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萤火虫闪烁：同步是必然发生的

20多年前，我认为自己发现了萤火虫同步闪烁的现象。我很难相信自己的眼睛，在我看来，这种发生在昆虫之中的现象必然是违背一切自然规律的。

 

上述文字摘自菲利普·劳伦特（Philip Laurent）于1917年发表在《科学》杂志上的文章，他参加了关于这个令人费解的现象的讨论。300年来，到东南亚旅行的西方游客返回之后都会讲述这样的故事：不计其数的萤火虫全都亮灭一致地闪烁着，绵延于河岸两旁数公里之长。这些趣闻总会受到旅行作家们的青睐，被冠以浪漫色彩，引发广泛质疑。成千上万只萤火虫如何能够在如此巨大的规模中精确地策划它们的闪光，使之成为和谐的交响乐？现在，劳伦特确信自己已经解开了这个谜题：“表面现象是由我眼睑的抽搐或突然的上下眨动引起的，与昆虫完全无关。”

1915—1935年间，《科学》杂志又发表了20篇关于这种神秘的集体同步现象的论文。有些论文认为这种同步仅仅是一个稍纵即逝的巧合，有些则把它归因于特殊的环境条件：独特的湿度、平静的天气，以及黑暗的环境，等等。有些还相信其中一定有一名指挥者：有一只萤火虫在向群体中的所有成员发送指示信号。正如乔治·赫德森（George Hudson）在1918年写道：“如果想要一群人以如此完美的节奏合唱或合奏，不仅需要一名指挥者，而且必须经过训练去遵守他的指挥……这些昆虫天生就拥有比人类完美得多的节奏感吗？”博物学家休·史密斯（Hugh Smith）1923—1934年间居住在泰国，曾无数次目睹了这种同步现象，他愤然写道：“一些已发表的解释比这一现象本身更为不可思议。”但他也承认自己无法给出任何解释。

几十年来，没有人能提出一个合理的理论。1961年，乔伊·亚当森（Joy Adamson）在她的书《生而自由》（Born Free）的续篇中，颇为感慨地描述了她在非洲看到的相同现象，这是这种现象首次在非洲大陆被发现。

 

这是一条巨大的光带，大约有3米宽，由成千上万只萤火虫组成，它们绿色的磷光在齐肩高的草丛上架起了一座光桥……这些微小的生物体组成的荧光带精确地同步闪亮和熄灭。人们疑惑于它们是以什么样的通信方式协调闪光的，仿佛被一台机械装置控制一般。

 

到了20世纪60年代末，萤火虫同步闪光的谜题开始浮现出些许头绪。几乎所有人都错过了一条十分明显的线索，即同步的萤火虫不仅一齐闪光，而且是以恒定的速率有节律地闪光，即使在彼此分离时，它们仍然保持着稳定的节奏。这意味着每一只萤火虫都必须有自己掌控时间的方法，即存在某种内部时钟。这个假想的振子在解剖学上仍来源不明，但被认为系于萤火虫微小的大脑中某处的一簇神经元。与人类心脏中的起搏细胞很像，振子重复地发射，产生有节律的电信号，传送到萤火虫尾部的发光器，最终触发周期性的闪光。

另一条线索来自生物学家约翰·巴克（John Buck）的研究成果，他对于萤火虫同步性的研究比其他人都更为科学可信。20世纪60年代中期，巴克和妻子伊丽莎白第一次去泰国，希望看到萤火虫同步闪光的壮观景象。在一次非正式但十分富于启发的实验中，他们沿着曼谷附近的潮汐河流捕捉了许多萤火虫，将它们放飞到黑暗的酒店房间中。起初，这些萤火虫焦急地飞来飞去，然后逐渐降落到墙壁和天花板上，彼此分开至少10厘米远。刚开始，它们的闪光毫无条理，在巴克满怀惊奇地默默注视之下，两只、三只开始一齐闪光……零星的同步继续出现并发展，直到多达10余只萤火虫完全同步地闪亮和熄灭。

这些观测表明，萤火虫必须通过某种方式调整自己的节奏，以响应其他萤火虫的闪光。为了直接验证这一假设，巴克和同事们进行了实验室研究，他们对一只萤火虫施以闪烁的人造光（模仿另一只萤火虫的闪光），然后观察它的反应。结果发现，单独的一只萤火虫会以持续、可预测的方式改变其随后的闪烁时间，改变的大小和方向取决于接收到刺激信号时的周期位置。对于某些个体而言，刺激信号总是超前于萤火虫的节奏，仿佛要调快它的时钟；对于其他个体而言，时钟不是延迟就是提前，这取决于萤火虫是即将闪光，或是处于两次闪光之间的间隔，等等。

以上两条线索表明：萤火虫的闪光节奏是被一个内部可重置的振子控制的。同时，这也暗示了一种可能的同步机制：在一群闪光的萤火虫中，每一只都在不停地发送和接收信号，并依次改变其他萤火虫的节奏，同时也被其他萤火虫的节奏改变。一阵喧嚣之后，同步不知何故就自发出现了。

由此我们想到了一种解释，这种解释在数十年前似乎还是不可想象的——萤火虫是自组织的。它们不需要指挥家，也不受天气的影响，同步是在彼此的暗示中出现的，同样，没有指挥者的管弦乐队也是通过相同的方式保持完美的节奏的。此处违反直觉的是，虫子不需要具有智能。它们具备所有同步必需的要素：每只萤火虫都有一个振子，这是一个小节拍器，它的时间可以自动调整，以回应其他萤火虫的闪烁。仅此而已。

但有一点，这种方案的有效性并不明显。完美的同步能够从成千上万个无意识的节拍器杂乱无章的喧嚣中产生吗？1989年，我和同事伦尼·米洛罗证明，这个问题的答案是肯定的。这种方案不仅有效，而且在特定条件下总是有效。

 

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出于我们尚未了解的原因，宇宙中最普遍的一个规律就是不断趋于同步，从原子到动物，从人类到星球，皆是如此。女性和其他同性在一起相处久了之后，经常发现她们的生理周期逐渐趋于同一天。从不同方向游向卵子的精子，它们的尾巴摆动方式是一致的，这也是一种原始的同步现象。有时，同步可能是有害的，如癫痫病的病因就是数百万个脑细胞异常同步放电，从而引发的节奏性痉挛，最终导致癫痫病发作。甚至非生命体中也会出现同步。激光束惊人的相干性源于数以万亿计的原子一齐脉动，每个原子都发射出相同相位和频率的光子。在数千年的过程中，潮汐运动的力量将月球牢牢锁定在它的轨道上运行。如今，月球的自转速度与围绕地球公转的速度精确地一致，这也是为什么我们只能看到月球的一面，却从来看不到它黑暗的另一面。

