模块三 换面法

一、任务描述

变换投影面法（换面法）是在学习和掌握正投影法、直线和平面投影的基础上，用改变空间几何元素与投影面的相对位置的方法来解决空间几何元素的定位和度量问题的方法。通过换面法的学习，可以进一步巩固在《正投影基础》中所学的点、直线、平面及其相对位置的基本知识，使空间想象和分析问题、解决问题的能力得到进一步提高。

学习目的：

（1）换面法的投影变换规律。

（2）换面法的四个基本作图方法。

学习重点：

（1）求线段的实长和平面形的实形，线面对投影面的倾角投影作图。

（2）特殊位置直线和平面垂直、两特殊位置平面垂直的投影特性。

学习难点：

平行问题、相交问题、垂直问题的综合题解的投影作图。

二、任务实施

任务：投影变换的应用

如2-26图所示，试过M点作一直线与已知的一般位置直线AB正交。

分析：根据直角的投影特性可知，当两互相垂直的直线中有一条平行于某一投影面时，它们在该投影面上的投影反映为直角。因此为了能在投影图上由M点直接向直线AB作垂线，必须首先把直线AB变成辅助投影面P1的平行线。

作图：

1．按基本问题（一）把一般位置直线AB变为新投影面的平行线。

2．点M随同直线AB一起变换得m1。

3．根据直角投影定理，过m1向a1b1作垂线，m1与a1b1的交点k1即为两线正交后交点K在p1面上的投影。

4．由k1求出H/V体系中的k及k′，连接mk, m′k′即为所求直线M K的投影。

三、知识链接

投影变换是研究如何通过改变空间集合元素对投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。

当空间的直线和平面对投影面处于于一般位置时，则它们的投影都不反映真实大小，也不具有积聚性；当它们和投影处于特殊位置时，则它们的投影有的反映真实大小，有的具有积聚性。投影变换正是研究如何改变空间集合元素对投影面的相对位置或改变投射方向，以达到简化解题的目的。空间直线和平面对投影面处于一般位置和特殊位置时的投影情况如表2-7所示。

（1）当空间直线和平面对投影面处于一般位置时，则它们的投影都不反映真实大小，不具有积聚性。

（2）当它们对投影面处于特殊位置时，它们的投影有的反映真实大小，有的具有积聚性。

所以解决一般位置几何元素的度量或定位问题时，如能把它们由一般位置变成特殊位置，问题就容易获得解决。

投影变换是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置或改变投影方向，以达到简化解题的目的。

为达到投影变换的目的，常采用下面的三种基本方法：

（1）空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。

（2）投影面保持不动，使空间几何元素绕某一轴旋转到有利于解题的位置，然后求出其旋转后的新投影。这种方法称为旋转法。

（3）空间几何元素和投影面的位置都保持不动，采用斜角投影使空间几何元素到原体系的某一投影面上的投影具有积聚性，有利于解题。采用这种方法称为斜投影法。

1．换面法的基本概念

换面法，新投影面的选择必须符合下面的两个基本条件：

（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置。

（2）新投影面必须垂直于一个不变的投影面。

2．点的投影变换规律

（1）点的一次变换，点的投影变换规律为：

1）点的新投影和不变投影的连线，必须垂直于新投影轴。

2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的被更换的旧投影到旧投影轴的距离。

（2）点的二次变换，其原理和一次变换相同，除必须满足前述的两个基本条件外，还必须是在一个投影面更换完以后，在新的两面体系中交替地再更换另一个。

3．四个基本问题

（1）把一般位置直线变为投影面平行线。如图2-27所示，是把一般位置直线AB变为投影面平行线。

分析：图中给出直线AB的投影（ab, a′b′），取平面P1代替V面，使P1面既平行于直线AB，又垂直于H面，则AB在新体系P1/H中就变成为投影面平行线了（AB∥P1）。

作图：关键是确定新投影面P1的水平投影，即是新投影轴X1的位置。在本题中X1是平行于ab的，再求出直线AB两端点的新投影a 1和b1，连接a1 b1即为所求直线的新投影，如图2-27。

（2）把一般位置直线变为投影面垂直线。如2-28图所示，是把一般位置直线AB变为投影面垂直线。

分析：必须经过两次变换，首先把该直线变成投影面平行线，然后再把它变成投影面的垂直线。先把V面换成P1（P1⊥H，且P1∥AB直线）面，使直线AB在P1/H体系中成为投影面平行线；然后把H面换为P2（P1⊥P2，且P2⊥AB）面，使直线AB在P1/P2体系中变成投影面垂直线。

作图：先参照把一般位置直线变为投影面平行线的方法，作出直线AB在平面P1上的投影a1b1。此时作新轴X2⊥a1b1，作出直线AB在新投影面P2上的投影a2, b2，即完成作图。

（3）把一般位置平面变为投影面垂直面。如图2-29所示，是把一般位置平面△ABC变为投影面垂直面。

分析：要将△ABC变成投影面的垂直面，必须作一个辅助投影面与它垂直。根据两平面互相垂直的关系知道，辅助投影面应当垂直于△ABC面内的某一直线。但是，把一般位置直线在新体系中变成投影面垂直线必须变换两次，而把投影面平行线变成投影面垂直线只需一次变换；所以为了作图简化，可在三角形ABC内任取一投影面平行线。

作图：先在三角形ABC内作一水平线AD（ad, a′d′），然后作轴X1⊥ad。求出ABC各点在P1面上的投影a1b1c1并连接之，即为△ABC的新投影。

（4）把一般位置平面变为投影面的平行面。如2-30图所示，是把一般位置三角形ABC变为投影面平行面。分析：更换一次投影面能将一般位置平面变成辅助投影面P1的垂直面。把它变成投影面平行面，必须再更换一次投影面。为此，在把一般位置平面变为投影面垂直面的基础上，再选取一个辅助投影面P2，使它既垂直于投影面P1又平行于三角形ABC。这样三角形ABC在新体系P1/P2中就变成投影面P2的平行面了。

作图：先按照把一般位置平面变为投影面垂直面的方法作出三角形ABC在P1面上的投影a1b1c1；然后再画出新投影轴X2平行于a1b1c1，作出三角形ABC在P2面上的投影△a2b2c2，即完成作图。