社会倾斜系统的数学描述和临界值作用

郭爱民

摘要：本文将在个人理性选择基础上研究倾斜系统形成的机制称为非稳定均衡分析，并从系统层面和个体层面两条路径分析研究倾斜系统的数理模型文献。在系统层面，笔者从对倾斜系统的描述发现，当行动者只能单向改变状态时，倾斜系统往一个方向倾斜，倾斜的结果既可能是走向崩溃，也可能是恢复到原来状态。当行动者可以双向改变状态时，倾斜系统双向倾斜，呈现来回震荡的运动特征。有些倾斜系统存在多种状态，既可能往扩散方向倾斜，也可能往稳定状态倾斜。不同运动特征的倾斜系统可以用不同的数理模型来描述。在个体层面，笔者侧重研究倾斜系统的形成原因和运行机制，研究工具随研究视角的不同而不同。描述单个个体的决策可以用数学规划工具，通过个人效用最大化来描述行动者的理性选择过程；描述行动者之间的互动则可以使用博弈论工具，通过动态过程可以较准确地从个体行为推导出系统的运动过程。临界值对系统运动方向有很大影响。当系统某个变量达到临界值时，系统将从稳定转变为倾斜，或者从一种倾斜过程转变为另一种倾斜过程，不同的倾斜系统有不同的临界值。

关键词：倾斜系统 非稳定均衡 临界值

一 研究对象、意义和方法

抢购、股灾、大萧条等群体现象，表现出往某个方向扩散的特征。托马斯·C．谢林（2005）形象地称这类现象为“倾斜系统”，意思是说这类现象代表的社会（或生物）系统具有往某个方向“倾斜”扩散的特征。扩散的方向既可能是单向的，如恐慌引起的抢购风潮，也有可能是双向来回震荡的，如股价的上下波动。

虽然倾斜系统这类社会现象如此普遍，但是社会学和经济学研究都未对其给予足够的重视。社会学重在对社会的结构和功能进行研究，而结构和功能主要体现社会的静态特征，所以往往忽视了对动态过程的研究。同时，结构和功能对应着某种稳定的系统，不稳定的系统往往难以对其进行结构功能分析。而经济学主流的分析方法是均衡分析，研究市场均衡价格的形成和均衡时的社会福利状况。经济学普遍认为，市场或系统存在一个均衡点，而市场内部正反两股力量可以有效地使系统朝均衡点移动，最终系统稳定在均衡点。但对倾斜系统这类经济现象而言，系统本身就是不稳定的，表现为扩散或者震荡的特征。有些经济现象平时虽然具有稳定的特征，但是系统内部有潜在的不稳定因素，在特定条件下也会使系统转化为不稳定的系统，变为倾斜系统，例如，银行挤兑。在平时，银行保持正常的存贷功能，将存款者的储蓄资金转化为长期投资，为社会创造价值，这是一种稳定均衡状态。但是一旦经济形势恶化，银行坏账增加，储户信心得不到维持，就会出现恐慌性挤兑，系统表现出倾斜的特征。经济学对诸如银行挤兑、股票投机等“倾斜”现象的研究分散在不同的研究领域，缺乏一般性的讨论。有鉴于此，本文尝试对这类现象进行综合性的概括，研究它们对应的系统的特点和运行机制，为人们将来对这类现象进行理论研究提供参考。

对倾斜系统的研究还具有重要的现实意义。倾斜系统这类现象在生活中非常普遍，它们时刻影响着人们的生活。尤其是一些群体性事件直接影响人们的行为、生活和心理感受，使人们的生活状况恶化。例如，恐慌、挤兑，不仅相关群体受到直接影响，还有可能扩散到整个社会，影响到社会经济的稳定。如果对这类现象的发生、传播扩散和运行特点有深入的研究，不但有利于个人理性地对待这类现象，也可以为相关部门的治理对策提供理论依据。

本文运用文献研究法，整理倾斜系统的数理模型，为社会学领域利用数学模型构建理论提供参考。目前，社会学理论研究中，数学工具的使用尚不是很充分。由于语言表述存在模糊性，容易使理论概念模糊不清，推理过程逻辑混乱，导致社会学理论研究经常把宝贵的时间浪费在对模糊不清的概念和推理过程的争论上。而数学高度精确和简洁的特点可以使理论表述更为简洁和严密，便于理论交流和讨论。

二 系统层面的描述模型

（一）崩溃的单向倾斜系统和恐慌扩散模型

对倾斜系统的研究可以从描述系统整体的运动过程开始。为了不失一般性，可以从行动者具有双向选择的系统开始讨论恐慌的扩散模型（Coleman, 1990）。假设行动者的状态集为 {0, 1}, 0和1分别代表行动者不同的两种状态。行动者刚开始处于两种状态中的一种，随着时间的变化，他们以一定的概率改变自己的状态。可以将t时刻行动者选择1的可能性记为p1（t），行动者受外界的影响改变自己的选择，将行动者由原先状态1转变为状态2的速率记为q0（t）。同理，用p0（t）、q1（t）表示行动者的行动处于状态0的可能性和改变自己状态的速率。行动者改变自己状态的速率, ρij（Δt）表示（Δt+t）时刻行动者选择i的概率，t时刻行动者状态j的概率是既定的，为pj（t）。所以，每个个体在任一时刻t的选择变化由下述公式表示：