从表面上看，这些现象似乎毫不相关。毕竟，驱动脑细胞同步和激光同步的力量完全无关。但从更深的层次看，它们之间确实存在着关联，这种关联超越了任何特殊机制的细节。这种关联是数学上的，所有例子都是同一个数学题目的变化，这个数学题目就是自组织，即秩序从混沌之中的自发涌现。通过研究简单的萤火虫模型以及其他自组织系统，科学家们开始揭开宇宙中这种眼花缭乱的秩序的谜底。

我和伦尼探索的自组织问题，最初是由纽约大学新闻学院的应用数学家查利·佩斯金（Charlie Peskin）提出的。佩斯金是世界上最富有创造性的数学生物学家之一。他谈吐优雅，留着修剪整齐的胡子，脸上总是带着轻松的笑容。佩斯金喜欢用数学和计算机探索生理奥秘，如人体的分子、组织、器官如何实现其精致的功能，视网膜如何探测到最微弱的光线，分子动力发动机如何产生肌肉力量。佩斯金多才多艺，愿意尝试探索一切需要探求真相的事物。如果他需要的数学不存在，他就自己发明；如果该问题需要超级计算机，他就自己编程；如果现有的程序太慢，他就设计更快的。

甚至佩斯金的数学风格也是灵活务实的。他最为著名的成就是心脏内血液流动的三维模型，模型中有逼真的解剖、瓣膜及纤维结构。对于复杂问题，他结合了用超级计算机模拟的蛮力破解方法，以及完全原创的巧妙的数值方法。然而，对于其他问题，他信奉爱因斯坦的名言：“一切都应该尽可能地简单，但不要太简单。”在面对同步问题时，他选择了一个极简的方法，忽略掉除真正重要的因素以外的所有生物细节。正是这种极简主义，让他构想了心脏起搏细胞如何自同步的示意模型。

心脏中的自然起搏器是进化的奇迹，也许是有史以来最令人印象深刻的振子。有近一万个细胞组成了窦房结，它的功能是产生电节律，控制心脏其余部分的跳动，它必须每分每秒都在稳定地工作。在人的一生中，它大概要跳动30亿次。与心脏中的大多数细胞不同，起搏细胞可以自动振荡：将它们单独放在培养皿中，它们的电压会以规则的节律升降。

以上内容引发的问题是：如果一个起搏细胞就可以完成这项工作的话，那么我们为何还需要如此巨量的细胞？或许是因为一个细胞不够稳定，可能出现故障或是死亡。所以，进化产生了一个更可靠、更民主的系统，由数千个细胞共同确立速率。当然，民主制也有着自己的问题：细胞必须通过某种方式协调它们的发射；如果它们发送相互冲突的信号，心跳就会紊乱。这也是困扰佩斯金的问题：这些细胞在没有指挥者和外界命令的情况下，是如何实现同步的？

这个问题与先前的萤火虫问题十分相似，两者都涉及大量有节律的个体，它们会触发脉冲信号来影响群体中其他个体的节律，根据特定的规则提高或降低它们的速度。两种情况都会不可避免地出现同步，我们面临的挑战便是解释这种现象的原因。

1975年，佩斯金基于简化模型的框架开始研究这个问题。每个起搏细胞都被抽象为一个振荡电路，相当于一个电容与一个电阻并联所组成的RC振荡电路（见图1-1）。（电容器是储存电荷的装置，在这里扮演类似于细胞膜的角色；电阻为电流流出细胞提供了通道，类似于细胞中所谓的泄露通道。）持续输入的电流使电容充电，电压稳步上升。同时，随着电压的上升，通过电阻泄漏的电流增加，因此电压升高的速率放缓。当电压达到阈值的时候，电容放电，电压立即下降到零。我们用这种模式模拟心脏起搏细胞的发射，以及恢复到零电位的过程。然后电压开始再次上升，进入一个新的周期。整个周期分为两个部分：先是一条平缓上升的充电曲线（一个像半拱的图形，上升但是向下弯曲），随后垂直下降到零位。

接下来，佩斯金将心脏起搏器理想化为海量的这种“数学振子”的集合。为简化起见，他假定所有的振子都是相同的（因此全都遵循相同的充电曲线），每个振子和其他振子的耦合强度也相同，只有当振子发射的时候才互相影响。具体而言，当一个振子发射的时候，它会立即刺激其他振子的电压提高一个固定的量，如果有细胞的电压超过阈值便立刻发射。

对这个问题如此困惑的原因是：在任意时刻，不同的振子通常位于周期内的不同阶段，有的处于发射的边缘，有的处于充电曲线的中间部位，还有的仍在零电位上。当领先的振子到达阈值的时候，它会发射并刺激其他振子上升到充电曲线上的不同位置。发射的效应是混合的：接近阈值的振子被刺激后会更接近发射的振子，但那些接近零电位的振子被刺激后会更不同相。换句话说，一个振子的发射对于某些振子而言起到了同步的效果，对其他振子而言却是破坏同步的。而只借助常识，我们无法理解所有这些重新调整的长期结果。

与上述过程相似的更形象的图景是：将单个细胞类比为装满水的抽水马桶水箱。当水注入的时候，水箱中的水位就像细胞的电压一样稳步上升。假设当水位升到一定高度时，马桶就会自动冲水。突然的放水使水位瞬间回落到零位，此时水箱再次注水，从而形成一种自发的振荡。为了完善这个比喻，我们同样需要假设，水箱稍微有些漏水。水从水箱底部的一个小孔排出，水箱里的水越多，漏水速度越快，这意味着水位上升的速度越来越慢。这种泄露对振荡本身并不重要，没有它，装置依然可以运转。但事实证明，它对于多个振子的同步至关重要。最后，假设有一万个这样振荡的马桶组成的队列，我们通过管道系统把每个水箱都连接到一起，当任意一个马桶冲水的时候，就会同等地提高其余所有水箱的水位。如果上升结果使得任何水箱的水位超过了阈值，该水箱就会立刻冲水。

