第一节 微积分

一、本节概述

本节主要包括函数的极限与连续、一元函数微分学和积分学以及多元函数的微分等几部分内容。

历年真题考点分布图：

二、大纲要求

一元函数的微分、一元函数的积分、多元函数的一阶偏导数、函数的单调性和极值。

三、核心考点

（一）函数、极限和连续

1．函数

（1）定义

设有两个变量x和y，如果∀x∈D, y按一定的规则都有一确定的值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f（x），其中x称为自变量，y称为因变量或函数，D称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域，即W={f（x）|∀x∈D}。

（2）函数的性质

① 有界性 若存在一个正数M，对一切x∈（a, b）恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在（a, b）内有界，否则f（x）称为无界函数。

② 奇偶性 设y=f（x）的定义域D=[-a, a]，若∀x∈D, f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若∀x∈D, f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。

注：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称，且f（0）=0。

③ 单调性 如果∀x1, x2∈I，且x1＜x2，均有f（x1）≤f（x2），则称f（x）在I上单调递增；若∀x1, x2∈I，且x1＜x2，均有f（x1）＜f（x2），则称f（x）在I上严格单调递增。

如果∀x1, x2∈I，且x1＜x2，均有f（x1）≥f（x2），则称f（x）在I上单调递减；若∀x1, x2∈I，且x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），则称f（x）在I上严格单调递减。

④ 周期性 设函数f（x）的定义域为（-∞, ∞），若存在正数T，对一切x∈（-∞, ∞）恒有f（x+T）=f（x）（T是满足这种关系的最小正数），则称 f（x）为周期函数，称T为f（x）的最小正周期，简称周期。

一个关于周期函数的重要变换：

（3）初等函数

常数函数：y=c（c为常数），指数函数：y=ax（a＞0, a≠1），对数函数：y=logax（a＞0, a≠1）和幂函数y=xa等都称为初等函数。从它们出发，经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数也为初等函数，如y=（x+1）2+ln（x+1）等。

（4）复合函数

设y=f（u），u∈D1与u=g（x），x∈D2为两个函数，如果g（x）的值域包含于f（x）的定义域内，则可定义y=f（g（x）），x∈D2为函数f（u）与g（x）的复合函数，记作y=f（g（x））或f˚g。

2．极限

（1）定义

当x→a（a为有限点x0或±∞）时，函数f（x）无限趋于某个常数A，则称f（x）在x→a时有极限，或称当x→a时f（x）收敛到A，记为。

的充分必要条件是。

的充分必要条件是。

（2）极限四则运算法则

设极限limf（x），limg（x）都存在，则

lim[f（x）± g（x）]=lim f（x）± lim g（x），lim cf（x）=c lim f（x）

limf（x）g（x）=limf（x）·limg（x），（其中limg（x）≠0）

注：这里每一式中自变量的变化过程一致。

（3）函数极限的性质

① 当x→a（a为有限点x0或∞）时，存在，则其极限值是唯一的。

② 如果，则f（x）在x0点附近有界；如果，则f（x）在|x|充分大时有界。

③ 如果，则在x0点附近f（x）＞0（或f（x）＜0）。

④ 夹逼定理：设在x0的一个空心邻域内有 f1（x）≤f（x）≤f2（x），且，则。

⑤ 复合函数的极限法则：设 y=f（g（x）），若（在x0附近，g（x）≠a）,，则。

（4）两个基本极限公式

3．无穷小量与无穷大量

（1）定义

①若，则称f（x）在x→x0（或∞）时为无穷小量。

② 若x→x0（或∞）时，|f（x）|无限地变大，则称f（x）在x→x0（或∞）时为无穷大量，记为，此时，f（x）的极限不存在。

③ 设x→x0（或∞）时，f（x）→0, g（x）→0。

若x→x0（或∞）时，，则称f（x）是g（x）的高阶无穷小，记作f（x）=o（g（x））；

若x→x0（或∞）时，，则称f（x）是g（x）的等价无穷小，记作f（x）～g（x）；

若x→x0（或∞）时，，则称f（x）是g（x）的同阶无穷小，记作f（x）=O#（g（x））。

（2）无穷小量与函数极限的关系

等价于，等价于f（x）=A+α（x），其中α（x）在x→x0（或∞）时为无穷小量。

（3）无穷小量与无穷大量的关系

当x→x0（或∞）时，f（x）≠0，则等价于，即无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

（4）无穷小量的性质

若x→x0（或∞）时，f（x）→0, g（x）→0，则f（x）±g（x）→0, f（x）g（x）→0。

无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量。

若x→x0（或∞）时，f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），则。

4．函数的连续性

（1）连续性的概念

①若，则称f（x）在点x0处连续。若，则称f（x）在点x0处左连续；若，则称f（x）在点x0处右连续。

注：函数f（x）在点x0处连续的充要条件是左、右皆连续，即

f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）

② 若f（x）在（a, b）内每一点都连续，则称f（x）是（a, b）上的连续函数。若f（x）在（a, b）内每一点都连续，且在其端点a处为右连续，在端点b处为左连续，则称f（x）是[a, b]上的连续函数。