公式（1）右边第一项表示行动者选择0的概率，第二项表示行动者选择1的概率，这是一个有两个相反运动方向的马尔科夫过程。

如果式（1）的转变率q0（t）、q1（t）为常数，即qi（t）=qi，此时式（1）为一阶常系数线性微分方程，其解为：

银行挤兑发生时，所有的储户由存款者转为取款者，没有行动者从取款者转变为存款者，所以行动者的选择变化是单向的，只从存款者转变为取款者。设0表示行动者选择取款，所以有q0=0，上面的马尔科夫过程（2）退化为：

同样，式（1）变为：

则行动者在t时刻去银行取款的概率为：

式（4）表明，随着时间的推移，行动者取款的概率越来越大。但由于指数函数的幂系数小于零，所以虽然行动者取款的概率越来越大，但是取款概率增加的幅度越来越小。

单向倾斜的系统往往具有扩散的特征，但是随着扩散能量的耗散，扩散的速度会逐渐降低。系统扩散的加速度有不同的变化，当人们之间的行为具有传染性的话，系统将会以更大的加速度倾斜。例如，当火警发生时，人们看见别人逃跑，最大的可能性是也跟着逃跑，随着逃跑的人数增加，从众心理更可能驱使人们逃跑，而不是留下来打电话报警。

假设银行储户数量为n，某一时刻取款者数量为i，系统中有i个人取款的数量概率为si，很显然，si随着时间t的变化而变化。当个体取款的概率是相互独立的时，si的变化率就是所有行动者行动选择概率变化的总和，所以si是参数为的n重贝努里分布：

从系统层面描述这个变化过程，可以定义到银行取款的行动者数量为m，尚未取款的行动者转化为取款者的速率为ϕ，则有：

令，表示取款人数占总人数的比例，则变化的动态方程为：

方程（7）的解为：

所以，取款人数随着时间的变化而不断增加，而且增加的速度为ϕe-ϕt，系统扩散的加速度是时间的函数，并且随时间增加而减小，向零靠近。

如果恐慌在行动者之间传染的话，qi（t）为常数的假设不再符合实际情况。如果系统倾斜的后果对系统中的行动者不利的话，随着系统倾斜程度的加深，越来越多的行动者加入使系统倾斜的行动者队列中来，此时行动者改变状态的概率将和总的改变状态的行动者数量有关。例如，当看到很多人去取款时，基于两个理由存款者将更可能去取款：第一，行动者会怀疑银行经营确实出现问题，才会看到不同寻常数量的人取款；第二，即使银行经营正常，未取款的行动者也会担心银行因众多储户取款而破产，为了保证自己资金的安全，未取款的行动者将加入取款者行列。所以，存款者转化为取款者的加速度随着取款人数的增加而增大，采用最简单的形式就是线性函数q1=α +iβ。其中α、β为正的常数，i为t时刻取款者的数量。于是每个行动者转化为取款者概率的改变率为：

该微分方程的解为：

式（10）说明，行动者取款的概率也随着系统中取款者数量的增加而增大，这和没有行动者之间互不影响的情况相比，行动者转变概率的增加速度大大加快，为（α + iβ）e-（α+iβ）t。此时，系统宏观层面的动态变化过程变为：

其中，i= 1,2, . . . , n -1，这时系统倾斜的速度大大加快。图1是上述两种不同情形下系统扩散的图示。

从图1可以看到，当行动者的行为互相影响时，单向倾斜的系统倾斜（扩散）的速度迅速变快。如果系统倾斜的结果是系统崩溃，那么行动者之间的相互影响将使系统在更短的时间内崩溃。式（10）中系数β刻画了恐慌在人群中传播的强度，β值越大，恐慌传播越快，系统崩溃的速度也越快。所以当突发的社会事件发生时，人们保持镇静，不要被恐慌情绪传染，可以减缓恐慌在社会中的传播过程。

（二）稳定的单向倾斜系统和传染病扩散模型

和恐慌的扩散相类似的是传染病在人群中的扩散，它们都是行动者的状态只能单向变化，所以系统是单向倾斜的。传染病发生时，疾病由患者传染给不具有免疫力的健康个体。和恐慌扩散过程不同的是，这类系统的倾斜并不会最终走向“崩溃”（鲁恩伯杰，1985）。

