1.3 柏拉图的数学世界“真实”吗？

理念学说在那个时代曾是一种非凡的思想，直到今天它也仍是一种极具说服力的思想。然而，就任何可理解的意义而言，柏拉图的数学世界是否真的存在呢？包括哲学家在内的很多人都倾向于认为这纯属虚构——它无非是人类想象力信马由缰的产物。与之相比，柏拉图本人的观点可谓真知灼见。这种观点要求我们认真区分精确的数学存在物与周围物理世界中存在的种种近似物，甚至可以说，这种观点提供了近代科学事业得以发展的蓝图。科学家们一直在为世界——或世界的某些方面——提出模型，这些模型要经受先前的观察结果以及精心设计的实验的检验。如果模型能够通过这些严格的检验，而且其内部结构协调，那么我们就认为它是合适的。就我们目前的讨论来说，这些模型的关键在于它们本质上是纯粹的抽象数学模型。具体地说，科学模型的内在协调性的问题实质上是要求模型的各个细节都必须充分明确，而这种精度上的要求使得模型必须是一种数学模型，否则的话我们就无法确保所研究的问题一定有明确的答案。

如果说模型本身在某种意义上也具有“存在性”，那么这种存在性只能寓于柏拉图的数学形式世界中。你当然可以采取相反的立场，认为模型仅仅存在于各人的头脑中，从而无需将柏拉图世界看作是任何意义上的绝对或“实在”物。但是，认为数学结构具有客观实在性的观点可以为我们提供一条重要启示。毕竟，我们每个人的头脑总是不精确、不可靠的，而且在对事物的判断上人与人之间未必就能达成一致。而科学理论所要求的精确性、可靠性和协调性则需要由某种超越任何个人（靠不住的）头脑的条件来保证。正是在数学里，我们发现了比在个人头脑牢靠得多的确定性。这难道还不能说明在我们之外存在着每个个体无法企及的某种实在么？

尽管如此，你仍可以采取另一种观点，即数学世界没有独立的存在性，它仅仅是由某些从不同头脑中提炼出来被人们一致认可的思想堆砌出来的世界。但即便是这样一种观点也仍不足以推翻上述数学实在论的论点。当我们说“被人们一致认可”的时候，这究竟是指“被神志清醒的人一致认可”，还是“被数学专业的博士们一致认可”（当然，这种质疑方式在柏拉图时代并不常用）？谁有权力可以对此发表“权威”的判决意见？这里看来出现了一个危险的逻辑循环。要判定某人是否神志正常需要某种外部标准，当谈及“权威”时也是如此，除非大家一致采纳某种非科学的标准，比如“多数人意见”原则（必须指出的是，无论这一原则对民主政治有多重要，它绝不能用作科学研究上应予采纳的一种判据）。况且，数学本身所具有的确定性也非单个数学家的洞察力所能企及。任何在数学领域里工作的人，无论是积极从事数学研究还是仅使用他人的结果，常会感到自己只是在一个远远超越自身的广漠世界里跋涉，这个世界的客观存在超出了纯属信念的范畴，无论这种信念是来自他们自己或别的专家。

如果我们换一种表述方式来讨论柏拉图世界的客观存在性或许会有助于读者理解。这里所说的存在性就是指数学真理的客观性。在我看来，柏拉图式的存在性意味着存在一种不依赖于个人观点或特定文化的客观的外在标准。这样一种“存在”还可以是数学以外的其他事物，比如道德和美感（参见§1.5）。不过，此处我仅关心数学的客观性，因为这个议题讨论起来更加清楚明了。

让我们考察一个关于数学真理的例子，然后看看它是怎样与客观性联系起来的。1637年，费马（Pierre de Fermat，1601～1665）提出了一个著名的命题，即“费马大定理”（如果n是大于2的整数，那么就不存在这样的整数的正n次幂[3]：它可以写成另两个整数的正n次幂之和）。他将这个定理写在了《代数》——由公元3世纪的希腊数学家丢番图（Diophantos）所著——一书书页的空白处。在这页的空白处，费马还写道：“我已经发现了该定理的一个绝妙的证明，可惜空白处太窄写不下。”费马的这个命题在此后的350年内一直未能解决，尽管有无数杰出的数学家在共同努力。1995年，怀尔斯（Andrew Wiles，1953～ ）终于（在众多前辈数学家的工作基础上）给出了一个证明，这个证明的合理性现在已经为数学界所公认。

那么，是否可以说费马命题在由他本人提出之前就一直为真，或者说其合理性不过是依赖于数学家团体的某种主观判断标准的文化产物？我们不妨先假定对于该命题合理性的判定确属主观。因此，我们可以合理地设想某数学家X在1995年之前找到了这一命题的某个真实存在的反例。[4]在这种情况下，数学界只能承认并接受这个反例。既然X先生已经先于怀尔斯证明了费马命题是错的，那么此后怀尔斯企图证实费马命题的任何努力将不得不视为徒劳。进而，我们可以问，既然X先生的反例正确无误，那么费马完全相信他在页边写下的那个“绝妙的证明”是否仅仅是他个人的一种错觉？如果认为数学的真实性源于主观臆断，那么就可能出现以下情况：费马当初的证明的确被认为是合理的（如果他向同行们展示了这一证明过程，并且得到一致的承认），但同时这个证明却故意掩盖了出现X先生反例的可能性。我坚信，任何数学家，无论他对柏拉图主义持何种态度，都会将这种可能情况视为无稽之谈。