这是一个古怪的景象，一种水管工版本的鲁布·戈德堡机械，于是问题变成了：这奇妙的装置一旦启动后会如何？是永远混乱下去？还是分裂成为对立的派系，轮流排水？

佩斯金推测，系统总会同步：无论它如何开始，结果都是所有振子一齐发射。此外，他还猜想，即使振子并不完全相同，同步也会发生。但当他试图证明自己的猜想时，却遇到了技术上的障碍。并没有现成的数学方法可以处理由许多振子通过瞬时、不连续的脉冲耦合组成的庞大系统。所以他又回过头来研究最简单的情况：两个完全相同的振子的耦合。即便只有两个振子，在数学上也非常棘手。于是他进一步限制了这个问题，只允许极小的相互刺激，以及极小的漏电流流过电阻。现在问题变得简单了，在这种特殊情况下，佩斯金证明了同步发生的必然性。

佩斯金的证明是基于法国数学家、混沌理论的创始人亨利·庞加莱（Henri Poincaré）提出的一个想法。庞加莱的想法主要基于频闪摄影术的数学等效。具体来说就是，取两个完全相同的振子A和B，每当A发射的时候，就对它们拍摄快照，记录它们的变化。这一系列快照会是什么样子？振子A刚刚发射，所以A总是出现在零电位。相比之下，B的电压随着每一张照片变化。通过求解这个模型的方程，佩斯金发现了一个明确但混乱的关于B的电压随照片变化的方程。该方程表明，如果电压低于某一临界值，它会稳步下降到零电位，如果高于这一临界值，它则会稳步上升到阈值。不论发生何种情况，B最终都会与A同步。有一个例外情况是，如果B的电压刚好等于临界值，它便既不上升也不下降，停留在临界值处，两个振子的相位便相差半个周期。但这种平衡是不稳定的，即使是最轻微的扰动也会使系统趋于同步。

尽管佩斯金成功分析了双振子的情况，但是对于任意数量的振子的情况，在那之后15年内都未能得到证明。在此期间，佩斯金的成果并没有受到关注。它被深埋在一本不出名的专著中——这基本上是他讲稿的一个影印集，只有向他所在的部门申请才能借阅。

 

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1989的一天，我正在翻阅一本叫作《生物时间的几何学》（Geometry of Biological Time）的书，该书的作者是理论生物学家，我心目中的英雄——阿瑟·温弗里。当时我在哈佛大学应用数学系做博士后，正在渴求一个新的研究课题。虽然在过去的8年中，我一直在钻研温弗里的书，但依然觉得很有兴味，从中可以获得源源不断的新思想与新灵感。它不仅是对先前生物振子研究的总结，也是猎人的狩猎图，是通往未来发现的向导。几乎在每一页上，温弗里都指出了对于那些富有价值、悬而未决的问题的解决方法，还有成熟问题的内幕消息。

其中便有一个我先前未曾留意的启示：书中有一段记述了振子通过有节律的脉冲进行通信，温弗里提到了佩斯金在他的专著中提出的心脏起搏细胞模型。虽然佩斯金已经成功分析了两个完全相同的振子的情况，但是温弗里写到，“多振子问题还有待解决”。

这句话激起了我的好奇心。对于这个已经存在多时的基本谜题，还有待解决的是什么？我当时从未听说过佩斯金的工作，但它听上去非同寻常。从未有人试图解决多振子“脉冲耦合”的数学问题，在这个问题中，振子的相互作用是通过瞬时的脉冲信号促成的。这是生物数学文献中的一个明显的空白，同时也是一个尴尬的问题，因为生物振子通过这种方式相互作用的例子极为普遍，萤火虫闪光、蟋蟀鸣叫、神经元发射电信号……全都是利用瞬时脉冲来通信的。然而，理论家出于数学上的原因常常回避脉冲耦合问题。脉冲会使得变量发生不连续的跳变，而利用微积分处理跳变比较困难，它最适合用于处理平滑变化的过程。但是，佩斯金却发现了一种分析两个不断重复互相作用的振子的方法。他是如何做到的？是什么阻碍了他解决多振子问题？

我们的图书馆中没有购置佩斯金的专著，他友好地将相关文献寄给了我。他的分析全面、清晰、直接，我很快就了解了为什么他停留在了双振子问题上：尽管他的分析十分简洁，但方程已经变得十分庞大。3个振子的情况更糟，对于n个振子则完全不可解。我也不知该如何展开他的论点或绕过这个难题。

为了更好地理解和体会这个问题的困难程度，我在计算机上用两种不同的方式运行了这个问题。第一种方法是向前再进一步，尝试三振子问题。我模仿佩斯金的策略，设置极小的刺激和漏电流，让计算机处理所有的代数问题。即使这样，得出的方程仍然十分恐怖——有些写满了好几页，在计算机的帮助下，我将它们简化到了可理解的程度。结果表明，对于3个振子的情况，佩斯金的推测可能是正确的。同时，结果也表明了这不是正确的处理方法。即便有计算机的帮助，这种代数问题也只会让人望而却步。

第二种方法是模拟。脱除公式，只是让计算机一步步推进系统的演化，然后观察会发生什么。模拟无法代替数学，因为它无法给出证明，但如果佩斯金的推测是错误的，这种方法则会揭露出反例，从而为我们节约大量时间。这种证据在数学上非常有价值。当你试图证明一件事的时候，它会帮助你了解事情正确与否，给予你坚持寻找严格证明的信心。

编程仿真很容易。当一个振子发射的时候，它会刺激其他所有振子的电压上升一个固定的量。如果任何被刺激的振子的电压超过了阈值，它就会发射，同样也会刺激其他振子。当振子处于发射间隔内的时候，使用佩斯金的公式，所有振子的电压都会朝向阈值增加。

我尝试了100个完全相同的振子的情形。它们的初始电压随机分布在零电位和阈值之间，我将它们描绘成一群朝向阈值运动的点，这些点沿着它们共同的拱形充电曲线上升（横坐标为时间，纵坐标为电压）。即便在计算机图形技术的帮助下，我仍无法在它们的集体运动中发现某种模式，只有一片喧嚣的混乱。

