2.2 马斯京根法

这个方法是美国麦卡锡（McCarthy）1939年在马斯京根河上使用的方法，由于方法简单且有一定的实用价值，所以至今仍被广泛地应用[8-11]。

2.2.1 槽蓄曲线的处理

马斯京根法是寻求入流量、出流量的某种线性组合与河段槽蓄量成为单值关系，并且假定这种关系是线性的。这种线性组合流量称之为示储流量，其表达式为

式中：Q＇——示储流量，m3/s；

x, y——流量比重系数。

若水流呈稳定流时，则Q＇=Qr=Qc=Qw，由式（2.7）得

将式（2.8）代入式（2.7）得

x一般称流量比重系数。现在我们来研究x值所在的范围。

根据上节对槽蓄曲线的分析可知，使蓄泄关系成为单一关系的流量为在此槽蓄量下的稳定流流量Qw，故有

由于附加比降的作用，如图2.6所示，在涨洪段对于上断面，断面面积减小，使得入流减小，同时水面比降减小，同样使得入流再减小；对于下断面，断面面积增加，使得出流增加，同时水面比降减小而使得出流减小，从而使得Qw-Qc很小，故有

Qr-Qw＞Qw-Qc, Qr+Qc＞2Qw，

不等式两端同除以大于零的Qr，不等式保持不变，由此得

由于Qr＞Qc，则，又因为两因式为同号，所以，得。

在落洪段由于Qc＜Qw, Qr＜Qc，故Qr＜Qw，则有

同理可得，由不等式知，两因式必为异号。由于Qr ＜Qc，则，那么因式，同样得。在x=0时，Qr=0，即与入流无关，此时为水库型蓄泄关系，对于河道而言x＞0，因为河道水位～流量关系极少是单值关系，不论是涨洪段还是落洪段，稳定流流量都在两者之间，即Ql＜Qw＜Qz，若x=0，则由上式可知Qw=Qz，这是不能成立的。由此可知，马斯京根法的流量比重系数x应在0～0.5之间。

根据上述假定，用示储流量表示的槽蓄方程为

2.2.2 演算公式的推导

将式（2.10）代入式（2.3）得

其中：。

在稳定流时，Qc,2=Qc,1=Qr,2=Qr,1，则由式（2.11）得

马秀峰在1980年提出另一种推导方法，他将式（1.1）中的面积A*仿照示储流量而写成

式中：——上断面过水面积；

——下断面过水面积。

将式（2.13）代入式（1.1）后化为有限差式得

式中：——上断面i时段始、末的过水面积；

——下断面i时段始、末的过水面积。

流量Qc与断面流速v的关系方程为

以式（2.5）代替动力方程并与式（2.14）联解得

其中：

在水流为稳定流的条件下，vr,1=vr,2=vc,1=vc,2，同样可以导得

若令常数，便可以得出G0=C0, G1=C1, G2=C2，此时式（2.16）便是马斯京根法流量演算公式（2.11）。

2.2.3 参数x和K的推求

马斯京根法要求使所求得的x值能保证S=S（Q＇）为线性的单值关系，即S～Q＇曲线为一直线。经验告诉我们这是不可能的，不论x取何值，S～Q＇的绳套总是不会消失，更不为直线，这是该方法的槽蓄曲线对动力方程作了过多的简化所致。由于x, K为经验系数，所以多用实测资料可以由试算法或最小二乘法经验地确定，见文献[2]。

2.2.4 计算时段长Δt的选取及流量演算

2.2.4.1 选取Δt

Δt的选取，原则上应越小越好，因为Δt越小就使得离散的流量过程越逼近连续的流量过程，计算精度就越高。但若Δt取得过小，会使得洪峰、洪谷夹在河段中间，破坏了流量演算水面为直线的基本假定，使得蓄泄关系为多值函数，从而降低了计算精度。

