1988年3月14日
令人神往的“π”
很多人都知道，π代表圆周率，即圆的周长与直径之比。它是与人类相处最久、最亲密，也是最神秘的数。
在4000多年前，π从制造车轮或用圆轮丈量土地开始，进入了人类的生活。在公元前1900—公元前1600年巴比伦的一块石匾上，清楚地记载着圆周长是直径的3.125倍；在公元前800年的印度宗教巨著《百道梵书》中，圆周率为3.139；而公元前200年埃及人认为圆周率是3.1605。公元前287—公元前212年间，伟大的数学家阿基米德（图1）首次开创了利用理论计算出圆周率的先河。他利用单位圆，做出它的内接六边形和外切六边形（图2），利用勾股定理，找出圆周率的下界和上界，再把多边形边数加倍成12边形，再计算出圆周率的下界和上界，如此这般地做下去，最后找到圆周率的下界和上界分别是在223/71和22/7，求其平均值，他得到的圆周率值是3.141851，阿基米德所创始的迭代算法和逼近法，称得上是计算数学的鼻祖。
图1
图3
在圆周率研究中，最引人注意的是中国古代数学家刘徽对“割圆术”的研究，其中最光辉的是极限方法的应用。刘徽是三国时代魏国人（图3），祖籍山东临淄，生卒年代不详。他是中国古代最伟大的数学家，也是中国古典数学的奠基者，是一生不为官，具有纯粹数学独立精神的布衣学者。刘徽的主要著作《九章算术》及《海岛算经》是中国最宝贵的数学遗产，其内容反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献，也奠定了刘徽在中国数学史上的不朽地位（参见本书4月15日“2001年刘徽——中国古代数学的奠基人”）。
图2
刘徽是最早主张用逻辑推理方法论证数学命题的人，也是中国第一个建立理论来推算圆周率的数学家。他首先提出圆的面积公式，是“半周半径相乘的积步”，即圆面积等于“半圆周长与半径之积”，这个公式的提出很不简单，他所给出的证明更为巧妙。像亚里士多德一样，他也是先做了一个10寸的圆，再做出内接正多边形，从6边形开始，依次做内接正12边、24边……，共验证到了3072边形。更为重要的是，在分割中，他丝毫没有“匠气”，而是明确认为“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。割圆术提出的本身就是创造性的，在无限趋近的方法中，更体现出了极限思想，正是这种正确的数学思想与方法的运用，使他不仅推证出了圆面积公式，也同时得到了圆周率的近似值为3927/1250，约为3.1416，这一值被后人称为“徽率”。这是古代数学求圆周率的最简单也是最正确的方法，以这种方法奠定基础，使祖冲之获得了更准确的圆周率值。刘徽所创造的精美的递推方法与其中所孕育的极限思想在当时居于世界领先地位。
公元480年左右，中国杰出的天文学家和数学家祖冲之（图4）测算出圆周率在3.1415926到3.1415927之间，精确到了小数点后的第7位，还得到了两个近似值，即密率为355/113，约率为22/7，其精确程度达到了当时世界上的最先进水平，这一成果已经载入世界数学史册（参见本书11月9日“1964年博学多才的祖冲之”）。
图4
到了公元1706年，英国数学家威廉·琼斯首次引入希腊字母π来表示圆周率，但是直到1737年，经大数学家欧拉引用之后，π作为圆周率的符号才流传开来。1525年，德国科隆的鲁道夫（图5）把π计算到了小数点后的第32位。而这32位小数，几乎花费了鲁道夫大半生。为了纪念这位执着的数学家，人们把这个值镌刻在他的墓碑上，至今在德国的一些教科书里，还把π值称作鲁道夫常数。
图5
就这样，π从巴比伦人、玛雅人、阿拉伯人、埃及人、中国人、希伯来人中起始，向外流传并发展了几千年。尽管从未脱离人们的生活与视野，它的神秘面纱却始终没能揭开，似乎它不断地在接近一个“真值”，但究竟有没有这个“真值”？如果有，这个“真值”该是什么？如果没有，又为什么没有？谁也说不清。
为了探索这个答案，有人舍弃了圆规和直尺，开始找寻其他方法研究π。1593年，代数学家维耶塔独辟蹊径，首次创造了一个新方法，他舍弃了小数或分数，而是以公式来表述π，他找到的这个公式是：
π/2=2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×…
在其中，除了1以外，其余各数无论是分子还是分母，无论是偶数还是奇数，都有规律地出现了两次，所以很好记；又过了70多年，詹姆斯·格里高利（图6）和威廉·莱布尼茨先后于1671年和1674年找到了另一个更为精确的表述式：
π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…
图6
在这个求和的级数中，每个分子都是1，而分母全是奇数，减、加交替，也非常好记，后来人们把它称做莱布尼茨公式，实际上它是格里高利更早发现的。由于上述两个公式的出现，人们开始知道了π似乎是一个不可穷尽的数。但是，如果用小数表示，π是否还能有确定的值呢？
到了17世纪末，阿拉伯人用多边形趋近的方法，使π值到达了小数点后的第71位。1853年出现的结果更为精彩，英国业余数学爱好者威廉·山克斯（图7）竟然一举把π值计算到了小数点后的第707位。在当时只是手写笔算的情况下，这是一项很了不起的壮举，山克斯整整花了15年的时间。可惜的是，后来发现，在第528位上出现了错误，以至其后的每个数字全部失去了意义。但是山克斯本人并不知道，因为纠出错误的时候，他已经去世多年了。
图7
