第二节 债券定价

为了对债券进行合理的定价，我们需要建立一个清晰的量化方法。此处的重点不在于具体计算，而是在于需要读者掌握运算方法的原理和计算背后的假设。首先，在所有金融工具的定价中，我们都会运用到贴现的概念。贴现的本质是未来的货币价值低于现在的货币价值。其原因很简单，今天的1元钱通过投资可以在未来获得一定的回报，因此它在未来的价值大于1元。为了更好地理解债券的定价原则，我们将以定量的方式来考虑贴现。

为了准确衡量投资1元的回报率，显然我们需要一个已知的利率。假定在一家银行储蓄1元的年利率为3%，利息收益使得一年后这1元增加为1×（1+3%）元。到第二年年初，储蓄账户余额应为1.03元，年末可以再获得3%的利息，因此资金余额变为1×（1+3%）2元。在第三年，储蓄账户中的资金余额继续获得3%的利息，因此第三年年底，资金余额变成1×（1+3%）3元。我们假设利率为r，把这个公式推广到一般情况。则不同年份账户的资金总额为

第1年：1×（1+r）

第2年：1×（1+r）2

第3年：1×（1+r）3

……

第n年：1×（1+r）n

因此，今天在利率为r时投资1元，在n年后就会变为（1+r）n元。这里的利息是按前一年的资金余额为本金进行计算的，每一年的资金量都会在上一年度的基础上有所增长。在以半年为计息周期的复利计算中，除了利息每半年支付一次以外，其他情况与年复利相似。因此，年利率为r时，1元在 n年后会变为元。虽然固定收益市场大多按半年复利计息，但我们为了方便起见，先按年复利方式进行推算。前面我们已经得出了今天的1元会在n年后变为（1+r）n元。现在我们反过来考虑，假设在第n年时你可以得到1元钱，那这1元现在的价值是多少？假设这1元现在的价值为x元，将x替换原来的1元代入n年的计算公式中，则n年后x元会变成x×（1+r）n元。所以：

x×（1+r）n=1或

这样就得到了贴现公式，其中x元是贴现现金流，r是贴现率。为了使这个例子更加直观，我们以贴现利率为3%为例，这样10年后的1元在今天是 0.744元，即0.744元是利率为3%时、10年后的1元的现值。由此我们可以得出，在第n年获得的c元的现值为元。贴现的计算和利率大小直接相关，我们可以发现，当利率为零时，货币的现值和终值相等。

之前我们介绍过固定利率债券的价格和利率变动时债券的变化。虽然债券的吸引力取决于它的利率这种说法很容易理解，但我们需要一个量化的公式来进一步描述债券价格和利率之间的关系。为了理解债券的定价原则，我们需要先分析一种更为基础的债券——零息债券。零息债券是指在持有债券期间不支付利息、债券到期时本金和利息一次性付清的债券。结合其零利率特征和之前贴现的概念，可以得出零息债券的价格等于债券最终支付额的现值。因此，在利息率为r，到期时间为n年，到期支付额为100元的条件下，零息债券的价格是元。

零息债券为标准附息债券的定价提供了基础。因为对于所有债券来说，债券的价格都可以看作债券各期现金流的现值。通过现金流贴现来定价的方法在金融中极为重要，该方法不只适用于债券，还能用于所有能提供确定现金流的证券或金融产品。

在给付息债券定价时，参照零息债券的定价原则，以每年支付3元利息、在10年后支付100元本金的债券为例，各年现金流状况如表4-1所示。

在第10年，债券收到的103元实际上分为两部分：最后一年的3元利息和100元本金。我们可以把债券存续期间每3元的利息当作一张零息债券，本金100元当作另一张零息债券。这样，一张分期支付固定利息的债券就可以看作是多张零息债券的组合。因此，这张债券的价格就是这些零息债券价格之和。

由此出发，我们可以得出债券定价的公式。第一年支付的3元零息债券目前的价格为元，类似地，第二年为元……以此类推，到第10年支付103元时，零息债券的价值为元。因此这张债券的价格是所有零息债券价格之和，也即

其中p为债券价格，r为目前的市场利率。类似地，我们把公式进行一般化，设息票利率为c，还本期限为n年，则

当债券每半年付一次利息时，公式相应变为

原公式的项数增加到2n+1，在这里每6个月看作一段分期，为每6个月的息票支付，为半年的利率。这里的r是市场利率，也即标准债券收益率。而每个债券的收益率指的是债券的内部收益率（IRR），即可以使投资购买债券获得的未来现金流的现值等于债券当前市价的贴现率，也相当于投资者购买债券并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率。

让我们来看一个具体的例子，假设今天新发行一个国债，3年到期，每年付息一次，票面利率为4%，预计到期收益率为5%，则这个债券的价格为

除了计算债券价格以外，有时候我们也会利用公式推算其他信息。例如，在市场中面值为100元的10年期债券按97元的价格交易，其收益率是多少？这里我们无法按简单的代数等式来计算，当知道除收益率外的其余条件时，我们可以用金融计算器或基本的财务软件计算出到期收益率。再举一个例子，当收益率和票面利率都是3%时，债券价格就是100元。相应地当价格为100元，票面利率是3%时，我们可以推算出收益率是3%。因为当票面利率和收益率相等时，债券价格就等于票面价值。但债券价格上升之后，比如价格为104元时，收益率会降到2.54%，而当价格下降到96元时，收益率会提高到3.48%。因为公式中收益率在分母的位置上，通过等式也可以看出债券价格随着收益率的升高而下降（图4-1显示了票面利率3%的10年期债券的价格—收益率关系）。在市场上，债券一般以自身价格为基础进行报价，但也可以以收益率为基础进行报价。

在国债等高信用评级的债券市场中，收益率是不同债券之间进行比较的主要标准。虽然债券市场中的最终应付款项和其他明细项目都需要通过债券价格来计算，但收益率仍然是我们在进行债券分析时最重要的参数。根据之前的分析，不同期限债券的价格随利率变化会发生不同的变动，所以我们很难以价格来衡量5年期债券和10年期债券的优劣。

而收益率提供了将债券价格转换为可以公平评价不同期限债券的方法。虽然收益率不一定是最优的标准，但它确实排除了一些影响价格横向比较的因素。在债券市场中，收益率下降意味着债券价格上涨，反之，收益率上升则意味着债券价格疲软。因此，大多数市场参与者在利率下降时买入债券，在利率上升时抛售债券。