此时的问题在于信息太多。所以我开始认识到佩斯金的频闪法的另一个优势：它不仅简化了分析，而且是使系统的演化可视化的最佳方法。除了恰好在某一特定的振子发射的时刻，所有的振子都是不可见的。在这些时刻，一道假想的频闪光照亮了其余所有振子，显示出了它们的瞬时电压值。随后，整个系统陷于黑暗，直到那个特定的振子下次发射。佩斯金的模型具有一种特性，即振子是轮流发射的，没有哪个振子会插队，所以在下一次闪光之前，其他99个振子会在黑暗中发射。

在计算机上观察可以发现，这些计算十分迅速，以至于屏幕出现了闪烁，99个振子沿着充电曲线上蹿下跳，每次闪光时它们的位置都会发生改变。这种模式是不会错的。点聚集在一起，形成零星的同步，然后合并成为更大规模的同步，就像雨滴在玻璃窗上合流一样。

系统自发趋于同步，这简直不可思议。这是对菲利普·劳伦特和所有坚决认为萤火虫的同步在理论上不可能，并认为这种事情“必然是违背一切自然规律”的怀疑论者们的公然反对。计算机显示了一群没有意识的微小振子可以自动趋于同步，这种结果简直不可思议。人们不禁会认为这些振子是在有意识地配合，努力趋于有序，但它们并非如此。每个振子只是机械地响应其他振子发射的脉冲，完全没有目标。

为了确认我的第一次尝试并非侥幸，我重复模拟了很多次，每次都是随机的初始条件，以及不同的振子数目，但每次都会出现同步。佩斯金的猜想似乎是正确的，我现在面临的挑战是去证明它。只有确凿的证据才能证明同步是必然的，这种证明方法是计算机无法做到的。最好的证明将澄清为什么同步是必然出现的。我请教了我的朋友，波士顿大学的数学家伦尼·米洛罗。

 

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我和伦尼已经相识10年了，在哈佛大学读研究生的时候，我们周末经常一起出去玩，凌晨两点一边用油腻的勺子吃炸薯条，一边以大致相同的观点谈论数学和女人。但那时我们从未一起工作过。他的研究方向是纯数学，而我是应用数学。我们可以互相理解，但并不能完全理解对方。

读博期间，伦尼研究了一个非常抽象的问题，希望以这一课题完成博士论文。他的直觉告诉自己某个理论一定是正确的，于是他花了三年时间试图证明它。但有一天，他意识到这个理论是错误的，因为他发现了一个反例可以摧毁一切。一切都已无法挽救。然而，他并没有沮丧，反而切换到数学领域的一个新分支，解决了其中的一个关键问题，完成了论文，所有这一切只用了一年时间。

1987年前后，我和伦尼开始一起工作。我们二人优势互补，通常由我提出问题，解释其科学背景，进行计算机模拟，提出直观论证。而伦尼会思考解决这个问题的策略，然后找到证明这一理论的方法。

当我告诉伦尼我对佩斯金的模型进行的计算机实验时，他最初很好奇。在理解了这个问题后，他就变得跃跃欲试起来，就像一位等待走上拳台的拳击手。他给了我几分钟时间来总结我所做的工作，但没过多久，他就坚持要用自己的方法来观察它。

伦尼毫不留情地简化了模型。对于佩斯金的原始电路模型中原有的电容、电阻、电压这些细节，他完全没有耐心。他猜测，这个模型唯一关键的特征是：每个振子都遵循一个缓慢上升的电压曲线，直至升到阈值，所以他从一开始就利用了这一曲线。他抛弃了电路，取而代之的是一个抽象的、类似于电压的变量，这个变量反复上升到阈值、发射，然后复位。然后他假想了n个完全相同的这种变量的集合，各个变量都像以前一样相互作用：当一个振子发射的时候，会刺激其他振子上升一个固定的数值，达到阈值的就会发射，而后者上升的数值稍小些。

伦尼的简化模型不仅清晰（减少了大量代数运算），而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释，我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子，无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀，也无论是神经元还是萤火虫。

我们能够证明，对于任意数量的振子，无论它们如何启动，这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念，简单来说就是，如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值，它们便会永远保持同步，仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中，吸收是显而易见的，振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的：一旦两个振子一起发射，它们就再也不会自己分开，因为它们的动力学特性完全相同。此外，它们与其他振子的耦合也完全相同，所以即使被其他振子刺激，它们也会保持同步，因为它们受到的刺激是相同的。因此，吸收的作用就像棘轮，总是会把系统推向同步。

这个证明的核心是，一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中，直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家，你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式，如何才能包含所有的可能性？如何确保会发生足够多次的吸收，使系统一路走向最终的同步？

我会在下文概述原因，不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样，经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程，充满了模糊的想法和图景，特别是在证明的初期，而那些严谨的证明后来才会出现。

 

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第一步是列出所有可能的起始状态。例如，让我们重新考虑两个振子的情形。由于有佩斯金的频闪方法，我们无须在所有时刻都观察振子，观察每个周期中的一个时刻就足矣。我们选择振子A发射后返回零位的时刻，那么振子B可能位于零电位与阈值之间的任意位置。将B的电压视为数轴上的一点，零电位是0，阈值是1，我们可以看到不同的可能性组成了一个线段。这个一维线段包括了系统所有可能的起始条件（因为我们知道A位于0点，刚刚释放回到零位；B的电压是唯一的变量，一定位于0和1之间的线段上的某个位置）。

3个振子创造了一个更大的概率空间。现在我们需要了解两个数字：鉴于A刚刚释放回到0点，我们仍然需要指定这一刻振子B和C的电压数值，我们要看到这两个概率的分布，即B和C电压的所有组合。与几何学上与一对数字对应相似，我们可以把它们看作二维空间中一个点的横纵坐标。

我们画出x、y平面，与高中数学类似，x轴为横坐标，代表A发射时B的电压。y轴为纵坐标，代表同一时刻C的电压。一对电压值便可表示为此平面中的一个点。

因为我们允许B和C的电压可以独立地在0和1之间自由变化（包含所有的可能性），相应的点便在一个正方形区域内移动。正如旋转蚀刻素描上的两个旋钮在正方形屏幕上移动机械笔。

3个振子的结果是，所有可能的初始条件构成了一个正方形区域：一个轴表示B，另一个表示C。在这里，我们不需要为A建立一个轴，因为A的起始位置总是在0点，通过我们对系统的定义便可以知晓（见图1-2）。