（2）连续函数的性质

① 若f（x），g（x）为（a，b）上的连续函数，则f（x）±g（x），f（x）g（x），均为（a，b）上的连续函数；

② 初等函数在定义域内连续；

③ 连续函数的复合函数仍是连续函数；

④ 闭区间上连续函数的性质。

有界定理：若f（x）是[a, b]上的连续函数，则f（x）在[a, b]上有界，且有最大值和最小值。

零点定理：若f（x）在[a, b]上连续，且 f（a）f（b）＜0，则存在点ξ∈（a, b），使得f（ξ）=0，即ξ是方程f（x）=0的根。

介值定理：若f（x）在[a, b]上连续，且f（a）＜μ＜f（b）（或f（a）＞μ＞f（b）），则存在点ξ∈（a, b），使得f（ξ）=μ。

5．函数图像的凸凹性与拐点

（1）函数的凸凹性及判别法

定义1：设f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，若曲线y=f（x）位于每点处切线的下方，则称f（x）在[a, b]上是向下凹（或向上凸）的，简称下凹（或上凸）。若曲线y=f（x）位于每点处切线的上方，则称f（x）在[a, b]上是向上凹（或向下凸）的，简称上凹（或下凸）。

定义2：设f（x）在[a, b]上有定义，若对[a, b]上任意两点x1, x2（x1≠x2）有

或

则称f（x）在[a, b]上是上凸（或下凸）的。

判定定理：若在[a, b]上 f″（x）＞0（或 f″（x）＜0），则 f（x）在[a, b]上是下凸（或上凸）的。

（2）拐点及判别法

定义：曲线y=f（x）的凸、凹区间的分界点（x0, f（x0））称为曲线的拐点。

拐点的必要条件：若函数y=f（x）在x0处有二阶导数，则（x0, f（x0））是曲线y=f（x）的拐点的必要条件是f″（x0）=0。

注：f″（x0）不存在的点也可能是拐点。

拐点的充分条件：若经过x0时，f″（x）变号，则（x0, f（x0））为f（x）的拐点。

（二）一元函数微分学

1．导数的概念

（1）导数定义：设y=f（x）在x0的某邻域内有定义，在该邻域内给自变量一个改变量Δx，函数值有一相应改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0点的导数，此时称 f（x）在 x0点可导，用 f＇（x0）（或y＇|x=x0，或，或）表示。

若y=f（x）在集合D内处处可导，则对任意x0∈D，相应的导数f＇（x0）将随x0的变化而变化，因此它是x的函数，称为y=f（x）的导函数，记作f＇（x）（或y＇，或，或）。

（2）左、右导数

，称为f（x）在x0点的左导数；

，称为f（x）在x0点的右导数。

（3）函数可导与连续的关系

定理：若f（x）在x0点可导，则f（x）在x0点连续。

2．导数的运算

（1）常用初等函数的导数

（2）导数的运算

① 四则运算法则：若f（x），g（x）可导，则

（a）（f±g）＇=f＇+g＇；（b）（fg）＇=f＇g+fg＇；（c）。

② 复合函数的导数

设u=g（x）在点x处可导，y=f（u）在u=g（x）处可导，则复合函数y=f[g（x）]在点x处可导，且。

此公式可推广到多个函数复合求导。

③ 函数y=f（x）由参数方程给出时，其中φ（t），ψ（t）都在（a，b）内可导，且φ＇（t）≠0，则

④ 对数求导法

对数求导法是利用对数性质求幂指函数的导数的方法：

利用导数性质，得到

⑤ 反函数求导数

设y=f（x）在（a, b）内可导，且f＇（x）≠0，则其反函数x=g（y）也可导，且反函数的导数为或。

（3）中值定理与导数应用

拉格朗日中值定理：设函数f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，则存在ξ∈（a, b），使得f（b）-f（a）=f＇（ξ）（b-a）。

