第二章 人类的“历史倾向性”与经济增长曲线

第一节 经济增长的数学表示和社会分工条件下的劳动人口集聚

现代经济学将人类的财富集聚形式用数学的对数方法来表示：

其中Q（t）表示财富，它是时间的函数，Y（t）表示财富的量，它也是时间的函数。那么在单位时间内财富增长的微分形式就为：

我们现在常用的经济增长速度也就是财富的增长速度，在单位时间内近似地写成

人们用这种方式来表示财富的增长，并不是随意而为，它原来表示的是人类集聚增长以及财富集聚增长的自然特性。龙多·卡梅伦——美国埃默里大学资深的经济史学教授曾指出，这个人类表示的经济“增长”概念来自于一条拉长的S曲线，它是生物学家对人类和动物数量增长的痕迹表示——对数曲线，即这也是生物学家命名的名字（见图2-1）。

中学生物教学过程中老师会指导学生观察这个有趣的实验，将一群果蝇放在一个封闭的容器内，定期地投放食物。果蝇数量增长曲线可分为两个阶段，先是加速，而后是减速。用统计曲线的方式表示，曲线上升至最高点渐渐平滑成水平线，与原点的渐近线平行（见图2-1）。

美国普林斯顿大学生命科学家罗伯特·梅（Robert May）通过改变食物的供给，从而增加或减少果蝇出生率繁衍的数量展示出“周期倍”（注意图中从d到f时间里的数量“翻倍”）分岔通向均衡的道路（见图2-2）。从图2-2可以看出，（a）（b）分别为对数曲线的下半支和上半支，（c）为一个整体对数曲线，这是我们在下图（g），用数学模拟这三个阶段的第一张图片；其余（d）（e）和（f）阶段是下（h）用数学模拟的第二张图片。这两张图片都是严格地按照现代经济学原理、应用数学方法进行模拟的。

龙多·卡梅伦、拉里·尼尔还认为人类对这条曲线进行过长时期的考察，如欧洲人口的兴衰，人类财富的增长，欧洲文明的繁盛和衰落也都遵循着这个规律。但人们似乎总是弄不明白这条曲线为什么会发生“突变”现象。现代经济学的内生增长理论诞生以后，人们才发现：人类科学技术的创新，必将引起人类财富的突变，这时的对数曲线就会有一个“跳跃”（见图2-3）。而这种“跳跃”的含义也必须从对数函数的连续性本质来解释。

对数曲线是描述人类经济集聚、财富集聚以及其他等自然现象集聚的普遍方式，它是以自然对数e（无理数）为底数标准的一般形态，这是对数曲线得以“平滑、连续且有导”的根本原因。而人类用有理数形式得到的统计数据，只能粗略地描绘经济运行的基本轮廓，而不可能从根本上揭示经济运行的基本路径。这是本书只把统计数据作为验证模型结果的一般方法，而把揭示经济运行的本质及指导实证检验标准的方法，放在从理性逻辑推导中寻找的主要原因。后面我们将会看到，人们对经济增长曲线这种“跳跃性”的解释，正是科学技术进步作用于经济增长，用统计方法进行描述的粗略结果。我们只要将亚当·斯密的人的“历史倾向性”具体化，科学技术进步在经济增长中的自然性作用就可以明显地体现出来。而中国改革开放后的人均经济增长统计曲线就和这条“经济自然增长”曲线非常相似（见图2-3），但它并不是寻找人均经济增长的根本途径。事实上，在数学上寻找这些曲线并不难，只要在所用的数学工具中引入虚数的概念，并改变经济运行的时空观念就行了。目前，引入虚数的概念在经济研究中还不常见。但正是因为这种原因，许多重要的经济理论问题至今都仍无法从根本上得到解决，而只能从经验数据的演绎中得出。按照现代数学原理的要求，这样得出的结果并没有反映出经济发展的问题实质。著名经济学家库兹涅茨在研究发展中国家经济增长的长、短周期差异时，曾大胆地提出过要在经济增长理论中引入连通区域的方法论思想；更早的如法国金融经济学家瓦尔拉斯，认为人的现实经济结果实际上是人头脑中“虚拟商业计划”的实现，等等，遗憾的是，由于方法论的限制，这些重要的思想并没能引起人们足够的重视。