当然，也可能怀尔斯的论证中包含了一个错误而费马原先的命题的确是错的，或者怀尔斯的论证根本上就是错的，但费马的命题却是正确的。又或者怀尔斯的论证基本上正确，但其中含有某些“不严格的步骤”，以至于按照后来出现的某些标准，它在数学上无法得到认可。凡此种种，不一而足。不过，我们在这里真正要强调的是费马命题自身的客观性，而不是是否有人在某个时候以某种特别令人信服的方式向数学界证实（或证伪）了该命题。

应当指出的是，从数学逻辑来看，费马命题还只属于数学陈述中特别简单的一类，[5]它的客观性尤为明显。只有极少数[6]数学家会认为这类命题的正确性是主观的——虽然可能在选择更具说服力的论证方式上存在某种主观性。但是，的确存在着其他数学命题，其正确性只能当然地认为是某种“观念的产物”。最为人熟知的可能是选择公理。这个公理的内容眼下并不重要（我将在§16.3予以介绍），此处它仅仅作为一个例证。大多数数学家会认为选择公理“显然正确”，而另一些人则认为这个命题还需推敲，甚至可能就是错的（我本人在某种程度上倾向于后一种观点）。还有人将这个命题的“真理性”当作观念的产物，或者说某种依赖于所选择的公理系统及论证程序规则（“形式系统”，见§16.6）的事物。支持最后这种观点的数学家（他承认明确的数学陈述是客观的，例如上面讨论的费马命题）是相对较弱的柏拉图主义者，而那些坚信选择公理的客观真实性的数学家可谓是坚定的柏拉图主义者。

鉴于选择公理与物理世界运行背后的数学有关，我将在§16.3重新回到这个议题上来，尽管在物理理论中这一点并未得到充分认识。至于现在，读者大可不必受此问题过度搅扰。如果选择公理能用这种或那种无懈可击的数学推理方式得以解决，[7]那么它的真理性就是一个完全客观的事实。这样，无论是选择公理本身或是其否命题，都属于我所说的“柏拉图世界”这个范畴。相反，如果这个公理只是观念或任意决断的产物，那么绝对数学形式化的柏拉图世界将既不包含选择公理本身也排斥其否命题（尽管它容许存在如下形式的命题：“由选择公理可知，事情将会如此这般”或“由如此这般的数学系统的规则可知，选择公理的确是一个定理”）。

属于柏拉图世界的数学命题一定是那些具有客观真理性的命题。的确，我认为数学客观性就是数学柏拉图主义所要强调的那种东西。但凡说某一数学命题具有柏拉图式的实在性，即是指在客观意义上它完全是真的。对其他的数学观念——比如数字7这一概念，或整数的乘法法则，或某个含有无穷多个元素的集合概念——我们可以作同样的理解，即它们都具有柏拉图式的实在性，因为它们都是客观的观念。我认为，柏拉图式的存在就是一种客观存在，因此不应被看作是“神秘”或“非科学”的，尽管事实上有些人持有这样的观点。

与选择公理的情况类似，要判断某个具体的数学对象是否具有客观实在性有时候会非常微妙而且技术化。但尽管如此，也不是说就只有数学家才能充分领会众多数学概念的确定性。图1.2描绘的是著名的曼德布罗特集这一数学对象的不同细微部分。这个集合具有极其精细的结构，但这并非人工设计使然，而是一种完全由极为简单的数学规则生成的结构。这里我们不讨论这个规则的细节，否则会大大分散注意力。我们将把这种细节讨论放到§4.5去进行。

图1.2 （a）曼德布罗特集。（b），（c）和（d）分别是图（a）上的不同区域在相应的线性放大倍数11.6，168.9和1042下的细节。

这里我要强调的是，没有人，甚至包括曼德布罗特（Benoit Mandelbrot，1924～ ）本人，在他第一眼看见这个集合的精细结构中所蕴含的不可思议的复杂性时，就能够充分意识到这个集合异常丰富的特性。曼德布罗特集显然不是我们头脑想象出来的。它是一种客观的数学存在。如果我们打算为这个集合寻找一个实际对应物，那么这个对应物也一定不会存在于我们的头脑中，因为没有人能完全理解这个集合的无穷类型和无限复杂性。它也不可能存在于计算机绘制的大量示意图中，虽然这些图像的确抓住了该集合某些难以理解的复杂细节，但顶多也只是集合的一丁点近似。尽管如此，集合本身的确定性仍不容怀疑，因为当我们以越来越精细的方式审视这个集合的细节时，我们总是揭示出同样的结构，而且这一点并不取决于作出这一检验的具体是哪一位数学家或哪一台计算机。因此，曼德布罗特集只能存在于柏拉图的数学形式世界里。

我知道，有不少读者在寻找数学结构的对应物方面存在一定困难。我希望这些读者稍微拓展一下对于“存在”的理解。柏拉图世界里数学形式的存在方式与物理世界中各种对象（如桌椅）的存在方式不同。它们没有空间位置，也不在时间中。客观存在的数学观念必须被当作与时间无关的对象，而不能认为是在第一次为人类认识时它们才获得了自身的存在性。曼德布罗特集那令人眩晕的细节——如图1.2（c）和1.2（d）所示——并不是当人们首次在计算机屏幕或打印纸上将其显示出来时才变成了客观存在物，而且也不是当它蕴含的一般观念首次被人们——实际上不是曼德布罗特本人，而是布鲁克斯（R. Brooks）和马塔尔斯基（J. P. Matalski）在1981年或许更早——揭示出来时其存在性才得以确立。布鲁克斯、马塔尔斯基甚至曼德布罗特本人，对图1.2（c）和1.2（d）所示的精细结构并没有任何真正的概念。这些结构从来就是“存在着的”。在“与时间无关”这层意义上说，无论它们在何时何地由何人揭示出来，其存在形态与我们今日所见当别无二致。