3．微分

（1）微分的概念

定义：设y=f（x）在x0的某邻域内有定义，若在其中给x0一改变量Δx，相应函数值的改变量可以表示为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+o（Δx），Δx→0

其中A与Δx无关，则称f（x）在x0点可微，且称AΔx为f（x）在x0点的微分，记为

dy|x=x0 = df|x=x0 =AΔx

AΔx是函数改变量的线性主部。

注：y=f（x）在x0点可微的充要条件是f（x）在x0点可导，当y=f（x）在x0点可微时，dy|x=x0=f＇（x0）dx, dy=f＇（x）dx。由此可见，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成。

（2）微分的运算法则

设f（x），g（x）可微，则

①d（c）=0;

②d（cf（x））=cdf（x）;

③d[f（x）±g（x）]=df（x）+dg（x）;

④d[f（x）·g（x）]=g（x）df（x）+f（x）dg（x）；

⑤）。

（3）一阶微分形式不变性

设y=f[g（x）]由可微函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，则y=f[g（x）]关于x可微，

且

d（f[g（x）]）=f＇[g（x）]·g＇（x）dx=f＇[g（x）]dg（x）

即

由于dy=f＇（u）du，不管u是自变量还是中间变量，都具有相同的微分形式，故称为一阶微分形式不变。但导数就不同了：若u是自变量，y＇=f＇（u）；若u是中间变量，u=u（x），则y＇=f＇u·u＇x。

4．函数的增减性和极值

（1）函数增减性的判定

设函数f（x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，若f＇（x）≥0（或f＇（x）≤0），则f（x）在[a, b]上单调递增（或单调递减）。反之，若f（x）在（a, b）上单调递增（或单调递减）且可导，则f＇（x）≥0（或f＇（x）≤0）。

（2）函数极值的概念与判定

定义：设f（x）在x0的某邻域内有定义，对该邻域内任意点x，都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），则称f（x0）为f（x）的极大值（或极小值），x0为f（x）的极大值点（或极小值点）。

注：极值点一定是内点，极值不可能在区间的端点取到。

① 极值存在的必要条件。若f（x）在x0点可导，且x0为极值点，则f＇（x0）=0。因此，极值点只需在f＇（x）=0的点（驻点）或f＇（x）不存在的点中去找，也就是说，极值点一定是f＇（x）=0的点（驻点）或f＇（x）不存在的点，但这种点并不一定都是极值点，故应加以判别。

② 极值存在的充分条件。

一阶导数判定法：设f（x）在x0点连续，且f＇（x0）=0（或f＇（x0）不存在）。若存在δ＞0，使得当x∈（x0-δ, x0）时，有f＇（x）＞0（或f＇（x）＜0），当x∈（x0, x0+δ）时，有f＇（x）＜0（或f＇（x）＞0），此时x0为极大（或极小）值点，f（x0）为极大（或极小）值。若f＇（x）在x0的左右不变号，则x0不是极值点。

二阶导数判定法：若f＇（x0）=0且f″（x0）＜0（或f″（x0）＞0），则x0为极大（或极小）值点。

（3）函数的最值

求最大值与最小值只需找出极值的可能点，把这些点的函数值与区间的端点函数值比较，找出最大的与最小的即为最大值和最小值，相应的点为最大值点和最小值点。

注：极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质。

（三）一元函数的积分

1．不定积分

（1）原函数

定义：如果在区间I上总有F＇（x）=f（x），则称F（x）是 f（x）在区间 I上的一个原函数。

例如，在（-∞, ∞）上有（sinx）＇=cosx，于是sinx是cosx在（-∞, ∞）内的原函数。（x2）＇=2x，于是2x是x2的原函数。

注1：若f（x）有原函数，则原函数不唯一，且 f（x）的任意两个原函数之间相差一个常数。

注2:f（x）在区间I上存在原函数的充分条件是f（x）在区间I上连续。

（2）不定积分定义

f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx，其中∫称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积微分子，x为积分变量。