传染病扩散模型假设系统由n个行动者组成，只有行动者相互接触时，传染病才从患者传染到健康个体身上。个体一旦被传染上该病，就成为传染源，通过个体间的接触将疾病传染给其他健康的个体。传染病患者在被隔离、死亡或恢复健康成为免疫者时，将不再传播疾病。所以，在t时刻系统由三类个体组成：易受感染的个体、已受感染的个体、曾被感染的个体（不再具有传染能力的个体）。假设这三类个体的数量分别为x、y、z，则x+y+z=n。假设三类个体在系统中是均匀分布的，即每个个体接触别的个体的概率相等。所以易被感染的个体接触到已被感染的个体的概率和y成正比，同样，已被感染的个体接触到易被感染的个体的概率和x成正比。假设个体被传染的概率和接触已被感染的个体的数量成正比，那么产生新的感染者的速率为βxy，其中β是感染率常数，衡量感染传播的强度。假设曾被感染的群体的变化速度和被感染人数成正比，系数为γ，那么该系统可以用如下微分方程组描述：

显然，，这和x+y+z=n相符，即系统中个体总数不变。

由于z由前面两个变量x、y决定，该系统只有两个自由变量，所以在分析系统（12）至（14）时，可以将z忽略。

用方程（12）除以（13）得：

其中 ·x=dx/dt, ·y=dy/dt分别表示x、y的变化率，整理上式得到：

·x-ρ

x+

·x

·y=0

其中ρ=γ/β，所以得到函数V（x, y）=x-ρlogx+y是一个运动常数的结论。由此可知，该系统的轨迹可由下述方程描述：

其中x0、y0是x、y的初始值。根据方程（15）可以求出y关于x的函数：

函数（15）代表的曲线就是传染病扩散轨迹，图2是函数（16）代表的曲线。

这个模型代表的系统具有如下两个重要的特点。

第一，临界值。当x=ρ时，被感染者的数量y取最大值。如果初始时有y0数量的感染者进入系统，易被感染的人群数量为x0。由于系统向左运动，当x0＜ρ时，被感染人数不断减少，直至为零，这时系统将不再继续倾斜，恢复到原有状态。

当x0＞ρ时，系统先不断单向倾斜，感染者数量不断增加，易被感染的人数不断减少，至x=ρ，系统倾斜程度达到最大，这个时候被传染的行动者数量最多，当系统运动至该点后，不但不再继续倾斜，反而往原先的状态恢复，开始逆向“倾斜”，直至回到初始状态。在这里，ρ是系统的临界值。关于临界值，本文在第四节将做详细的讨论。

现实中，由于ρ=γ/β, β表示易被感染者和已感染者接触后被传染机会的大小，γ为感染者死亡（或恢复健康和被隔离）的速率。这个结论表明，传染病的扩散人数随传染病传染强度β的增加而增加，随患者恢复健康（或被隔离）的速率γ的增加而减少。所以可以通过提高易被感染者的抵抗力（降低β）或者隔离患者（提高γ），控制传染病在人群中的传播。2003年SARS在我国肆虐时，为了防止SARS进一步传播，有关部门通过把患者及重灾区和外界隔离的方式，提高γ的同时减少了易被感染者和已感染者之间的接触机会xy，这对迅速控制疫情恶化起到关键作用。

第二，系统不会倾斜至崩溃状态。由于：

所以y= 0时，x取值一定大于0，在图2中表示为系统轨迹曲线在x轴与x相交，并非所有的行动者都转变为被感染状态，系统不会出现单向倾斜至所有的人转变到和初始状态相反的结果。它说明，传染病最终消失是因为最后没有被感染者，使该病失去传染源，无法再继续传播，这被称为“免灾效应”。“免灾效应”很好地说明了为什么人类历史上不乏导致大规模人群死亡的传染病发生，但总有部分人群幸存，使得人类社会得以延续。

（三）双向倾斜的系统和蚂蚁觅食模型

蚂蚁觅食模型很好地体现了双向倾斜系统的特点。该模型建立在昆虫学家对蚂蚁所做的实验的基础之上。实验将两堆完全相同的食物等距离地置放在蚂蚁巢穴前方，间隔一定距离。假设第一只蚂蚁随机地发现其中一堆食物，然后把食物搬回巢穴，但每只蚂蚁均有一定的概率走失到另一条路径上。实验发现，前往两个地方搬运食物的蚂蚁数量会不断地波动，而且波动呈现一定的规律。1993年，Alan Kirman建立了一个数学模型来描述上述实验中蚂蚁的运动过程。

为区分两堆食物，假设一堆为黑色的，一堆为白色的，系统中有N只蚂蚁。用到黑色食物堆上取食的蚂蚁数量k来描述系统的状态，则有：

k∈ (0,1, …, N)

为方便起见，用蚂蚁搬运的食物来区分两类蚂蚁：若蚂蚁搬运的是黑色食物，则称之为黑色蚂蚁，反之称之为白色蚂蚁，蚂蚁的颜色代表了其前往的食物堆。设两只蚂蚁相遇是随机的，相遇后第一只蚂蚁的颜色转变为第二只蚂蚁颜色的概率为（1 -δ），每只蚂蚁本身也有可能改变自己的颜色，假设是个较小的概率ε。设某个时刻系统状态为k，表示该时刻有k只黑色蚂蚁，此时系统中白色蚂蚁的比例为，每只白色蚂蚁转变为黑色蚂蚁的概率为，所以下一时刻系统状态为k +1的概率为：