我们在第一章提到的亚当·斯密关于人类的“历史倾向性”问题，实际上就是在人类财富积聚思想指导下人类行为集聚的趋势问题。因为这种倾向性往往是人在生产劳动过程中从思想中产生，又在生产劳动过程中逐一实现的历史性过程。这是一种不断地在实际生产过程中加入对未来的向往，又不断地将对未来的向往付诸生产实践的过程，也就是虚、实经济空间的相互转换过程。近、现代经济学家不只一两个人想到过这一重要的方法论问题，但都苦于方法论的局限没能完整地表示出来。由此可见，人类的经济社会活动，始终是人类的理想世界和现实世界的相互转换、共同作用的过程。如果我们只考虑现实世界，而不去考虑和人的现实劳动密切相关的理想（这里的理想包括虚数和无理数，参见这一章延展阅读）世界，那么就肯定不能完整地描述和高度地概括人类经济活动的基本特点和基本规律。今天，现代数学完全可以表示这种现象，但必须注意到与人类经济活动密切相关的无理数和虚数在经济学中的地位问题。这种方法和现代经济学的基本原理不但没有任何根本性的矛盾，而且还会使我们进一步地了解现代经济学基本原理的经济实质。

人们的现实生产应该是自由的，但他又必须受到社会现实的约束。比如他生产的商品的价格就必须受到市场的约束，因为人们在生产中对自己生产价格的估算是虚拟的。这样，人们对生产未来的财富成果设想也应该是虚拟的。这种虚拟性揭示了商品生产者在市场上对自己生产的商品价格的不确定性。数学上一般要用虚数的指数形式来表示这种不确定性，我们可称之为市场价格的不确定因子。iθ=iω·t就是一种虚数形式，只有在生产完成了一个周期以后（包括把剩余的产品卖掉，变成自己的财富价值）, eiθ=eiω·t=1才能实现。这个周期，实际上也就是人们从劳动计划开始一直到将剩余劳动产品全部卖完的整个价值实现过程，否则就不能说人类劳动的价值完全得到了实现。比方说，一个人生产了很多商品，结果他没有把他剩余的商品完全卖出去，这个人在市场中就没有完全实现他的劳动价值，因为他剩余的劳动产品没有得到社会的承认。所以说，把这种商品价格在市场上的不确定形式与人均产出相互作用，就得到了人的市场生产的不确定性。用f（x）（交换双方的价值平均）表示人均产出函数，其中x表示人均生产过程中的原材料，如果我们用Γ表示由市场确定的单位产品价格，则ω=Γx，就称之为一个人的实际产品生产过程。这个过程既有主观因素也有客观因素。主观因素是他可以确定他准备生产多少产品，用多少产品的原材料 x，客观因素是这个产品的市场价格Γ必须由市场来确定。这样，我们就得到了市场经济条件下，人的商品生产就是人均产出函数与不确定性因子的相互作用的f（x）eiω·t关系式。这是一个非常重要的关系式，仔细观察这个关系式，如果A表示科学技术因子，X、L分别表示投入生产的原材料和劳动力，就会发现它实际上是把希克斯生产函数Y=AF（X, L）的表示式转换成索洛模型的表示式。不过，这里的科学技术因子A成为含有虚数的指数形式（后面我们要详细证明）。

实际上，人们对以上的表示仍然不太满意，这是因为只要有分工才会有市场，所以说只要有市场才会有人的价值实现形式。最简单的商品交换实现也必须存在供需两侧的价值交换实现，才能形成产品交换的实现。比方说有两种产品，一个是粮食、一个是布匹，在那个时代，只有同时有粮食又有布匹的人才是“最幸福的人”。很明显，这种“最幸福的人”需要通过市场来完成自己价值的实现。亚当·斯密的社会分工原理认为这两种产品一定能够彼此交换成功，正是因为社会分工使得交换双方对彼此的产品都有了需求，这就成为市场产生的必要性和人们为什么要进行商品生产的充分性。人的社会倾向性就是要不断地提高自己的生产技术水平，通过社会分工所导致的市场扩大以提高自己的劳动价值得到实现的可能性，进而成为发展自己、提高自己社会地位的前提。仔细地研读亚当·斯密《国富论》的“论社会分工原理”和“论分工受限于市场的范围”这两个章节，就可以领会这里面的深刻含义。