洪水波从河段的上断面向下断面演进过程中洪峰运行不同时刻的位置见图2.7（a）。

①线至 ④线为t0至t3时刻洪水波在河段中的位置。t0为起始时刻，t3为终了时刻，t1至t3与t0的时距分别为Δt1=t1-t0, Δt2=t2-t0, Δt3=t3-t0，因为t3＞t2＞t1＞t0，所以Δt3＞Δt2＞Δt1＞0。当时段长为Δt2时，则洪峰恰好由上断面演算至下断面，即图2.7（a）中t0至t2时的位置。此时Δt2正好是图2.7（b）中的K。由图2.7可知，洪水波在河段中存在着Δt1＜K,Δt2=K, Δt3＞K 3种情况，因此在选取Δt=Δti（i=1,2,3）时，有3种不同的情况，如图2.7（b）所示。若取Δt＜K，下断面处在涨洪段，虽然经过Δt，洪峰仍未到达下断面，洪峰夹在河段中间。若取Δt＞K，则下断面处在落洪段，即洪峰经过Δt已流出下断面。显然，取Δt=K为最佳计算时段长。然而Δt不仅是K的函数，而且是流量比重系数x的函数，即Δt=Δt（K, x）。现行的Δt选取公式为

式（2.18）是由分析而得的，存在着一定的问题。现介绍张文华于1986年[12]通过求解不等式方程组导出Δt为二元函数时的最佳范围的选取公式，现介绍如下。

设想一水库放水过程为：t0时刻开始启动闸门放水，至t1时刻闸门提出水面，紧接着关闭闸门，到t2时刻闸门全部关闭，且t1-t0=t2-t1=Δt，即闸门启闭的时距相等。这样，在下游某断面产生径流过程。

根据式（2.11）并由初始条件Qr,0=Qc,0=0, Qr, i=0（i=2,3, …, n）得

由式（2.19）第一式得

因为Qr,1 ＞0, Qc,1 ＞0，所以。又因为槽蓄方程为线性水库蓄泄方程，则（若时，就是线性渠道），且Δt≥K，故有

解此不等式得

由式（2.19）第二式得Qc,2=（C1+C0C2）Qr,1，因为Qr,1＞0, Qc,2＞0，所以（C1+C0C2）＞0。又因为Qc,3=C2（C1+C0C2）Qr,1＞0，所以C2＞0，即

已知分母Δt+2K（1-x）＞0，则分子2K（1-x）-Δt＞0，即得

联解式（2.20）、式（2.21）得

2Kx＜Δt＜2K（1-x）。　　（2.22）

式（2.22）便是选取Δt值的最佳范围公式。如果Δt不在此范围内选取，便会发生以下几种不合理的现象：

（1）当Δt=2Kx时，Qc,1 =0，如图2.8（a）所示。这显然不合理，由式（2.19）第一式得Qc,1=C0Qr,1，当Qr,1 ≠0,时，C0 ≠0，则Qc,1 ＞0。

（2）当Δt＜2Kx时，Qc,1＜0，即产生所谓负效应，如图2.8（b）所示。

（3）当Δt=2K（1-x）时，C2=0，故得Qc, i=0（i=3,4, …），且涨洪段平缓、落洪段陡峻，这不符合水力学特性和实际水文现象，如图2.8（c）所示。

（4）当Δt＞2K（1-x）时，C2＜0，因为（C1+C0C2）Qr,1＞0，所以C2的方次是奇数时为负值，是偶数时为正值。也就是说除了Qr,1＞ 0外，0 ＞Qc,2i+1（i=1,2,3, …）,0＜Qc,2i-2（i=2,3,4, …），这样出流过程就产生了正负相间的阻尼振荡，如图2.8（d）所示。

2.2.4.2 流量演算

由最小二乘法求得x=0.27, K=14.6h。因为2 Kx=2×14.6×0.27≈8（h）,2K（1-x）=2 × 14.6（1-0.27）=21（h），所以取Δt=12h便可以满足不等式（2.22），由此得

则流量演算公式为Qc,2=0.12Qr,2+0.60Qr,1+0.28Qc,1。

由于Δt受式（2.22）的约束，Δt不能小于2 Kx，这样出流过程往往不能满足要求，如欲知Δt内的出流量，则需直线内插，将产生较大的误差。特别是上、下断面洪峰流量的时距不是Δt的整数倍时，由于演算出的下断面洪峰流量必然落在Δt整数倍位置上，从而使得下断面峰现时间产生不应有的误差。为此，可以根据需要将第一时段Δt划分成n段，依次以小时段作为起始点，按时段Δt演算，这样演算出的下断面的出流过程便能满足要求，如图2.9所示。

本例将第一时段分成两小段，即，每小段为6小时，由于Δt=12（h）不变，所以C0, C1, C2不变，两小段均按上述公式演算，具体计算见表2.1。

应该指出，马斯京根法实质是假定入流量、出流量在时段Δt内呈线性变化条件导得的。