模式变得清晰了。随着振子的增加，我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件，5个振子则需要一个四维超立方体来表示，而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信，但如果你尝试去描绘它的话，它确实如此。但是在数学形式上，处理所有维度的方法都是一样的，并不存在新的困难。所以，我选择了继续关注3个振子的情形，它包含了所有的主要思想。

 

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下一步是将动力学状态（即系统随时间的演化）转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下，最终是否会同步。

你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升，然后发射，最终回到零位；它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息，我们再次利用频闪法，让系统在黑暗中运行，直到下一次振子A发射后回到零位，振子B和C做出反应。然后打开闪光灯，用照片记录下B和C的新位置。

在几何图形中看来，正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点，即B和C更新后的电压。换句话讲，系统的动力学演化等同于一次转变，即把正方形中任意给定的点转移到新的一点，转移的依据是一些复杂的规则，取决于充电曲线的形状和刺激的大小。

这个过程是可以重复的，新点可以视为起始点，然后通过变换转移到其他位置，它一次次地重复，蹦蹦跳跳地从正方形中的一个点跳跃到另一个点。如果系统注定会同步，那么这个点最终会跳跃到正方形的左下角，即电压坐标为（0，0）的点，这意味着两个振子同时到达了零电位。为什么会是这个角落？因为这是振子A的位置。根据我们对频闪的定义，A刚刚发射并复位，所以它的电压为0。在同步状态下，其他两个振子的电压也是0。

原则上，针对每个初始点的情况，都可以计算出最终结果。如果所有振子最终都同步发射，那么我们就把这个初始点称为“好点”，否则就是“坏点”。我和伦尼从未找到一种方法来准确判断每个点的好坏，但我们设法证明了几乎所有的点都是好点。坏点虽然存在，但是数量很少而且十分稀疏，把它们集中起来并不占面积。换言之，如果你随机选取一个点，完全不可能选到坏点。

这听起来或许很荒谬：如果坏点存在，你或许认为运气总会让我选到它，但事实上并不会发生。这就像往圆靶上掷飞镖，并要求它精确地落在两个分数之间的分界线上，这已经非常不可能了，而现在我们知道分界线没有宽度（就像要求它没有面积一样），这时你就可以明白为什么随机的投掷永远不会满足要求了。

这是伦尼对于坏点的看法，虽然我们对好点更感兴趣。他的策略很容易让人联想到艺术设计中的负空间概念，即想要了解一个物体就要去了解物体周围的空间，特别是他找到了一种方法可以证明坏点不占面积。

为了表现出论证的风格，我们可以专注于坏点中的坏点，我将这些点称为“极坏点”。这些是抵抗同步趋势最强烈的点，它们从未经历过吸收。而当系统从极坏点启动的时候，没有任何一对振子会同步，更别说整个群体了。

为了了解为什么极坏点不占面积，我们把它们看成一个集合，进而检验当我们把变换应用到该集合中的所有点时，会发生什么。每个极坏点都会跳到其他地方，但变换后它仍是极坏点。这几乎是个无限循环：如果一点永远不会被吸收，那么经过一次变换后，它仍然永远不会被吸收。因此，新点还是极坏点。由于初始集合包括所有的极坏点（根据定义），所以这个新点必定潜伏在其中的某个地方，再从这里开始新的变换。

结论是，变换后的集合完全落在初始区域之内。更直观地讲，就像减肥广告中经常使用的“减肥前”和“减肥后”的对比照片那样。变换后的集合，即“减肥后”的照片，完全包含在了“减肥前”的照片之内，正如减肥广告所承诺的那样。

到目前为止，我们的论据中尚未使用任何关于充电曲线形状以及刺激大小的信息。当最终把这些细节考虑在内的时候，我们遇上了一个乍看上去似乎有些矛盾的问题，然而它实际上是论据的要点。我和伦尼能够证明“减肥前”和“减肥后”的变换有点像复印机的放大功能。任何一组点经过变换后都会放大，这与你选择的点的集合无关，就像与你放在复印机上的图片无关一样。而任何一组点的区域都会增大，特别是极坏点的集合也会放大。这里需要注意的是，这意味着极坏点的集合膨胀了，而不是收缩了，似乎与我们之前得出的结果相矛盾。更准确地说，变换后的极坏点的集合必须落在初始集合的内部，而现在它的范围却变大了，这似乎是不可能的。唯一让两个结论兼容的方法是：初始集合不占据任何区域，就像“减肥前”的照片是一根棍子的形象，这样就不存在矛盾了。当乘以一个大于1的数字时，它的面积仍然是0，所以变换后的集合可以位于初始区域内部。这正是我们想要展示的：极坏点不占据任何面积。所以如果你随机选取初始状态的话，那么你永远无法选取它们。这就是这个模型中同步一定会发生的原因。

同样的论据也适用于任意数量的振子，当有4个或更多的振子时，需要对模型进行轻微修改，用立方体或超立方体替换二维平面。在任何情况下，起始点位于坏点的概率总是0，因此佩斯金是正确的。在他的振子模型中，每个振子完全相同，并通过脉冲相互耦合，在这种情况下，每个振子最终都会一齐发射。

为了继续深入这个证明，我们发现佩斯金的漏电假设是非常关键的，否则从“减肥前”到“减肥后”的变换不会使区域扩大，而全部的论证都会崩溃。事实上，它必须崩溃，因为没有这个假设，这个理论就是错误的。如果充电曲线向上而不是向下弯曲，即如果电压加速上升到阈值，我们的模拟显示系统未必会同步，这些振子也可能会陷入一种随机混乱发射的模式。

当我第一次对我们的工作成果发表演讲的时候，这个微妙的漏电假设经常会让其他数学家犯错误。在我还未来得及解释的时候，一些质问者就会打断我，说这个理论毫无价值，振子毫无疑问会同步，因为它们完全相同且彼此之间的耦合完全一样。我还能期望什么呢？但这种反对太肤浅了，它忽略了充电曲线形状的微妙影响。只有当曲线朝正确的方向弯曲的时候，同步才必定会发生。用生物学术语讲，充电曲线的形状决定了刺激是在周期开始（靠近零电位）时更有效，还是在周期结束（靠近阈值）时更有效。当曲线如佩斯金的模型一样向下弯曲的时候，对于一个给定的刺激电压，曲线上靠近阈值的振子会移动更大的相位，从而确保系统走向同步。然而，想要了解其原因，就需要进行复杂的计算，而且一定不是显而易见的。