所以说，最简单的市场交换形式是：必须是ω1=Γ1x1、ω2=Γ2x2所表示的两种商品的市场价值存在形式。在整个生产环节完成的这段时间里（单位周期时间），就有这两种商品的市场生产不确定因子eiω1、eiω2存在，这两种商品的生产者集聚在一定的市场范围里，才能完成自己的交换过程。我们用两个权重系数C1和C2分别把它们价值实现的可能性显示出来（由于市场的作用，这里只能用人均生产函数，单个人是不可能进行生产和交换的），对于两个生产商，则有：

那么，对于包含历史上所有的社会分工所实现的无数商品，想要描述生产商通过市场实现自己价值的过程，就必须有：

在数学上可以证明：

把（5）式带入（4）式，我们就得到

从这里我们就得到按产品成功交换的生产函数：

它当然具有共轭的形式：

它要求生产商品的人们必须按照行业的分类集聚起来，通过市场来完成他们各自的交换需求，这是工业化（城镇化）最基本的原理要求。（2-7）式和（2-8）式是一对重要的共轭方程，它们将社会分工下劳动力集聚和市场形成的必要性和充分性完整地体现了出来。根据希尔伯特空间的特性，将（2-7）式和（2-8）式左右两边分别相乘，就得到区域集聚的总产值和人均产值的分布形式：

设dΣ = dΓdx是一个由价格和成本组成的单位区域，省略上式积分的无穷小量，留下积分的主干部分。考虑到现代经济学通常所说的指数都是百分数，又F∗（ωi）F（ωi）, f∗（x）f（x）本身都是一个实数的平方值，即

所以给上式右边的1/2π≅0.16需再乘1002，即得

上式中，P（Γ, x）=F（Γ, x）F∗（Γ, x）为总产量的概率密度，p（x）=f（x）f∗（x）为人均产出的概率密度（可参看本章的叙述和延展阅读）。这里假设该区域是完全连续和均匀的，积分元乘以区域面积的值处处均匀相等。故（2-9）式就成为一个重要的市场均匀情况下总产量与人均产出值之间的关系式，它是在积分区域连通情况下所得到的产物。它充分地说明了以下几点。

（1）社会分工是科学技术发展的结果，为了提高生产效率才导致分工，分工必然会产生新的市场。

（2）市场是为了满足有技术专长的人得到更多财富的结果，人们财富的满足在于在生产中完成了一个完整的生产过程，否则人们的愿望就难以实现。

（3）有了市场才有了人们生产的不确定性，为了圆满地表示这种不确定性，必然要把由市场确定的产品价格用虚数表示出来。

（4）因为有了虚数，人们的生产劳动过程（空间和方式）实际上是共轭的，生产劳动的空间共轭，生产函数的表示式也必须共轭，这就要求不同种类的生产者群体进行集聚，由此产生了城市化（城镇化）的必然要求。

我们现在要求对（2-9）式进行实证检验。

我们在中华人民共和国统计局网站下载了1978～2015年的国民生产总收入和人均收入。首先没有用（2-9）式而按一般的方法对它们进行统计回归，其结果如图2-4所示，把回归图形与原始统计数据进行比较（见表2-2）。