同样，下一时刻系统状态为k -1的概率为：

这个系统是一个马尔科夫过程，该过程可以用图3来说明。

该马尔科夫过程可以用“蒙特卡洛方法”（The Monte Carlo Method）模拟，图4和图5为用蒙特卡洛方法模拟两组不同的ε、δ取值时系统的走势。

从模拟图4和图5可以发现，双向倾斜系统总是处于不稳定的状态，当蚂蚁自身改变状态的概率ε增大时，系统趋于稳定在中间位置波动。而且从图5可以看到，当ε很小时，系统经常出现在端点（0或1），而且保持一段时间。ε是衡量系统中行动者自己改变状态的参数，ε很小表明每只蚂蚁不容易“迷路”，更容易沿着原有路径取食，也就是行动者对原有行为具有很强的路径依赖，这种路径依赖一旦形成，行动者的行为和状态将具有“惯性”，不易改变，这种情形下系统更容易在两个端点（0或1）持续一段时间。但是这种现象并不稳定，一段时间后系统又向另一个方向倾斜，抵达另外一个极端，出现所谓的“物极必反”现象。比较图4和图5还可以发现，行动者自己改变状态的概率ε和受他人影响改变状态的概率δ都增大时，系统倾斜的幅度更小。这个时候，系统保持更好的稳定性，在小范围内来回震荡。

三 个体层面的研究视角和研究工具

在倾斜系统的宏观过程研究中，个人为什么选择从一种状态转变到另一种状态是个“黑箱”。个体层面的研究可以使我们深入、细致地了解个体的决策和行动过程，理解倾斜系统形成的原因和机制。建模时比较合理的假设是个体的行为是理性的，个体可以根据周围环境和自己的实际情况选择最有利于自己的行为。

对“个人理性”的行为假设，社会学理论界存在一定的批评，有部分批评是出于研究方法、研究纲领的分歧，有少部分是出于对理论构建过程和方法的误解。张翔（2004）曾对“理性人”假设做了详细的说明和解释，指出建立在理性人假设基础之上的理论，可以推出可供检验的命题，否定理性人假设，并不能否定该理论的解释力。诺贝尔奖获得者加里·贝克尔（1995）将经济学的个人理性选择分析方法渗透到一系列属于传统社会学领域问题（如犯罪、婚姻、种族歧视等）的研究中。另外一位诺贝尔经济学奖获得者托马斯·谢林（2005;2006）亦通过冲突战略、宏观现象和微观动机的研究给社会学研究带来颇多有益的启发。詹姆斯·科尔曼的“理性选择理论”将社会系统、法人行动研究建立在个人的理性选择之上，并建立了基于个体理性选择行为的数理描述和分析的社会学基础理论（Coleman, 1966; 1990）。这些成果的取得，体现了在个体理性选择基础上研究宏观现象这一方法的生命力。

（一）个体决策视角下的模型和数学规划

个体决策模型主要是通过解个体最优规划问题实现，先确定个体的目标函数，然后根据个人面对的约束条件，求出个人最优规划问题的解，从而确定行动者的最优选择。当所有行动者都确定了自己最优的选择后，系统的状态就由系统内所有行动者的行为“汇合”而成。以Diamond和Dybvig建立的银行挤兑模型为例。模型将时间划分为0、1、2三个时期，用于描述人们存款、取款的不同时间段，将早期取款（T=1）的行动者概括为第一类行动者，将晚一些（T=2）取款的行动者概括为第二类行动者。T= 0时，每个人都获得1单位的收入，并且所有人都把这1单位的收入存进银行。人们在T=1或T=2时将存款从银行取出，用于消费。按照消费习惯将他们分为两类：第一类行动者只关心T= 1时的消费数量，在T= 2时消费并不能给他们带来任何正的效用；第二类行动者恰恰相反，只关心T= 2时的消费数量，在T= 1时消费多少与效用无关。假设第一类行动者占所有行动者的比例为t，所以第二类行动者的比例为（1 -t）。在Diamond-Dybvig模型里，假设行动者的类型是私人信息（priate information），即每个行动者只知道自己的类型，不知道别的行动者的类型。但是行动者的行为公共信息（public information）即别的行动者的行为是可以观察到的。

在T= 1时，第一类行动者将存款从银行取出来，用于消费，获得的效用为u（c1）。第二类行动者在T= 1时将存款从银行取出来（设取款数量为c1），由于第二类行动者不关心T= 1时的消费数量，所以他会把c1放在家里储存到T= 2时消费。假设行动者自己储存不需要成本，但是也不能增值，所以T=2时，该行动者仍然拥有c1单位的消费数量。到T=2时，未从银行取出的存款将得到c2的本息回报。所以第二类行动者获得的效用为ρu（c1+c2）,0 ＜ ρ ＜ 1为折现因子。这是因为人们对消费缺乏耐心（impatient），更喜欢当前享受，所以对未来消费获得的效用需打折，即乘以贴现因子（范里安，2006）。用效用函数来描述两类行动者，不同的函数形式将他们消费习惯的差别用数学方式刻画出来：

