掷硬币打赌问题的数学解答

掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同。出A面你投一亏一，出B面你投一赚二。假设你开始只有100元，输了没法再借，现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户？不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y =ax2+bx+c。抛物线可以用来描述炮弹的飞行轨迹，它有一个最高点，当水平距离x = -b/（2a）时，高度y达到最大。下面我们来具体讲讲如何利用中学数学知识帮助我们尽快成为百万富翁。

对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比Rg随下注比例q的变化是：

要使Rg达最大，只需使上式右边括号中的内容达到最大。根据数学知识，q= -1/[2×（-2）]=1/4=0.25=25%时，括号中的内容和几何平均收益Rg达到最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25%是最优投资比例。

对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益 ra和几何平均收益rg随下注比例q的变化如图2-3所示。容易看出，算术平均收益rg和投资比例q成正比关系；而几何平均收益不是，q太大反而不好，如果q＞0.5则从长远看必然亏损。

图2-3 几何平均收益rg和算术平均收益ra随q的变化

上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即P1=P2=0.5；盈亏幅度是给定的（-1和2）。如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小，P1和P2皆不等于0.5，并且盈亏幅度也是变化的（为r1小于0且r2大于0），则这时几何平均收益为：

这时最优比例如何求法？现在我们用 H表示资金翻一番的数目，如果Rg=2，则H=1；如果Rg不等于2呢？我们可以用log2 Rg表示翻番数，即：

H=log2 Rg=P1log2（1+r 1 q）+P2log2（1+r 2 q）

这一公式很像通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数H叫作增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法（可见数学还是有用的），令H对q的导数等于0，可以求出的最优投资比例是：

注意上式分子括号中正好是算术平均收益。所以上面公式可以写为：

q*=E/|r1r2|

有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是1到6；出1,2亏一倍，出3,4,5,6赢一倍。则P1=1/3, P2=2/3, r1=-1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。读者不妨通过反复掷硬币或掷骰子检验上面的结论。

如果亏损幅度r1= -1，那么上面的公式就变为著名的凯利公式：

q*=P-（1-P）/R

其中P=P2，是赢的概率，R=r2。