可以看到，尽管线性回归的拟合度非常好，但周期性不太明显。特别是拟合值和实际值在残差值较大的时候出现了重合，阻滞了波动周期的显示。这主要是因为刚开始时拟合值在实际值的下面，说明系统预测值比实际经济周期波动曲线要低一些，而在经过比较大的残差波动以后，系统的预测值却高于实际值，因而使实际的经济周期波动显示受到了阻碍。而实际的运行图2-5说明国民生产总值和人均收入在这个时段都有波动，正确的理论应该将这两种波动叠加起来显示，而图2-4实际上却没有达到这一点。这说明这种方法论本身存在着问题，即直接用回归方法得到的结果存在着失真。我们现在再用（2-9）式来进行统计回归，看看能得到什么结果。在这里，我们给每个人均收入的概率密度都乘了1600，回归结果如图2-6所示。把回归图形与原始统计数据进行比较（见表2-3），精确度提高了近两个百分点。我们看到在这里因为利用了（2-9）式，得到了人均收入和社会生产总值清晰的显示，人均收入波动和国民生产总值的波动在残差值处得到了“混合型”的加强，这使经济波动的周期性表现得十分突出。刚开始，拟合线在实际线以上，在残差最大点处拟合线转到了实际线以下，在这里使人均收入和国民生产总值的波动周期得以显现。说明我们用（2-9）式使原来不鲜明的经济现象现在变得明显，（2-9）式显然要比用原始的回归方程更精确，更加符合经济运行的本来面目。我们认为这是一个很重要的结果，因为它从一定意义上可以让我们知道现代经济学所用的方法存在着方法论本身的误差。我们在本章，特别是第八章、第九章都应用这种方法，并取得了极好的结果。这种结果的原因我们也将在第十章再予以解释。

可以看出，中国1978～2015年的经济发展，基本上是按对数曲线的方式进行财富积累的。科技创新对中国经济发展的冲力还不太大，从图2-5可以看出，在20世纪90年代我们稍微有了科技冲力，但不太明显。因此，改变经济发展的方式，进行产业结构调整，已经成为我们当前一项十分重要的任务。从英国城市化的经验来看，它也关系中国新型城镇化建设的成败。我们可以用VAR模型清晰地描述这个经济增长过程，无论是社会经济总量对人均经济收入的冲击还是人均收入对社会经济总量的冲击，脉冲反应方程都保持了一种“完满的”对数状态（见图2-8），并且波动方程比较稳定。这充分地说明我们在引入了虚数以后，经济增长空间与表述经济增长的工具都达到了一种“和谐的默契”的状态。关于这个问题我们在后面还要进一步讨论。这里简略的解释是：对数使乘积幂的指数变化也跟着起到了急剧变化的作用。显然，这里的指数对于人均财富增长来说，是以人均生产商品的市场交换价值Γi的平均值形式与生产数量xi的平均数量 形式进行作用的。它们都是面向市场的有方向的矢量，在完成商品生产一个周期内以的形式进行着生产。同样，社会总财富的乘积幂是以矢量的形式进行叠加，这是本章（2-4）式的普遍形式。在科学技术水平相对不变的情况下，这时市场的价格相对稳定，产量 却急剧增加，人们的生产是为了满足自己的生活需要和社会总财富的增加做贡献。在时段t=1的情况下对数曲线LOG（Z）（社会生产财富总量）与对数曲线LOG∗（G）（人均产出）交汇，最后各自以对数曲线的形式进行稳定的人均财富生产集聚并促进社会总财富的增长。图2-9是理论上标准的人均经济增长与社会总财富增长的关系图，图中人均财富增长的对数形式，反映出共轭空间的理论存在。

由此可见，人们的剩余劳动产品能否通过市场交换进而成为劳动者的价值实现，只有通过市场来确定。这样人的劳动形式就由虚部和实部两部分组成，这是人类经济活动自然属性的反映。如果我们承认了人的商品生产的虚部存在形式，那么人们的市场活动就必然存在着结构相同且相互依赖又相互独立的两种空间形式，数学上称之为“共轭空间”。共轭空间的存在又决定了市场经济条件下人的劳动集聚的必然性。在共轭空间中的生产函数也同样存在着特有的共轭特性，这两者的相互作用恰好就是一个概率积分元。这样大部分的经济学现实问题都可以得到准确的解决。本书就是从人类社会生产的人口集聚和财富集聚入手，在现代经济学原理的基础上，试探地解决中国新型城镇化建设中的主要问题的。为了说明这种方法论的实用性，本书取消了集中进行实证检验的方法，而把每一个实证检验放在所给出的每一个结论的后面，以验证这种结论的可行性和可靠性。

我们现在就根据各章节问题发展的需要，在现代经济学原理的基础上，运用数理经济学这个基本工具，有条件地引入新的概念，逐一展开在市场经济情况下，人口集聚和财富集聚所要解决的基本问题的讨论，并给出解决这些问题的相应方法和基本结论。同时，提出解决这些问题的方法论基础也将成为全书的重要目的。