其中θ是状态变量，表示行动者的类型。

人们将钱存入银行后，银行将所有行动者的存款转化为投资，为社会创造更多的财富，改善系统中全体行动者的福利。由于投资具有长期性，如果提前将投资变现，需要付出交易成本。所以Diamond-Dybvig模型假设，T=0时银行投资1单位，若T=1时为了应对储户取款而将投资变现，则不能获得投资回报，所以只能得到1单位的产出。若等到T= 2时收回，则获得R单位产出，其中R ＞ 1。因此银行的生产函数为：

行动者将收入存进银行可以获得利息回报，设行动者存入1单位，每个行动者在T=1时可以取款的数量为本息和r1，不等式为r1的取值约束条件。注如果行动者在T=1时不取款，则在T=2时银行将收回的投资按行动者在银行存款的比例分给他们利息。银行对前来取款的储户实行“先到先得”（sequential service）的支付规则，将系统总体人数标准化，设总人数为1，取款者占总人数的比例为f（0 ＜ f ＜ 1），用fj（fj＜ f）表示第j个取款者在队列中的位置（如图6所示）。当行动者人数众多时，可以将f和fj看成是连续的变量。当fjr1≥1即时，银行所有的资金已被取完，第j个行动者能取款的数量为0，而j前面的行动者能从银行提取r1数量的存款。将行动者在T= 1和T= 2时取款的数量分别记为V1、V2，则有：

注：为保证第二类行动者愿意将存款保留到T =2，必须满足（1-tr1）R ＞（1-t），即存银行收入不低于自己储存，所以r1还需要满足。

和

若第二类行动者在T=1时只取部分存款，设为wj（0 ＜wj＜1），则其最终从银行获得的支付是wjV1（fj, r1）+（1 -wj）V2（f, r1）。

人们没有恐慌时，银行可以稳定地运行，通过将存款转化为投资，增加社会的总产出，提高全社会的消费量，从而增加社会的福利。Diamond和Dybvig用数学方法证明了f=t（t为第一类行动者的比例）是一种纳什均衡。这个时候，系统是稳定的，不会发生倾斜。

但当恐慌发生时，第二类行动者也开始到银行取款。此时银行不得不提前收回投资，用于支付储户取款。当fj·r1＞1即fj·＞r-11时，银行即使把全部投资收回，也无法满足所有前来取款的储户的要求。这时候行动者j从银行得到的支付为0，他将损失所有的银行存款。能否获得银行支付取决于取款者在队列中的位置fj。显然，在这个模型中，即使银行本身没有问题，由于信息的私密性，仅仅是恐慌也会导致银行发生挤兑。哪怕仅仅是人们预期银行行将倒闭，银行也会因储户争先排队取款而倒闭，出现罗伯特·默顿所说的“自我实现的预言”。所以恐慌发生时，系统将不再保持稳定，每个行动者最优的选择是到银行取款，从存款状态转变为取款状态，系统呈现单向倾斜特征。Diamond-Dybvig模型在个人理性决策的基础上说明了银行挤兑发生的原因是人们关心自己的财富，当人们观察到取款的人增加时，出于对自己财富的关心而转变状态，从而导致系统呈现单向加速倾斜的特征，揭示了公式（1）至（8）描述的恐慌过程发生的机制。

（二）个体互动视角下的模型和博弈论

Postlewaite-Vives模型从个体博弈角度解释了倾斜系统产生的原因，模型涉及的时间共有四期，所以T= 0,1,2,3。模型假设有两个行动者，以此代表两类不同的行动者。每个行动者在T= 0时获得1单位的收入，并且存活至T=1、T=2或T=3。行动者存活一定期限，但是其寿命是不确定的。在T= 1开始时，行动者i将收到信号si∈Si, 。表示行动者i寿命到T期终止。设S1× S2的联合分布为P，且

pij表示行动者1寿命为i而行动者2寿命为j。

消费者在其寿命τ内的总消费量为, xi表示消费者在i期的消费量。设每个行动者消费的效用为贝努里效用（Bernuolli utility）U:R+→R，该函数严格递增，即消费越多，效用越大，所以消费者消费的总效用为U（x）。

贝努里效用是个体在不确定情况下具有的效用形式，其效用函数为冯·诺伊曼-摩根斯坦函数（VNM）。期望效用函数的形式为：

其中pi为第i种结果的概率，u（ai）为第i种结果带来的效用。该函数具有良好的特性，可以满足不确定性下选择公理的要求（科莱尔等，2001），被普遍用于行动者在不确定时的效用描述。

银行在T=0时将行动者存入的资金用于投资，投资1单位，T=3时投资结束，将获得γ（γ ＞ 1）单位产出。如果银行在T= 1时提前收回投资，不但不能获得投资回报，本金还会受到损失，所以T= 1时产出为。若T= 2时收回投资，产出为。所以生产函数为：