如果F（x）是f（x）的一个原函数，则∫f（x）dx=F（x）+C，其中C为任意常数。

例如∫cosxdx= sinx+C∫,2xdx=x2+C。

（3）不定积分与导数（微分）的关系

求函数的不定积分是求导数（微分）的逆运算，它们之间有如下关系：

①∫（（x）dxf）＇=f（x）；

②d∫（（x）dxf）=f（x）dx；

③∫F＇（x）dx=F（x）+C；

④∫dF（x）=F（x）+C。

（4）不定积分的运算法则

①（数乘）对任意常数C, ∫Cf（x）dx=C∫f（x）dx。

②（加减法）对任意常数A, B, ∫[Af（x）+Bg（x）]dx=A∫f（x）dx+B∫g（x）dx。

（5）常用不定积分公式

①∫kdx=kx+C（k是常数）；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦。

（6）求不定积分的基本方法

① 直接积分法

所谓直接积分法，就是用基本的积分公式和不定积分的运算性质求出不定积分的结果。

② 分部积分公式

∫u（x）v＇（x）dx=u（x）v（x）-∫u＇（x）v（x）dx

或

∫v（x）u＇（x）dx=u（x）v（x）-∫v＇（x）u（x）dx

注：分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。

③ 换元积分法

第一换元积分法：若f（x）=g（φ（x））φ＇（x），x∈[a，b]，则

∫f（x）dx=∫g（φ（x））φ＇（x）dx=∫g（u）du

第二换元积分法：又若φ＇（x）≠0，

∫g（u）du=∫g（φ（x））φ＇（x）dx=∫f（x）dx

2．定积分

（1）定义

设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，在闭区间[a，b]内任意插入n-1个分点将[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]，记Δxi=xi-xi-1（i=1,2，…，n），∀ξ∈[xi-1，xi]，作乘积

f（ξi）Δxi（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）。设λ=

max{Δxi:i=1,2, …, n}，若极限存在、唯一且该极限值与区间[a, b]的分

法及分点ξi的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f（x）在[a, b]上的定积分，记作

，即否则称f（x）在[a, b]上不可积。

注1：若存在，区间[a, b]进行特殊分割，分点ξi采用特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，读者要真正理解。

注2：定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即。

定积分的几何意义：若f（x）在[a, b]上可积，且f（x）≥0，则表示曲线y=f（x）与直线y=0, x=a, x=b所围成的曲边梯形的面积。

同样，变力所做的功（其中f（x）是变力）；变速直线运动的路程s=是瞬时速度）；密度不均质直线段 [a, b]的质量（其中μ（x）是线密度）。

规定,。

（2）定积分的充分、必要条件

定理1 若函数f（x）在闭区间[a, b]上可积，则f（x）在[a, b]上有界；反之不成立。

例如，，在[0,1]上有界但不可积。

事实上，因为不论把[0,1]分割得多么细，在每个小区间[xi-1, xi]中，总能找到有理数，无理数，可知,，故不存在。

定理2 若f（x）在闭区间[a, b]上连续，则f（x）在[a, b]上可积。

定理3 若f（x）在闭区间[a, b]上只有有限个间断点且有界，则f（x）在[a, b]上可积。

定理4 若f（x）在闭区间[a, b]上单调，则f（x）在[a, b]上可积。

（3）定积分的性质

性质1 。

性质2（线性运算法则） 设f（x），g（x）在[a，b]上可积，对任何常数α，β，则

性质3（区间的可加性） 若f（x）在以a, b, c为端点构成的最大区间上可积，则不论a, b, c大小关系如何，有。

性质4 若f（x）在[a, b]上可积且f（x）≥0，则。

性质5 若f（x），g（x）在[a，b]上可积且f（x）≥g（x），则。

性质6 若f（x）在[a, b]上连续，f（x）≥0，且f（x）不恒为0，则。

性质7 若f（x），g（x）在[a，b]上连续且f（x）≥g（x），但f（x）≠g（x），则。

性质8 若f（x）在[a, b]上可积，则。

性质9 若f（x）在[a, b]上可积，m, M分别是f（x）在区间[a, b]上的最小值与最大值，则

性质4～性质9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围。

性质10（积分中值定理） 若 f（x）在闭区间[a, b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a, b]，使

而称为f（x）在区间[a, b]上的平均值，即闭区间[a, b]上连续函数f（x）的平均值是。

注：这里的ξ∈[a, b]与ξ∈（a, b）是不同的。

性质11设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，则

①；

②。

（4）定积分的重要公式

① 微分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a, b]上的一个原函数，则

② 定积分的换元公式

设函数f（x）在[a, b]上连续，变换x=θ（t）满足：

（a）θ＇（t）在[α, β]上连续，且θ＇（t）≠0；

（b）当t在[α, β]上变化时，θ（t）的值在[a, b]上变化，且θ（α）=a, θ（β）=b，则

③ 定积分的分部积分公式

设u=u（x），v=v（x）在[a，b]上有连续导数，则

（5）定积分的应用——平面图形的面积

求函数y=f（x）和y=g（x）与两条直线x=a, x=b所围图形的面积。

（四）多元函数微积分

1．多元函数定义

设D是xOy平面上的某个点集，如果对于每一点（x, y）有唯一的实数f（x, y）与其对应，则称f（x, y）是定义在D上的二元函数，D为其定义域。通常记作

z=f（x， y），（x， y）∈D

2．二元函数的极限

设函数f（x, y）在点（x0, y0）的附近有定义（可以在（x0, y0）点没有定义），如果当点（x, y）以任何方式趋于（x0, y0）时，f（x, y）都无限接近于一个确定的常数A，则称当（x, y）趋于（x0, y0）时，f（x, y）以A为极限，记作

