠加。而波函数本身并不直接对应着物理实在，只有它的平方才对应着一种概率。可见量子力学中态的叠加性与经典物理中若干波的叠加是完全不同的；关于随机性，即在量子力学中占支配地位的是统计确定性。在微观世界里，我们已经无法预言一个微粒的运动，即微观世界的规律存在随机性。例如，没有人能够预见一个放射性原子何时会衰变；关于非定域性，一个例子是在量子力学中存在着一种“怪异”的现象，就是有一种跨空间、瞬间影响个体双方的量子纠缠存在，也就是爱因斯坦所说的“鬼魅的超距作用”。所以，对于初学量子力学的人来说，笔者认为，理解整个量子力学体系的核心主要需要掌握两点：①量子力学的第二个基本假设（参见4.3节），理解这一点对于理解“叠加性”有根本意义上的重要性，对理解整个量子力学的数学框架也有重要帮助；②对于一个微观系统来说，只有其中的某个部分具有真正完全的随机性（或者系统本来就含有量子非定域关联的子部分），这样的系统才可能拥有量子效应。这一点可以这样来理解：假如系统中所有的部分都没有随机性，也就是说，构成系统的所有部件都是确定性的，这样的系统便是经典系统。至于量子力学的非定域性，虽然它非常重要且必须了解它，但是真正的理解可能存在困难（世界上可能还没有人能真正理解它）。

量子力学中最重要的概念是什么？关于这样的问题，至今仍有不同的答案。玻尔一直认为，量子力学中最本质的概念应该是他的互补原理。海森伯早期则认为，最重要的概念是他提出的测不准关系以及矩阵力学中出现的非零的对易关系。狄拉克早期也认为，最重要的是“力学量不遵守乘法交换律的假设”。但是到了晚年，狄拉克认识到几率幅（即波函数）及其几率解释的概念才是量子力学中最基本的。海森伯到了晚年也认为，量子力学中态的定义，是对自然现象的描述所作出的一个巨大变革。费恩曼则一贯主张几率幅是量子力学中最基础的概念，他在提出路径积分方法的文章中，就是从讨论几率幅的概念开始的。看来，量子力学大师们都还比较倾向于认为几率幅（在本书中，将更多地使用“态”或“波函数”以及“几率解释”）是最重要的概念。

量子力学同任何一门物理学分支一样，既包含了一套如何开展计算的数学方法，又包含着把计算结果同经验事实相联系起来的规则。这些内容对于需要读懂量子力学课程的学生来说，是必须掌握的基本内容。此外，量子力学还有另一方面的内容，就是对量子力学本身的解释的问题。量子力学作为人类高度智慧的结晶，有着非常深刻的含义，对它的解释有的还非常难以理解又充满着争议。也就是说，大多数的书籍对于量子力学的数学框架的叙述是大同小异的，但是对于一些基本概念，不同的书则可能各不相同，莫衷一是。在这一本薄薄的书中，我们“坚决地”建议读者暂时不要去深入思考量子力学的解释的问题。当需要讨论这方面的问题时，我们尽量采用哥本哈根学派对量子力学的正统解释。

量子物理学是目前关于自然界的最基本的理论。虽然人类在20世纪20年代就创立了量子力学，然而至今仍无法真正地理解这个理论的真谛。似乎连20世纪最伟大的科学家们也都没有真正理解它，一直在为之争论不休。当然，我们相信，越是困难或越有挑战性的问题就越能激起人类的好奇心。对于每一个对自然界充满好奇的现代人来说，不理解量子就无法理解我们身边的世界，就不能真正成为一个有理性的、思想健全的人。撰写这本不是很厚的关于量子力学基本知识的书籍，目的就是要帮助有好奇心的现代人能够比较容易地进入量子力学的世界。然后，在此基础上，学习更高等的量子力学（有兴趣的话）。

微观世界如此之小，人类不可能直观地体验，我们只能通过某些实验方法间接地测量，再用抽象的数学手段想象似地加以描绘。因此，我们没有理由要求微观世界遵循我们常见的宏观规律，也没有理由用理解经典现象的方式去理解微观的量子世界。为了大家能够很快地了解量子力学的发展进程，在本书的附录A中，给出了量子力学发展史比较详细的年表，供参考。这部分内容主要参考了金尚年老师的《量子力学的物理基础和哲学背景》。