若行动者在T= 1,2时取款，银行为了惩罚行动者提前取款，将不支付利息。若行动者在T= 3时取款，除了获得存款本金外，还能将按其存款占总存款的比例分得银行投资回报。和Diamond-Dybivg模型不同的是，Postlewaite-Vives模型认为银行提前收回投资将造成本金损失，所以α、β均小于1，其中是出于分析方便在数学上做的技术处理。

如果行动者在T= 1时将1单位收入全部消费掉，则获得的效用为U（1）。如果他把收入存入银行，由于其寿命是不确定的，所以他面对的是一个不确定的消费流，该消费流给行动者带来的预期效用需要用概率分布P来计算，记为，要使行动者愿意将收入存入银行，必须有（1），我们假设该激励条件得到满足。

用σi表示行动者i的行动。若他在T=i时取款，则记为ai。令A={a1, a2, a3}，在寿命信号Si下，行动者i的取款策略为σi，所以σi:Si→A，即行动者的策略和其寿命有关。

上面用博弈矩阵将行动者1和行动者2的行动与获得的消费效用表示出来。该博弈矩阵的解有如下三种情况。

（1）当[β（2α- 1）/α] ＜ α ＜ [γ（2α-1）/α]，且1 ＜ [γ（2β -1）/β] 时，此时如果有一个行动者发现自己只能活到时期1或时期2，其策略选择空间为{a1, a2}。由于效用函数U（·）严格递增，所以行动者选择收入最大的行动，可见，a1为占优策略（dominant strategy）。如果两个行动者收到的信号完全相关，则另一个行动者的最优选择也是a1，这个时候两个行动者都会在T= 1时将存款取出，导致银行挤兑发生。在概率空间P中，系统倾斜的概率为p22+p21+p12。

（2）当[β（2α-1）/α] ＞ α，且1 ＜ β时，不会有银行挤兑发生，每个行动者将在寿命终止那一期取款，系统保持稳定，不会出现倾斜过程。

（3）当1 ＜ β且[β（2α-1）/α] ＜ α时，有两种可能的结果，但都不会导致银行挤兑发生。一种结果是，寿命为1、2的行动者将在T= 1时取款，寿命为3的行动者将在T= 3时取款；另一种结果是两个行动者都在寿命终止那一期取款。

综合上述分析可见，当[β（2α -1）/α] ＜ α ＜ [γ（2α -1）/α]，且1＜ [γ（2β-1）/β]时，博弈的结果为银行挤兑发生，这两个不等式是系统倾斜的临界条件。

（三）个体到整体视角下的模型和动态过程

德国Bamberg大学的Thomas Lux在研究证券投资者的投机行为时建立了一个从个体行为到系统运动过程的模型（Lux, 1995），进一步揭示了倾斜系统的形成机制。模型假设市场中有两类行动者（交易者）：一类是“基本面分析者”（fundamentalist），即投资者，他们根据基本面分析确定股票合理价格；另一类是“技术分析者”（chartist），即投机者，他们缺乏基本面信息跟风买卖。根据投机者对股价未来走势的判断，投机者被分为看空的投机者和看多的投机者两种：看空的投机者预期股价下跌，卖出股票；看多的投机者预期股价上涨，买入股票。投机者模仿他人买卖股票的行为被称为羊群行为（herd behavior）。由于羊群效应，看空的悲观情绪和看多的乐观情绪在投机者互动过程中传播，导致股价波动。

假设整个市场有2N个投机者，投机者的数量是固定的，没有新的投机者加入，也没有投机者退出。行动者有两种状态可供选择，即投机者对市场未来的看法要么悲观，要么乐观。乐观的投机者和悲观的投机者数量分别为n+和n-。令n≡0.5（n+-n-）, x≡n/N, x为描述投机者对市场总体看法的指数，x∈[-1,1]。x= 0表明市场看空的投机者和看多的投机者数量相等，市场处于平衡状态，系统不会倾斜。x ＜ 0说明空头占上风，x ＞ 0则多头占上风。极端情况下，若x= 1（或x =-1），所有的行动者观点一致，他们将一致采取买入（或者卖出）的行动。当市场中看多的投机者比例增加时，看空的投机者转为看多的概率就会增大；反之也成立。除了立场不同外，每个投机者的行动方式、影响力是等同的，市场中不存在所谓的“领头羊”——对其他投机者有额外影响力的行动者。此外，每个投机者随时根据所观察到的情况改变自己的多空立场。记投机者由空头转变为多头的概率为p+-，由多头转变为空头的概率为p-+。p+-和p-+的大小取决于x和n：

每个投机者转变立场的概率也相等。所以每个时刻从空头转为多头的人数为n-p+-，从多头转为空头的人数为n+p-+。得到看空人数关于时间的变化率dn+/dt = n-p+--n+p-+，看多人数关于事件的变化率dn-/dt =n+p-+-n-p+-，从而得到：

式（25）中，（1-x）p+-（x）表示t时刻看空的投机者转为看多对x变化速度的影响，-（1 +x）p-+（x）则为t时刻看多的投机者转为看空对x变化速度的影响。