我们对佩斯金猜想的证明是首个对于多振子脉冲耦合问题的严格解释。然而，与真正的萤火虫或心脏起搏细胞相比，我们的模型是经过简化的。它假定，一个振子的发射总是刺激其他振子向阈值移动，从而超前它们的相位，而真正的生物振子通常会同时超前或延迟振子的相位。此外，泰国的萤火虫最为擅长同步，这个物种被称为屈翅萤（pteroptyx malaccae）。它们使用的是一种完全不同的策略，即通过不断调整自己的时钟频率，而不是调整相位，来响应接收到的闪光。换句话说，它们是在使自己的生物钟变快或变慢，而不是把分针前后拨动。通过进一步假设所有振子都是完全相同的，该模型忽略了任何真实的生物群体中所固有的遗传差异。最后，我们假定所有振子之间的相互影响是相同的，这对于心脏起搏细胞是一个粗略的近似假定，事实上，心脏起搏细胞主要影响的是与它邻近的细胞。鉴于分析中的各种局限，我们对它将要引起的反响毫无准备。

 

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接下来的短短几年中，共有百余篇关于脉冲耦合振子的论文发表，这些科学家遍及从神经生物学到地球物理学的各个学科。在神经生物学中，研究神经网络的理论家已经开始对流行方法感到不耐烦。流行方法主要通过描述神经元的平均发射速率（每秒钟的尖峰个数）来粗糙地描述神经元，而不是根据尖峰自身的实际时间。这个脉冲耦合振子的新框架完全符合时代的情形和需要。

由于科学社会学发展中的一次意外，或是因为一种神秘的时代思潮，在20世纪90年代早期，其他领域的科学家也在思考这些系统。例如，加州理工学院的著名生物物理学家约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）指出了脉冲耦合神经元与地震之间的关系。在简化的地震模型中，由于地壳板块不断相互拉扯，产生的应力不断增大，直到到达一个阈值，导致板块突然滑动，以一次大爆发释放积蓄的能量。整个过程很容易让人联想起神经元电压的逐渐上升和突然发射。在地震模型中，一个板块的滑移可能足以引发其他板块的滑移，正如神经元放电可以引发大脑中其他神经元发射的连锁反应。这种级联的传播便会引发地震或癫痫发作。根据系统中其他要素的具体配置，结果可能会是轻微的隆隆声，也可能是一场大地震。

相同的数学结构也会出现在其他交互系统模型中，从森林大火到大规模物种灭绝。每一种情况下，都会有某一个体受到越来越大的压力，逐渐趋向阈值，然后突然释放，并把压力传给其他个体，这有可能引发多米诺骨牌效应。在20世纪90年代早期，具有这种特征的模型风行一时。对这种连锁反应的统计分析结果多数微不足道，但也有一些是灾难性的。物理学家伯·巴克（Per Bak）和他的合作者就对统计结果，连同他们所谓的自组织临界性一起进行了理论研究。

霍普菲尔德的见解是，自组织临界性可能与脉冲耦合振子系统的同步密切相关。这两个领域之间可能存在的诱人关系催生了探讨其各种可能性的数十篇论文，其中的插曲也体现了利用数学揭示貌似毫不相关的现象之下潜在的统一方法。

我们的工作成果还引起了媒体的关注，很大程度上是因为它与萤火虫相关，这勾起了人们对于童年时代的回忆——在夏日的夜晚把这些发光的昆虫捉进玻璃瓶中。拜新闻报道所赐，我于1992年收到了一封来自田纳西州诺克斯维尔市的一名叫琳恩·福斯特（Lynn Faust）的女士寄来的信。她准备用一种优雅谦逊的方式，打破已经持续了几十年的萤火虫同步的神话。她在信中写道：

 

我确信你意识到了这一点，但是以防万一，在田纳西州埃尔克蒙特附近的大雾山国家公园中也存在一种群体同步的萤火虫。这种萤火虫在6月中旬的每晚10点左右“开始活动”。它们先是熄灭6秒钟；然后便是完美的同步，数千只萤火虫在3秒内迅速闪亮6次，随后又是6秒的黑暗。

我们在埃尔克蒙特有一间小屋（公园管理人员定于1992年12月将其拆除），据我们所知，只有在这一小片区域，才有这种特殊类型的群体同步的萤火虫存在。

它们十分美丽，与那些黄昏后就开始闪烁的普通萤火虫非常不同。

从那间小屋旁越过小溪，山坡上面的萤火虫会比山下的稍微提前一些开始它们的闪光周期，所以光点看上去就像“倾泻而下的萤火虫瀑布”。

 

琳恩写信给公园管理人员，表示对他们收回埃尔克蒙特居民房屋的计划非常担忧，因为这可能会在科学家研究这些萤火虫之前破坏它们的栖息地。这个奇观在公园的其他地方都未曾有过，就算在一公里之外都没有，这向琳恩暗示了当地居民一定做了使这种奇观成为可能的事情。她猜测，其中的关键可能是刚被修剪过的草坪。50年来，埃尔克蒙特居民大约每两周修剪一次草坪，这使得萤火虫幼虫可以钻进短如苔藓一般的草丛过冬。同样在这片草丛中，它们春天孵化、夏天繁殖。总之琳恩认为，如果没有埃尔克蒙特周围的居民修剪草坪，这些萤火虫可能就会永远从科学界消失。

为了证实她的草坪假说，琳恩注意到，自己发现了萤火虫最集中的地方。正是靠近小屋并延伸到修剪过的草坪的区域……不再定期修剪草坪的莱姆·欧文比大叔家已经没有幼虫了。15年来，从迈纳·麦克金纳的小屋到杰克小溪之间的草坪已经被森林所取代，而此处的萤火虫数量明显减少。