3．二元函数的连续

设函数f（x, y）在点（x0, y0）的某邻域有定义，极限存在，且，则称函数f（x, y）在点（x0, y0）处连续，否则称点（x0, y0）是函数f（x, y）的间断点。

如果函数f（x, y）在平面区域 D内的每一点都连续，则称函数 f（x, y）在区域 D内连续。

连续函数的性质：

① 二元连续函数经四则运算后仍为二元连续函数；

② 如果函数f（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数f（x, y）必在D上取得最大值和最小值。

4．偏导数

（1）定义

设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0处而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），如果存在，则称此极限为函数 z=f（x，y）在点（x0，y0）处对 x的偏导数，记为，，，或，定义为

同理可以定义函数z=f（x, y）对自变量y的偏导数，记作,或，定义为

（2）偏导数的求法

由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法。求时把y视为常数而对x求导，求时把x视为常数而对y求导，这仍然是一元函数求导问题。

（3）偏导数存在与连续的关系

二元函数f（x, y）在点（x0, y0）处偏导数存在但函数 f（x, y）在点（x0, y0）未必连续。例如

依定义知在（0,0）处，，但函数在该点并不连续。

5．全微分

（1）定义

如果函数z=f（x, y）在点（x, y）的改变量Δz=f（x+Δx, y+Δy）-f（x, y）可表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中常数 A, B 仅与点（x, y）有关，而与 Δx, Δy 无关，ρ=，则称函数f（x, y）在点（x, y）可微分，并称AΔx+BΔy为函数f（x, y）在点（x, y）的全微分，记作dz，即

dz=AΔx+BΔy

（2）全微分与偏导数的关系

可微分的必要条件：如果函数z=f（x, y）在点（x, y）可微分，则函数f（x, y）在该点的偏导数存在，且,。由此可知，全微分可记作

可微分的充分条件：如果函数 z=f（x, y）在点（x, y）的偏导数存在且连续，则函数f（x, y）在该点可微分。

6．复合函数的微分

（1）全导数公式

设函数z=f（u，v），u=φ（x），v=ψ（x）构成复合函数z=f（φ（x），ψ（x）），如果u，v在x点可微，z=f（u，v）在相应于x点的（u，v）处可微，则复合函数z=f（φ（x），ψ（x））在点x的偏导数存在，且

该公式称为全导数公式。

（2）两个中间变量、两个自变量的情形

设函数z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y）构成复合函数z=f（φ（x，y），ψ（x，y））。如果u，v在点（x，y）关于x和y的偏导数存在，z=f（u，v）在相应于（x，y）的（u，v）处可微，则复合函数z=f（φ（x，y），ψ（x，y））在点（x，y）关于x和y的偏导数存在，且偏导数公式是

7．隐函数的微分

设函数F（x, y）在点 P（x0, y0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F（x0, y0）=0，，则方程F（x, y）=0在点P（x0, y0）的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y0=f（x0），且有公式

由方程F（x，y，z）=0确定隐函数z=f（x，y），如果，则

四、解题方法

技巧一：无穷小量代换法

用极限的运算法则或直接运用洛必达法则等方法计算较复杂函数的极限时，它的运算过程都十分烦琐。利用等价无穷小量的代换性质可以简化极限的运算过程，对求出函数的极限十分关键。

技巧二：洛必达法则

洛必达（L'Hopital）法则是在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。洛必达法则是求未定式极限的有效工具。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：型，∞∞型（x→∞或x→a），而其他的如0·∞型，∞-∞型，以及1∞型，∞0型和∞0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。

