1.3　图像处理与数学的关系

在图像处理研究与发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透在多个研究层次的所有分支之中，而且很多图像处理的实用技术伴随数学领域新的进展引入而产生并得到广泛应用。本节将对网络上查到的公开资料重新进行有选择地组织，以使读者丰富对图像处理原理和技术发展脉络的了解进而得以拓展思维。

1938年，德国人Frieser就提出使用亮度呈正弦曲线分布的分划板来检验成像系统的分辨率，使用这样的分划板，成像后像的亮度仍然呈正弦曲线分布，只是正弦振幅有所降低。1946年法国Duffieux运用Fourier变换这一数学工具来解决光学问题。1948年，美国电视工作者Schade运用通信论的观点，用光学传递函数来评定电视系统的像质。

到20世纪六七十年代为止，以傅里叶分析为代表的线性处理方法占据了几乎整个模拟图像处理领域。而计算机的出现以及信息论、控制论等新理论的提出，也促进了数字图像处理的诞生和成长。借助于随机过程理论，人们建立了图像随机模型；通过概率论以及在此基础上建立的信息论建立了图像编码的框架；线性滤波（维纳滤波、卡尔曼滤波等）方法为低层图像处理提供了有力的理论支持；而快速傅里叶变换则被广泛应用在图像处理的几乎所有分支中。这些数学工具极大地促进了图像处理的发展和应用。

自20世纪80年代开始，非线性科学开始逐渐渗透到数字图像处理方法之中，许多新颖的数学工具被引入到图像处理领域，使相关的理论变得多元化和实用化。尤其以小波和多尺度分析为代表的信息处理方法，继承和发展了傅里叶分析的精华，将函数论和逼近论的最新成果应用在工程实践中，并建立起了完整的系统框架，在图像编码、图像分割、纹理识别、图像滤波、边缘检测、特征提取和分析等方面的应用中，已经取得了非凡的成果。目前，以小波分析方法为基础的多尺度分析方法业已成为信号处理的基础理论之一。

同时，其他非线性的数学工具的应用也取得了丰硕的成果，如分形在图像编码和纹理识别中的应用，且分形图像朝着具有艺术性的、根据某一规则的子图像元素生长的数学表示方向发展。李群在动态图像弹性形变识别中的应用，多尺度分析在图像检索和识别中的应用，非线性规划在矢量量化和图像编码中的应用等等。另外，图像确定性模型（BV 模型）的建立、模糊数学对图像质量的评价体系、Meaningful理论对图像距离的研究是对图像本质的进一步刻画，使计算机可以更贴切地描述人类的视觉系统。而在20世纪90年代的理论发展，开始摆脱对Marr生物视觉系统范畴的依赖。

一方面，基于非线性发展（偏微分）方程的图像处理方法成为近年来图像研究的一个热点。它从分析图像噪声去除的机理入手，结合数学形态学微分几何、射影几何等数学工具，建立了滤波和偏微分方程相关的公理体系。另外，它在图像重构、图像分割、图像识别、遥感图像处理、图像分析、边缘检测、图像插值、医学图像处理、动态图像修补、立体视觉深度检测、运动分析等多个方面都得到了应用。在研究过程中所提出的一些新的概念，如主动轮廓（active contour，snakes）、水平集（level set）等，把数学和图像有机地联系起来。

另一方面，图像处理的实际需求和工程背景也刺激了一些数学分支的发展，如小波理论的研究动力来源于信号处理中对于时频局部化分析的需求，而且在理论体系建立起来之前已经有了广泛的应用；偏微分方程的黏性解概念的提出也是因为在图像处理的应用中应用条件不满足各种微分学中的假设；对于投影几何的研究也由于图像镶嵌的需求而变得更加细致。

近年来，我国高校的数学系设置了信息与科学计算专业，如北京大学数学科学院信息科学系，作为近年快速发展的一个新学科，它运用近代数学方法和计算机技术解决信息科学领域中的问题，应用十分广泛。图像处理是其中一个非常重要的方向，许多学校或研究所都把图像处理作为一个重点发展方向。

为了进一步关注图像处理领域中涉及的数学问题，并使数学研究人员对相关数学问题的工程背景有所了解，国内高校和研究所组织相关单位成立协会并召开学术会议。比如在1990年成立了中国图象图形学学会。它由我国从事图象图形学基础理论与应用研究，软、硬件技术开发及应用推广的专家学者和相关科技工作者组成。国内著名的高等学校、科研院所以及IT企业都是该学会重要成员单位。学会的宗旨是团结广大图象图形科技工作者，积极开展图象图形基础理论和高新技术的研究，促进该学科技术的发展和在国民经济各个领域的推广应用。该学会专业领域涵盖了数字图像处理（增强、复原、重建、分析）、图像理解、计算机视觉、图像压缩与传输、体视技术、科学计算可视化、虚拟现实、多媒体技术、模式识别、计算机图象图形学、医学影像处理、计算机动画、电脑游戏、数码艺术、影视特效、数码相机、DV、空间信息系统等。通过开展科学研究与学术交流，活跃学术思想，促进学科发展，推广先进技术，培养和推荐优秀科技人才，普及图象图形科技知识，传播科学思想和方法，编辑出版学术和科普书刊，开展与国际学术界的交流与合作，加强同国外学术团体和科技工作者的友好交往，向社会提供技术咨询和服务。学会自成立以来，在国内已举行了十八届学术年会开展学术交流，活跃了学术气氛，增强了国内从事图象图形科技研究的科技工作者之间的互相联系和交流。创刊于1996年的《中国图象图形学报》为中国图象图形学学会会刊，突出学术研究，反映图象图形信息科学具有创造性、高水平和重要意义的科研成果，强调实际应用，反映国家图象图形信息科学实用技术和科技进展。

进入21世纪以来，随着电子计算机和Internet网络技术的飞速发展，图像处理的发展也进入了一个新的飞跃阶段。同时，图像处理和计算机视觉的工程应用中也还有许多数学问题尚待解决。