当市场中看多的投机者数量增加时，每个看空的投机者能接触到的多头也成比例地增加，所以看空的投机者转为看多的概率也增加。假设投机者改变立场的概率变化幅度 dp/p 和 x 之间是线性关系，则可用数学式dp+-/p+-=adx来刻画这个过程；同理，dp-+/p-+=-adx。从而有：

其中，a为衡量羊群行为传播强度的变量，即羊群效应的强度；v衡量行动者改变立场的速度。根据公式（26），可以得到x的变化速度：

这就是市场中投机者动态变化的方程，这个方程右边是双曲函数。

对投机者行为的描述属于个体层面的研究，为了进一步得到系统宏观的运动过程，需要描述股价的波动。由于股价涨跌受投机者和投资者买入卖出共同影响，所以可以从投机者和投资者的行为中推导出系统层面的描述模型。

看多的投机者认为股价将上涨，将买入股票；看空的投机者则因担心股价下跌将减少投资组合中的股票。设任一时刻 t 单个投机者买入（卖出）股票的数量为 tN，所以投机者对股票的超额需求（excess demand）DN为：

根据x的定义可以得到n = Nx，代入式（28）得：

TN表示投机者的交易量。投资者和投机者的交易行为不一样，他们根据企业的基本面给出股票的价值pf，在股价p低于价值时买入，高于价值时卖出，所以有：

TF衡量投资者对价格变化的交易敏感程度，它的变化和TN相反。市场价由超额供给或超额需求决定。当市场出现超额需求时，价格上升；股票处于超额供给状态时，股价下跌。股票的供给和需求由投机者和投资者共同决定，所以有：

其中，β表示价格跟随超额需求调整的速度。

投机者转变立场的概率可写成下式：

v为正的常数。此时，方程（26）中的a被分成两部分，刻画两种羊群效应。a1衡量价格变化对投机者行为的影响强度，a2衡量其他投机者的影响强度，投机者之间的依赖性越大，羊群效应越大，a越大。综上可以得到整个系统的动态方程：

这个动态系统描述了股票市场的运动过程。

显然系统（27）和（33）描述的系统是双向倾斜的，但该系统倾斜的特征取决于方程里面的a1、a2、v、β等参数。当参数比较小时，这个系统和传染病扩散模型有相似之处，经过来回震荡之后最终仍能恢复到初始状态。当参数比较大时，这个系统变得和蚂蚁觅食模型相似，将不停地来回倾斜，宏观上表现为反复震荡的态势。

四 倾斜系统中的临界值

临界值（critical mass，又被译为临界质量）的概念来自物理学，指物体从一种物理状态转变到另外一种物理状态时，某一物理量所要满足的条件，在数学上表现为驻点。后来经济学家和社会学家用其来表示某种社会现象或者经济现象发生需要达到的特定条件。这是个内容广泛的概念，托马斯·谢林在介绍这个概念时写道：

对于我们来说，我们可以把临界质量看作是临界数量、临界密度、临界比率，或某些特殊情况下的诸如身体热量、二氧化碳的产出量等真实物质的总称。所有这些临界质量模型都包含某些活动，一旦活动量超出特定的最小值，这种活动就能自动持续进行下去。但是无论这个活动量指的是参加活动的人数，还是人数乘以活动的频率，无论是指活动持续的时间，还是指参与者与未参与者之间的比例，抑或是每平方英尺、每天、每部电话分机上所发生的这种活动的频率，我们都可以称之为“临界质量”活动，并且许多人都能理解我的意思。（谢林，2005: 74～75）

所以临界值是个笼统的概念，它不是特指某个具体的变量，而是指满足具有临界值条件的模型中具有临界作用的变量。一种临界值就是参与某项活动的人的数量，例如格兰诺维特在研究集体行动时提到行动临界点概念，只有当参与某项集体行动的人数超过临界点时，集体行动才得以发生（Granovetter, 1978）。在这里，一定数量的参与者是集体行动发生的临界值。

但是临界值并不仅仅局限于参与行动的人的数量这个变量。不同的模型和系统有不同的临界值，这不但取决于系统结构，也和研究目的有关。研究水结冰的现象时，临界值是水的温度，当温度低于0摄氏度时，水将结冰。如果我们研究空气中的水汽何时降落为雨滴，那么水珠的大小将是临界值，因为当水珠超过一定的重量时，将无法继续飘浮在空中，就会向地面降落，成为雨滴。但是如果我们研究空气中的悬浮颗粒对降雨形成的影响时，空气中的悬浮颗粒密度将成为系统的临界值，因为只有当悬浮颗粒的密度超过一定数值时水蒸气才凝结为水珠并降落为雨滴。