技巧三：反例法

在做选择题时，通过举反例来排除不正确选项是一种非常可行的方法。

技巧四：观察选项法

对于选择题，有些时候根据题意直接观察选项便可作出判断，尤其是不定积分的题目。

技巧五：拆分降阶法

对于分式的定积分（或不定积分），可以通过因式分解等办法，将高阶分式分裂为两个或多个低阶分式的和的形式，然后对低阶分式利用常用的积分公式进行求解。

技巧六：微分基本定理

对于定积分问题，通过构造原函数，利用微分基本定理进行求解，这是一种非常常用的定积分求解方法。

技巧七：分部积分法

分部积分法是求解不定积分和定积分的一种方法，与乘积的求导是相对应的。对于定积分的分部积分法，特别要注意积分上、下限。

技巧八：换元积分法（凑微分法）

换元积分法是在积分过程中通过引入新的变量来简化积分计算的一种积分方法，也称为凑微分法。通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应地变换积分的上、下限，这样可以简化计算。

五、真题例解

例1（2012-21） 函数f（x）=lnx-ln（1-x）的定义域是______。

A．（-1, ∞）

B．（0, ∞）

C．（1, ∞）

D．（0,1）

解析 本题考查初等函数的定义域。

根据对数函数的性质，可知，故正确选项为D。

例2（2012-22） 极限l。

A．1

B．0

C．-1

D．不存在

解析 本题考查函数的极限性质。

因为，即有界，所以l。从而

故正确选项为A。

例3（2012-31） 求极限l。

解析 本题考查极限的求法。在这里分别用无穷小量代换法和洛必达法则进行求解。

【无穷小量代换法】 当x→0时，, ex+e-x-2～x2，所以

【洛必达法则】 该极限是型，用洛必达法则，

因为，由洛必达法则得l，所以

例4（2013-31） 求极限

解析 本题考查极限的求解。

利用等价无穷小代换和洛必达法则，

例5（2012-23） 设f＇（x）=arcsinx2，则f＇（x）=______。

A．

B．

C．

D．

解析 本题考查导数计算的复合函数求导法则。

根据复合函数求导法则，故正确选项为D。

例6（2013-23） 函数y=ln（1+2x2），则dy|x=0=。

A．0

B．1

C．dx

D．2dx

解析 本题考查微分的定义。

，故正确选项为A。

例7（2013-25） 设=。

A．0

B．1

C．2

D．3

解析 本题考查导数的定义以及洛必达法则。

由F（x）定义可知F（0）=0。根据导数定义并运用洛必达法则，→，选正确选项为B。

例8（2013-32） 求函数的导函数。

解析 本题考查函数的求导。

。

例9（2011-23） 函数f（x）=x3+6x2+9x，那么。

A．x=-1为f（x）的极大值点

B．x=-1为f（x）的极小值点

C．x=0为f（x）的极大值点

D．x=0为f（x）的极小值点

解析 本题考查函数极值与导数的关系。

根据极值点的判别定理，本题中f（x）=x3+6x2+9x，由f＇（x）=0得两个驻点x=-1或x=-3，由f″（-1）=6＞0知x=-1为f（x）的极小值点。在x=0处，由于f＇（0）≠0，可知x=0不为f（x）的极值点，故选B。

例10（2011-31） 求函数f（x）=（x-1）2（x+1）2的单调递减区间和极值。

解析 本题考查导数的应用中函数单调区间与极值的计算。

f＇（x）=[（x-1）2（x+1）2]＇=4x3-4x, f″（x）= 12x2-4

由f＇（x）＞0得到单调增区间为[-1,0]∪[1, +∞）；由f＇（x）＜0得到单调减区间为（-∞, -1）∪（0,1）。由f＇（x）=0得到驻点x=0, x=1, x=-1，又f″（0）=-4＜0, f″（1）=f″（-1）=8＞0，故f（0）=1为极大值；f（-1）=f（1）=0为极小值。

例11（2012-24） x=0是函数f（x）=ex2+x的______。

A．零点

B．驻点

C．极值点

D．非极值点

解析 本题考查函数极值点、驻点、零点的概念。

【排除法】 把x=0代入函数表达式中，得f（0）=1≠0，故x=0不是零点，排除A。

把x=0代入导函数表达式f＇（x）=ex2+x（2x+1）中，得f＇（0）=1≠0，故x=0不是驻点，排除B。进而根据极值点的性质知道，该点也不是极值点，排除C。故正确选项为D。

