3.2 概率

在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对事件域F中的每一个元素A有一个实数P（A）与之对应，一般把这种从集合到实数的映射称为集合函数。因此，概率是定义在事件域F上的一个集合函数。此外，在公理化结构中只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。

概率应有什么性质呢？

因为概率通过频率稳定性与随机实验相联系，因此自然想到概率应有与频率类似的性质。频率的性质可总结为非负性、规范性以及有限可加性。

在古典概型中，概率是通过有利场合数与可能结果总数之比来定义的，它同样具有这3个性质。

在几何概率中，情况也类似，但有一点不同，就是它要求对可列个不相容事件之和有可加性，即可列可加性。

在一般场合，处理可列个事件之和是完全必要的，因此保留这种可列可加性要求看来是合理的。

综上所述，定义概率如下。

定义3.1 定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果它满足如下3个要求：

（i）P（A）≥0，对一切A∈F；

（ii）P(Ω)=1；

（iii）若Ai∈F，i=1，2，…，且两两互不相容，则

性质（i）称为非负性，性质（ii）称为规范性，性质（iii）称为可列可加性或完全可加性。

利用概率的基本性质（i）～（iii），可以推出概率的另一些重要性质。

性质3.1 不可能事件的概率为0，即P(Ø)=0。

证明：因为

Ω=Ω+Ø+…

所以

P(Ω)=P(Ω)+P(Ø)+…

因此，P(Ø)=0。

□

性质3.2 概率具有有限可加性。即若AiAj=Ø（i≠j），则

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

证明：因为

A1+A2+…+An=A1+A2+…+An+Ø+Ø+…

由可列可加性及性质1，可得

性质3.3 对任何事件A有

证明：因

性质3.4 如果A⊃B，则

P(A －B)=P(A)－P（B）

证明：因为

特别地，当A⊃B时，得到P(A－B)=P(A)－P（B）。

□

推论3.1 （单调性）如果A⊃B，则P（A）≥P（B）。

由此即知，对任意事件A，有P（A）≤1，再注意到概率的非负性，所以成立

0≤P（A）≤1

性质3.5 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P（AB）。

证明：因A∪B=A∪(B－AB)，而且A∪(B－AB)=Ø，故P(A∪B)=P(A)+P（B－AB），又AB⊂B，于是由性质3.4得到

证毕。

□

公式（3-1）称为概率的加法公式，在古典概型场合，可直接加以证明，这里则作为可加性的直接推论，说明在一般场合也成立。由它可得如下推论：

推论3.2 （布尔不等式） P(A∪B)≤P(A)+P（B）。

推论3.3 （Bonferroni不等式） P(AB)≥P(A)+P(B)－1。

证明：利用归纳法不难把这两个不等式推广到n个事件的场合。

P(A1∪A2∪…∪An)≤P(A1)+P(A2)+…+P(An)

P(A1A2…An)≥(A1)+P(A2)+…+P(An)－（n－1）

□

性质3.6 （一般加法公式）若A1，A2，…，An为n个事件，则

公式（3-2）可以用数学归纳法证明，留给读者作为习题。

当然，概率还有其他性质，不过上述列出的各条是最重要的。它们是以后讨论中经常要用到的基本结果，务必牢记。

值得提醒的是，概率的这些重要性质的推导实质上只用到非负性、规范性和有限可加性。