琳恩同样担忧失去她的小屋和社区。琳恩一家人享受萤火虫的灯光表演已经40年了。每年6月，他们家三代人都会将自己裹在毯子里，静静地坐在黑暗的门廊上，等待节目的上演。

琳恩一家人如此熟悉的景象对于科学来讲是如此新奇。琳恩家后院的观测报告可能会成为西半球萤火虫同步研究的首个完备案例。自从20世纪初《科学》杂志上爆发争论之后的数十年中，人们都武断地相信这种奇迹永远不会在美国，只会出现在亚洲和非洲。我让琳恩与乔纳森·科普兰（Jonathan Copeland）取得了联系，乔纳森·科普兰是佐治亚南方大学附近的一位萤火虫研究者。他同他的合作者，康涅狄格大学的安迪·莫采夫（Andy Moiseff）证实，琳恩家附近的萤火虫是同步闪光的，相互之间的闪光时间差不超过0.03秒。

尽管埃尔克蒙特地区于1992年被大雾山国家公园接管，但是这些萤火虫并没有受到影响，“灯光秀”已经成为旅游项目。至于琳恩·福斯特，她仍在继续探索着自然界中无处不在的同步，依然继续着自己的新发现。在一封1999年给我的来信中，琳恩写道：“这个春天，我注意到的不过又是一种简单的同步：当四只家养雄火鸡在春季交配时节聚在一起的时候，头火鸡先叫一声，随后它们就会围成一圈，齐声‘咯咯’叫。”

 

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并非所有人都懂得欣赏动物界迷人的同步现象。1993年5月18日，《国家询问报》刊登了一篇文章，题目是“政府，你将大把的税收用于研究婆罗洲（一半属马来西亚，一半属印尼）的萤火虫，太不明智了！”这篇文章嘲笑国家科学基金会为科普兰的一个提案提供资金，文中写到，来自威斯康星州的共和党议员汤姆·佩特里（Tom Petri）表示：“我认为这项研究并没有什么启发性，如果是我，我会驳回这个提案。花纳税人的钱研究萤火虫，听上去可不是个好主意。”

我们很难责备佩特里议员没有发现关键所在。研究萤火虫的价值将带给我们无尽的惊奇。例如，在1994年以前，网络工程师经常被路由器之间通信的自发搏动所困扰，直到他们认识到这些机器的行为就像萤火虫，定期地交换信息使它们在不经意间形成了同步。原因确定之后，该如何解决信息拥堵就显而易见了。有电子工程师设计了一个分散的架构，使计算机的时钟电路更为高效，这种设计模仿了萤火虫低成本、高可靠性实现同步的策略。这种卑微的生物甚至有助于拯救人类的生命。就在佩特里议员的嘲讽登报的同一星期，《时代周刊》的一篇文章中写到，医生们借用萤火虫的发光酶，即荧光素酶，来加快对治疗耐药结核菌的药物进行测试。

除了给工程师带来启发以外，萤火虫的群体行为对于整个科学界同样具有更广泛的意义。它体现了一个复杂的自组织系统为数不多的几个容易处理的实例之一，数以百万计的相互作用同时出现，此时每个个体都在改变其他个体的状态。实际上，当今科学界所有主要的悬而未决的问题都具有这种复杂的特征，正如当细胞癌变时单个细胞中的连锁生化反应以及它们的破坏作用；股市的繁荣与崩溃；意识从大脑中数万亿个神经元的相互作用中涌现；生命之源从原始海洋的化学反应网络中诞生。所有这些现象都涉及连接到复杂网络中的海量个体，每种情况都会自发涌现出惊人的模式。我们身边的丰富世界在很大程度上就是由自组织造就的奇迹。

然而，我们的大脑并不善于处理这些问题。我们的思考方式习惯于集中控制，清除指挥链，以及直截了当的因果逻辑。但在巨大的相互连接的系统中，每个个体最终都会影响到所有其他个体，这样一来，我们标准的思考方式便会崩溃。简单的图片和口头辩论都显得苍白无力、目光短浅。在经济学中，当我们试图预测减税或利率变化的影响时；在生态学中，当一种新农药通过食物链蔓延，产生意想不到的可怕后果时，我们总是深受这类问题的困扰。

萤火虫问题带来了许多相同概念上的挑战，尽管它显然比经济学或生态学问题要简单得多。我们对于生物体（萤火虫）的性质、行为（有节律地闪光）及相互作用（接收到光后自动调整）的了解，要远多于全球市场和生态网络，因为世界上有太多形形色色的公司、千奇百怪的物种以及它们之间未知的交互模式。但即便如此，理解萤火虫问题仍不容易。事实上，它处于我们当今掌握的知识的边缘。因此，这是一个理想的起点，可以让我们学习数学如何帮助我们解开自发秩序的秘密。同时，这又是一个绝好的研究案例，可以让我们了解在如今这个原始的探索阶段，它能帮助我们做些什么。

 

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虽然同步在生物群体中无处不在，但它的作用并不总是很明显。例如，萤火虫为何要一齐闪光？生物学家们至少提供了10种看似合理的解释，最古老的一种被称为“灯塔假说”。数十年前我们就已经知道，只有雄性萤火虫会同步闪光，根据这种理论，我们可以认为灯光秀是针对雌虫的，是对雌虫的一种集体挑逗。通过一齐闪光，雄性萤火虫增强了引诱信号，光束可以穿越长达数公里的丛林荫蔽来引诱雌性萤火虫，否则雌性萤火虫不会看到它们之中的任何一只。这可能就是为什么在草木茂密的地区，例如泰国和马来西亚的丛林，以及琳恩·福斯特小屋后面的森林，同步现象比较常见，而在美国东部的开阔草地上却很少。可以想见，开阔草地上的萤火虫无须同步发光便可以轻松幽会。

同步的第二个可能的优点是，雄性萤火虫可能会得到幸运女神的眷顾。一只雌性萤火虫看到了与某只雄性萤火虫酷似的邻居，可能会因混淆而与其交配。在这一点上，同步对迷惑食肉动物也同样有益，与群体混在一起总是最安全的。最新的理论是，同步可以反映出竞争关系，而非合作：每一只萤火虫都试图成为第一只闪光的虫子（因为雌虫似乎更偏爱这种雄虫），但如果每一只萤火虫都遵循这种策略，那么同步注定会自发出现。

其他许多生物也是如此，群体的同步在某种程度上与繁殖有关。周期蝉会藏在地下长达17年以躲避它们的天敌，然后数以百万计的蝉会同时破土而出，在一个月内完成交配，随后死亡。成群的雄性招潮蟹中，每一只都会挥舞着那只滑稽的大螯，环绕着雌蟹，以此来吸引雌蟹。（这场景就像很多乐队指挥在共同指挥同一名演奏者。）