例12（2013-22）已知x=1是函数y=x3+ax2 的驻点，则常数a=______。

A．0

B．1

C．

D．

解析 本题考查驻点的定义。

函数的驻点即y＇=0的点。令y＇=3x2+2ax=0，把x=1代入，得3+2a=0, ，故正确选项为C。

例13（2011-24） 设函数f（x）在开区间（a, b）内有f＇（x）＜0，且f″（x）＜0，则y=f（x）在（a, b）内______。

A．单调增加，图像上凹

B．单调增加，图像下凹

C．单调减少，图像上凹

D．单调减少，图像下凹

解析 本题考查函数的单调性与凹凸性。

根据单调性定理，f＇（x）＜0，故函数y=f（x）在（a, b）内单调减少；根据函数凹凸性与二阶导数的关系，f″（x）＜0，故函数y=f（x）在（a, b）内是下凹函数，故选D。

例14（2011-35） 已知某函数的需求函数为，成本函数为C=50+2Q，求产量为多少时利润最大？

解析 本题考查导数的经济学应用以及函数最值的计算。

【一阶导数判定法】 收益=需求×价格，故本题中的收益为。而利润=收益-成本，故本题中的利润为

求导可得，令F＇（Q）=0可得Q=20。

又当Q＜20时，F＇（Q）＞0；当Q＞20时，F＇（Q）＜0。可知Q=20时，利润最大。

例15（2012-34） 求函数f（x）=2x3+3x2-12x+1的极值。

解析 本题考查函数极值点的求法。

【二阶导数判定法】 一阶导函数和二阶导函数分别为

f＇（x）= 6x2+6x-12, f″（x）= 12x+6

首先求函数的驻点，令f＇（x）=0，即6x2+6x-12=0，解得x=1, -2。

把x=1代入二阶导函数中，得f″（1）=18＞0，故该点为极小值点，极小值为f（1）=-6。

把x=-2代入二阶导函数中，得 f″（-2）=-18＜0，故该点为极大值点，极大值为f（-2）=21。

例16（2013-34） 求函数y=x4-2x3+1的单调区间和极值点。

解析 本题考查函数的单调性和极值点的判别。

【一阶导数判定法】对函数求导y＇=4x3-6x2，令y＇=0，即4x3-6x2=0，可以解出x=0,32。

当x∈（32, +∞）时，y＇＞0，函数为单调递增函数，则为单调递增区间；

当x∈（-∞,32）时，y＇＜0，函数为单调递减函数，则为单调递减区间；

故为极小值点。

例17（2011-22） 不定积分=。

A．

B．

C．

D．

解析 本题考查不定积分计算的第一类换元法（凑微分法）。

【换元积分法】 根据换元法，。令t=1-x2，则原积分变为，故C，故选B。

例18（2012-25） 不定积分∫sinxcosxdx不等于。

A．

B．

C．

D．

解析 本题考查不定积分的性质。

【常规解法】，所以A正确。

，所以D正确。

，所以C正确。

故原不定积分不等于B。

【观察选项法】 该题可以通过直接观察选项作答。利用三角函数的关系，可知

即选项A, C, D之间只差一常数，故正确选项为B。

例19（2013-24）设sinx是函数f（x）的一个原函数，则∫xf＇（x）dx=______。

A．xcosx-sinx

B．xcosx-sinx+C

C．xsinx-cosx

D．xsinx-cosx+C

解析 本题考查不定积分的求解。

【分部积分法】 由题意知，f（x）=cosx。

由分部积分得到∫xf＇（x）d x=∫x d f（x）=xf（x）-∫f（x）d x=x cos x-sinx+C，故正确选择为B。

例20（2011-33） 设f＇（x）=cosx-2x，且f（0）=2，求f（x）。

解析 本题考查原函数与导数的概念以及不定积分的计算。

【微分基本定理】 ∫f＇（x）dx=∫（cosx-2x）dx=sinx-x2+C，所以f（x）=sinx-x2+C，又f（0）=2，得C=2，故f（x）=sinx-x2+2。

例21（2011-32） 计算定积分。解析 本题考查定积分的计算。

【拆分降阶法】

例22（2012-32） 求定积分。

解析 本题考查定积分的计算。

【微分基本定理】因为的一个原函数为，所以利用微分基本定理，有

【换元积分法】 令y=1+lnx，则

例23（2013-33） 求定积分。

解析 本题考查定积分的计算。

【积分换元法】 由积分换元法，令，则x=t3, dx=3t2dt，当x=0时，t=0；当x=8时，t=2,.