（一）恐慌和倾斜系统的临界值

在Postlewaite-Vives模型代表的系统中，行动者的恐慌形成与否取决于模型中生产函数的参数，而且有：

（1）当[β（2α-1）/α] ＞ α，且1 ＜ β时，行动者都不会恐慌，系统保持稳定，不会发生倾斜，银行挤兑不会发生。

（2）当1 ＜ β，且[β（2α-1）/α] ＜ α时，有两种可能的结果，在这两种结果下系统都保持稳定，不会倾斜，不会发生银行挤兑。一种结果是，寿命为1、2的行动者将在T=1时取款，寿命为3的行动者将在T=3时取款；另一种结果是两个行动者都在寿命终止那一期取款。这个时候，虽然T= 1时银行提前收回投资造成较大的损失〔因为α ＜（2β -1）〕，但是由于1 ＜ β, T=2时银行收回投资还能保证收益，也能维持行动者的信心，不至于发生银行挤兑。

（3）当[β（2α-1）/α] ＜ α ＜ [γ（2α-1）/α]，且1 ＜ [γ（2β -1）/β] 时，如果有一个行动者发现自己只能活到时期1或时期2，其策略选择空间为{a1, a2}。因为效用函数U（.）严格递增，所以行动者选择收入最大的行动a1，而且a1为占优策略（dominant strategy）。如果两个行动者收到的信号完全相关，则另一个行动者的最优选择也是a1，这个时候两个行动者都会在T= 1时将存款取出，导致银行挤兑发生。在概率空间P中，银行发生挤兑的概率为p22+p21+p12。

所以，在Postlewaite-Vives模型中，系统倾斜由两个因素决定。一个因素是客观环境，它构成了行动者选择状态的外在约束条件。在这里体现为生产函数，关键变量是银行提前收回投资的损失大小（即参数 α 和β）。当提前收回投资的损失超过临界值时，行动者将改变状态，导致系统倾斜。另一个因素是关于行动者本身情况的信息。在这里是行动者接收到关于自己寿命预期的信息Si。由于信息具有不确定性，信息的具体实现值不同，行动者也会选择不同的状态。如果部分行动者预期自己寿命较短（只能存活至T= 1或T= 2），则这部分行动者提前取款，当人们认识到银行收回投资会造成较大的损失时，对银行保持稳定的信心将受到打击，导致人们争先取款，引发挤兑，系统开始倾斜。

（二）羊群效应和倾斜系统的临界值

Thomas的股价运动模型是一个双向倾斜的系统，系统的倾斜特征取决于系统参数a、v、β等，这些参数刻画了羊群效应的大小。当参数取值在某一范围内时，系统双向倾斜之后将逐渐恢复到初始的稳定状态；当参数取值突破临界值时，系统将呈现反复震荡的倾斜特征。

Thomas模型代表的系统中投机者的动态方程为：

该方程表明，市场的动态过程由双曲正弦和双曲余弦函数刻画。该动态过程有如下特征。

定理1：

（1）a≤1时，过程（34）有唯一的稳定均衡点x= 0。

（2）当a ＞1，过程（34）有一个非稳定均衡点x=0，和两个对称的稳定均衡点x+＞ 0和x-＜ 0（x+=-x-）。

这表明，当a小于1时，系统倾斜后将逐渐回到原点位置，最后恢复为宏观稳定状态。当a大于1时，对原点微小的偏离将造成系统反复震荡，这个时候系统将一直保持双向倾斜，不存在稳定的状态。系统（34）的运动如图7所示，箭头表示系统运动的方向。

在这个模型中，a= 1就是系统的临界值。这表明，只有当羊群行为的传染强度超过1时，证券市场的投机行为才会出现周而复始的震荡循环。如果羊群行为的传染强度比较低，则不足以造成市场的反复波动。

这个结论有很重要的现实意义。如果要防止Thomas模型描述的这类社会现象发生，可以通过降低行动者行为的外部性来实现。例如政府想减少股民的投机行为，可以从降低羊群行为的传染强度入手。羊群行为主要发生在对市场价值缺乏足够的基本面信息的交易者身上，这些缺乏信息的交易者只能根据他人的交易来判断市场走势，跟风炒作。为了减弱羊群效应，政府可以通过及时披露信息、加强风险教育、提高中小散户对市场的认识来抑制投机，减少系统反复震荡倾斜的可能。

包含股票价格波动的证券投机动态模型为：

这个动态模型描述了股票市场的运动过程。与过程（34）类似，该系统有如下特征。

定理2：

（1）当a2≤1时，系统存在唯一一个均衡点E0=（0, pf）；当a2＞1时，系统除了 E0=（0, pf）这个均衡点外，还有两个均衡点E+=（x+, p+）和E-=（x-, p-），其中x+=x-, pf-p-=p+-pf。

（2）当存在三个均衡点时，E0是不稳定的均衡点；如果只有一个均衡点，E0可能是稳定的，也可能是不稳定的。此时，若2[a1βTN+v（a2-1）] -βTF＜ 0, E0是稳定的均衡点。当E0是唯一的均衡点且为不稳定的均衡点时，则（x, p）的运动轨迹为圆周。

定理2可用图8表示。

这说明当羊群行为的传染强度超出临界值时，不但交易者投机行为处于周而复始的非稳定均衡状态，股价也围绕某个价格基准上下波动，系统呈震荡倾斜的特征。

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