3.4 贝叶斯定理

若事件B能且只能与两两互不相容的事件A1，A2，…，An，…之一同时发生，即

由于

P(AiB)=P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)

故

再利用全概率公式，即得

这个公式称为贝叶斯公式。

贝叶斯公式提出了重要的逻辑推理思路，在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定A1，A2，…是导致实验结果的“原因”，P(Ai)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次实验前已经知道。现在若实验产生了事件B，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”。条件概率P(Ai|B)称为后验概率，它反映了实验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。例如，在医疗诊断中，医生为了诊断病人到底是患了疾病A1，A2，…，An中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标B（譬如是体温、脉搏、血液中转氨酶含量等），他想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率。首先必须确定先验概率P(Ai)，这实际上是确定人换各种疾病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次，是要确定P（B|Ai），这里当然主要依靠医学知识。有了它们，利用贝叶斯公式就可以计算出P(Ai|B)。显然，对应于较大P(Ai|B)的“病因”Ai，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标B一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断的专家系统时，这种方法是有实用价值的。