对于人类而言，同步也会出现在女性身上。大多数女性都熟悉月经同步的现象，作为姐妹、室友、好友或同事，很多女性会发现她们的经期逐渐趋于同一天。长期以来，月经同步一直作为趣闻逸事，直到玛莎·麦克林托克（Martha McClintock）首次对其进行了科学记录。作为马萨诸塞州韦尔斯利女子学院心理学专业的一名本科生，玛莎研究了135名女同学，让她们记录下自己整个学年的月经周期。10月时，女性好友和室友们的月经周期平均相隔8.5天，但到了第二年3月，她们的平均间隔时间缩短为5天，统计数值显著降低。而随机搭档的女性对照组则没有出现这种变化。

关于同步机制有着各种各样的猜想，其中最可靠的猜测认为它与信息素有关，信息素是一种不确定的无味化学物质，以某种方式传递着同步信号。有关信息素的首个证据来自生物学家迈克尔·拉塞尔（Michael Russell）在1980年完成的一份实验报告。他的一个同事，吉纳维芙·斯维茨（Genevieve Switz）注意到了自己生活中的一种现象：当夏季与一名女性朋友同居的时候，这位朋友的经期就会与她趋近，秋天她们分居以后，她们的经期就会分开。这暗示着吉纳维芙是一个强大的同步器。拉塞尔试图确定吉纳维芙身上的何种物质如此引人注目，在实验中，吉纳维芙把化妆棉放在腋下，每天把收集的汗水送给拉塞尔。随后拉塞尔将其与酒精混合在一起，并把“吉纳维芙的精华”涂在女性受试者的上嘴唇上，一周三次，持续一个月的时间。

实验结果令人惊讶：4个月后，受试者的平均经期与吉纳维芙相差3.4天，而实验开始时相差9.3天。相比之下，对照组（上嘴唇只涂酒精）的经期则无明显变化。显然，吉纳维芙汗液中的某种物质传递了有关她月经周期的信息，通过这样一种方式影响了其他得到信息的女性的月经周期。

而后来的研究就没有这样简单明确了。有些实验发现了同步在统计学上的证据，有些则没有。质疑者依据相互矛盾的数据，将同步视为只是微弱的作用或是巧合。现为芝加哥大学生物学家的麦克林托克最近的工作成果则暗示了完全相反的结果。他们的研究表明，月经同步只是一个更大现象所表现出的最明显的结果，这种现象便是女性之间的化学通信。在1998年进行的一个实验中，麦克林托克和她的同事凯瑟琳·斯特恩（Kathleen Stern）发现，如果她们在女性月经周期的不同时间点上从她们的腋下获取汗水试剂，并涂在其他女性的上嘴唇上，捐赠者的分泌物会以一种规律的方式使接受者的月经周期发生偏移。在月经周期开始时，即排卵前的卵泡期提取的试剂，倾向于缩短接受者的月经周期。换句话说，接受者的排卵时间会比先前的记录提前数日。相比之下，在排卵期提取的试剂会延长接受者的月经周期。在黄体期，即从排卵后到月经来潮的前一天提取的分泌物，则对月经完全没有影响。

其中的言外之意是，亲密群体中的女性总是会提前或推迟彼此的月经周期，通过信息素无意识地参与到无声的对话中，可能产生的结果就是月经同步。但是鉴于信息素的信号会促使经期同步，也会使经期差异扩大（这取决于这些信号在每月的什么时间产生），因此，同步并非一定会发生便不足为奇了，异步甚至反同步（周期完全相反）也是可能的。事实上，这些情况同样也被观察到了。

这种化学通信的功效仍然是一个谜。可能是女性们无意间在努力与朋友们一起排卵和受孕，以使她们分担育儿和哺乳的义务，并错开对立者的月经周期，避免与她们竞争稀缺资源。这听上去遥不可及，但是其他哺乳动物中也存在这种现象。在同步群体中，雌性老鼠群会比单独的雌鼠抚养出体型更大、更健康的后代。如果群体中的所有雌性互相合作的话，那么生殖同步对所有个体都有益。

从数学角度看，麦克林托克的数据证实了你的猜测：作为耦合振子，女人比萤火虫要微妙得多。个体之间的生化促进和延迟并不总是强迫她们趋于同步，这点与东南亚的萤火虫全年的每个夜晚都同步闪光不同。那些萤火虫和心脏起搏细胞不可避免的同步是没有回旋余地的，非常呆板，鉴于此，这种现象很少在其他生物群体中发现。例如女人们，她们的大多数振子会在某些环境中同步，在其他环境中则不同步。

现在看来，我们在前文中设想的模型看上去太简单了。虽然它帮助我们理解了在特定条件下同步是不可避免的，但它没有考虑其他因素。更完善的耦合振子理论应该可以预测特定的一组振子是否会同步，并告诉我们哪些因素是决定性的。

这套理论同样应该考虑振子相互作用的所有方式。回想萤火虫用瞬时脉冲（光的闪亮）互相交流，我们的理论模型忽略了它们除去闪光周期之外的其余时间里的相互作用，而女人每时每刻都在受其他振子的影响。这两种耦合类型在自然界中都很常见，但现有的模型只考虑了脉冲。改进后的模型应该同样适用于持续的相互作用。

此外，我们目前假定给定群体中的振子都是完全相同的，但是真实的振子总是各种各样的，周期长度存在差异。例如某位女性的月经周期是25天，而另一人却是35天，所有其他种类的生物振子都显示出了周期长度的统计分布。甚至表面看上去完全相同的人造电子振子和机械振子也并非完全相同，因为制造过程中总是存在微小的误差，或是材料性能的变化。

这些难题极大地提升了数学方面的困难程度。希望拥有一个更逼真的模型是一回事，构建一个容易处理的模型是另外一回事。如果我们的模型像我们想要描述的现象一样令人费解，那么它将一无所获。这使得数学建模既是一门科学，也是一门艺术：一个优雅的数学模型即意味着简洁与逼真之间的恰当折中。今天，我们拥有了一个美丽的同步模型，就上述特点而言可谓恰如其分，它的创建是三位先驱历经30年共同努力、不断积累的结果，其中就包括20世纪最有远见、最离经叛道的思想家之一。