1882年，瑞士数学家、天文学家兼医生约翰·拉波特（图8）最终给出了一个确定的回答。经他证明，π是一个无理数，既不可能以有限的小数精确表述，也不可能用有限的级数表示。我们通常遇到的无理数都是所谓代数数，就是说，都是整系数代数方程的解，不满足上述条件的实数就叫做超越数，也就是超越了代数数的意思。事实上，要找到一个超越数十分困难。在1882年，德国数学家斐迪南·林德曼证明π就是一个超越数（transcendental numbers）。令人惊讶的是，另一个在科学上几乎无处不在的数e，即自然对数的底，也是一个超越数！两个超越数，π和e都在科学中几乎无处不在，这又是为什么呢？到现在还不能给出解释。
图8
尽管寻求π真值的路已经被咔嚓切断，却丝毫没有削弱人们探索π之谜的勇气，特别值得提到的是印度著名天才数学家，被称为“印度之子”的斯里尼瓦萨·拉马努金对π的研究。在他短暂的一生中，拉马努金共创建了3000多个公式，关于π的无穷级数式就有14条，其中著名的3条公式是：
提出这些公式时，他年仅23岁，计算π的精确度达到了小数点后的第8位（参见本书“1月16日‘1913年印度之子’——数学奇才拉马努金”）。
20世纪50年代计算机的出现，使手写笔算π值的方法发生了突飞猛进的变革，再度燃起了人们追求π值的希望。1949年，计算机已经能在70小时内把π值计算到小数点后的第2037位了；1988年日本计算机科学家金田康正使π达到了小数点后的第2亿位，只用了6个小时；由于计算机的计算能力与速度以几何级数上升，计算π值纪录被屡屡改写，π值的小数位数也在呈几何级数上升。到了2013年12月28日，日本计算机奇才、系统工程师近藤茂竟然用94天的时间使π值达到第12万亿小数位，大幅度地更新了2010年由法国技术人员创造的2.7万亿位的纪录，创下了惊人的吉尼斯新纪录。随着超级计算机功能的日益强大，计算机的应用将把获得π值的脚步推到更加白热化的地步！
π值的计算把计算机的功能发挥得淋漓尽致，反过来，π值也在检验着计算机的功能是否强大。如此多位的小数，从来没有循环出现，验证了它的无限不循环特征。但是，究竟为什么人们对π如此穷追不舍？难道仅仅是为了好奇？它的意义是否仅限于圆问题呢？事情远非如此简单。除了日常测量，π值早已深入到科学技术的各个领域。它在科技的各个角落现身，几乎到了无所不在的地步，而其全部神秘性和复杂性也孕育于此。
首先，在几何学、三角学中，π在诸如圆、球和椭圆等许多形状的周长、表面积和体积等计算中频繁出现，似乎并不令人惊奇，但何止于此，π也出现在更高深的数学，如n维空间几何、复变函数、统计学、概率论与数论等许多公式中。在物理学中，从牛顿力学、麦克斯韦电磁学、热力学、统计物理到爱因斯坦广义相对论，从量子力学到宇宙学，从电子学到电机工程学，到处可见π的身影。无论在宏观、微观乃至宇观世界中，π都扮演着重要的角色。似乎在π的背后有着某种“神灵”，其作用之普遍、功能之强大，至今难以估量。难怪美国天文学家、天体物理学家和宇宙学家兼科普作家卡尔·萨金惊呼“恐怕在宇宙创生的那一刻起，就已经深埋下了π的信息！”
正是因为π的分量之重、神秘性之深，π也进入了公众的文化生活，有人以π用作语言和记忆的练习。2005年11月20日，中国大学生吕超以24小时4分钟连续不间断并准确无误地背诵π至小数点后67891位，创造了吉尼斯世界纪录，至今这一纪录没有人能打破。
巴黎科学馆独具创意地专门设立了“π馆”，在圆形大展厅内，四周的墙面上镶以707个硕大的、直通大厅圆形拱顶的木雕数字，这707个数字就是1853年由山克斯计算出来的π值，虽然从第528位以后都出现了错误，但依照这个馆的宗旨，即使出现了“错误”，也值得人们去崇敬，所以依照原样展示了出来。
1988年3月14日在美国旧金山科学博物馆举办了以π为主题的庆祝活动，这是最早的一次大规模庆祝π的活动；2009年美国众议院通过一项不具约束力的决议案，确定当天为“π节”，π节的纪念时刻是3月14/15日上午／下午9时26分53秒（时间记法含地球两个时区，故出现14/15两日，且上／下午字样），按照π的前10位数字纪念这个神秘的数值。这个节日很快在世界范围内的青年学生中盛行，庆祝的方式是吃π饼（英语馅饼的“pie”发音与π一样）、唱π歌、诵π诗、讨论π、背诵π或步行3.14千米。图9是荷兰代尔夫特大学学生制作的π饼。3月14日正好是爱因斯坦的生日，爱因斯坦在普林斯顿高等研究所工作和生活了20多年，在普林斯顿大学，人们在过π节的时候，也同时开展了对爱因斯坦的纪念活动。
图9
关键词：圆周率，pi
图1：http://en.wikipedia.org/wiki/Pi
图2：http://en.wikipedia.org/wiki/Pi
图3：http://www.famous-mathematicians.com/liu-hui/
图4：http://blog.sina.com.cn/s/blog_551758450102vf3v.html
图5：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Ludolf_van_Ceulen.jpeg
图6：http://en.wikipedia.org/wiki/James_Gregory_%28mathematician%29
图7：http://auditor.ky.gov/about/Pages/AuditorsOfficeHistory.aspx