例24（2013-26） 设，则。

A．0

B．

C．

D．e

解析 本题考查定积分的求解。

令，则f（x）=ex+x3a，等式两边在[0,1]上求积分，得到

，所以。故正确选项为B。

例25（2011-25） 设函数y=f（x）在区间[0, a]上有连续导数，则定积分在几何上表示。

A．曲边梯形的面积

B．梯形的面积

C．曲边三角形的面积

D．三角形的面积

解析 本题考查定积分的几何意义以及分部积分法。

【分部积分法】 由分部积分法可知

结合上图及定积分的几何意义可知：af（a）表示图中矩形ABCO的面积，而积分则表示图中曲边梯形BCOD的面积，故选表示灰色区域的面积，即曲边△ABD的面积，选C。

例26（2012-26） 设 , ，则 I, J 的大小关系是。

A．I＜J

B．I＞J

C．I≤J

D．I≥J

解析 本题考查定积分的大小关系。

当时，0＜sinx＜cosx＜1⇒ln sinx＜ln cosx＜0。利用定积分的性质，可知I＜J，故选A。

例27（2013-36） 设，求。

解析 本题考查定积分的求解。

例28（2011-34）设z=z（x, y）是由方程x+y+z-xyz=0所确定的隐函数，求和。

解析 本题考查二元函数的偏导数求法。

对方程x+y+z-xyz=0等号两边同时关于x求偏导数得，整理得到，同理。

例29（2012-35）求由方程xyz=arctan（x+y+z）确定的隐函数z=z（x, y）关于x和y的偏导数的和。

解析 本题考查隐函数的偏导数。

【隐函数定理】 令F（x，y，z）=arctan（x+y+z）-xyz，由题意知，方程F（x，y，z）=0确定了隐函数z=z（x，y）。因为，所以

例30（2013-35）设二元函数z=exy f（x2+y），其中f（w）是一个可导函数，求偏导数, 。

解析 本题考查多元函数的偏导数求法。

六、优化训练

1．若，则a= ,b=。

2．设函数f（x）在区间[-1,1]上连续，则x=0是函数的。

A．跳跃间断点

B．可去间断点

C．无穷间断点

D．振荡间断点

3．设f＇（x）在[a, b]上连续，且f＇（a）＞0, f＇（b）＜0，则下列结论中错误的是。

A．至少存在一点x0∈（a, b），使得f（x0）＞f（a）

B．至少存在一点x0∈（a, b），使得f（x0）＞f（b）

C．至少存在一点x0∈（a, b），使得f＇（x0）=0

D．至少存在一点x0∈（a, b），使得f（x0）=0

4．当x→0时，f（x）=x-sinax与g（x）=x2 ln（1-bx）是等价无穷小，则

A．a=1,

B．a=1,

C．a=-1,

D．a=-1,

5．设函数y=y（x）由方程y ln y-x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1,1）附近的凹凸性。

6．设。

7．假设f（x）为[0,1]上的连续函数，证明：。

8．设。

9．假设z=f（x, y）由方程z3-sinxcosy+ez=x2y2确定，求dz。

10．设f（x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是______。

A．f（0）是极大值，是极小值

B．f（0）是极小值，是极大值

C．f（0）是极大值，也是极大值

D．f（0）是极小值，也是极小值

优化训练答案

1．解析 因为，且，所以，得a=1。极限化为

得b=-4，因此，a=1, b=-4。

2．解析 利用洛必达法则，

所以x=0是函数g（x）的可去间断点，故正确选项为B。

3．解析 利用介值定理与极限的保号性可得到3个正确的选项，由排除法可选出错误选项。

由已知f＇（x）在[a, b]上连续，且f＇（a）＞0, f＇（b）＜0，则由介值定理，至少存在一点x0∈（a, b），使得f＇（x0）=0。

另外，由极限的保号性，至少存在一点x0∈（a, b），使得，即f（x0）＞f（a）。同理，至少存在一点x0∈（a, b），使得f（x0）＞f（b）。所以，A、B、C都正确，故选D。

4．解析 f（x）=x-sinax, g（x）=x2 ln（1-bx）为等价无穷小，则

，所以a3=-6b，故排除B, C。

另外存在，蕴含了1-acosax→0（x→0），故a=1，排除D，所以本题选A。

5．解析 对方程两边求导得

从而有

再对两边求导得

求在（1,1）的值

所以y=y（x）在点（1,1）附近是上凸的。

6．解析 令x-1=t，则。

7．解析 令，则

8．解析 由z=（x+ey2）x，故z（x,0）=（x+1）x，

代入x=1得

9．解析 方程两端同时对x求偏导，得到，解得

同理，方程两端同时对y求偏导，得到，解得

故。

10．解析 对 f（x）求导，f＇（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，显然 f＇（0）=0, 。又f″（x）=cosx-xsinx，且f″（0）=1＞0, ，故f（0）是极小值，是极大值，正确选项为B。