4.1 开孔补强的理论基础
4.1.1 孔边的应力
（1）平板开小孔的应力集中
①单向拉伸的平板 在平板上开半径为a的小圆孔（图4-1），半径a的尺寸相对于板的长度或宽度中的较小尺寸，小到一个数量级以上，在板的边缘上作用平行于板平面的拉伸力q。小孔半径要求很小是为了方便力学分析。根据弹性力学理论得到的解为
图4-1 开孔附近的应力分量
式中 q——板边均匀拉力，MPa；
r——离坐标原点O的半径位置；
σr——径向应力，MPa；
σθ——周向应力，MPa；
τrθ——剪切应力，MPa；
θ——离坐标轴的角度位置。
通过对式（4-1）的分析，就可了解开孔后孔边缘及其附近平行和垂直于拉伸方向上的应力分布规律。
a.小孔边缘r=a处的应力分布 当r=a时，由式（4-1）可得：σr=0，σθ=q（1-2cos2θ），τrθ=0，其周向应力分布如图4-2所示，当θ=0或θ=π时，σθmin=-q；当θ=±π/2时，σθmax=3q；由图4-2可见，周向应力分布很不均匀，最大应力出现在垂直于拉伸方向的截面上，而平行于拉伸方向的截面上，应力出现最小值，且为压应力。
图4-2 小孔边缘的周向应力分布
b.小孔附近平行和垂直于拉伸方向上的应力分布 平行于拉伸方向时，θ=0或π，则由式（4-1）可得式（4-2）：
垂直于拉伸方向时，θ=±π/2，则由式（4-1）可得式（4-3）：
在这两个截面上的应力分布如图4-3所示。可见，孔边的高应力有明显的局部性，在距孔边一定距离处迅速衰减为均匀拉伸力，其值为q。
图4-3 小孔附近的应力分布
②双向拉伸的平板 压力容器承受的是双向应力，因而研究双向拉伸更具有现实意义。当两向拉力不同时，在线弹性范围内，开孔附近的应力状态可用叠加法求解，如图4-4所示。把在横向和垂直方向拉伸载荷作用下的大平板开小圆孔问题，分解成一个横向受拉，另一个垂直受拉的问题。横向受拉的应力计算式仍采用式（4-1），垂直受拉的应力计算式在式（4-1）中令θ为θ-π/2或θ+π/2就可得到。然后叠加这两部分解，便可得到双向拉伸时的应力解，见式（4-4）。
式中 q1——水平方向板边均匀拉力，MPa；
q2——垂直方向板边均匀拉力，MPa。
其余同上。
图4-4 双向受力开孔平板的叠加方法
同理，通过对式（4-4）进行分析，就可了解双向拉伸的平板开孔后孔边缘及其附近平行和垂直于拉伸方向上的应力分布规律。
a.小孔边缘r=a处的应力 当r=a时，由式（4-4）可得
由式（4-5）可得：在θ=0或π的截面上，σθmax=3q2-q1；在θ=±π/2的截面上，σθmax=3q1-q2或σθmax=3q2-q1。
b.小孔附近水平和垂直方向上的应力 水平方向时，θ=0或π，由式（4-4）可得
垂直方向时，θ=±π/2，由式（4-4）可得
（2）壳体开小孔的应力集中
平板开小孔的结论，可直接用于壳体开小孔。因为当开孔直径与壳体直径之比较小时，可忽略壳体曲率带来的影响，用双向受拉伸平板开小孔的理论，就可足够精确地分析壳体开小孔的应力集中。衡量应力集中程度的参数是应力集中系数。应力集中系数一般指开孔边缘的最大应力与壳体最大基本应力之比。下面分别对球壳及圆柱壳的应力集中情况进行分析。
①球壳开小孔 球壳由操作压力产生的基本应力为
σ=pDi/（4δ） （4-8）
式中 p——操作压力，MPa；
Di——球壳内径，mm；
δ——壳体壁厚，mm。
则小孔边缘应力由式（4-6）、式（4-7），并取q1=q2=σ得
（σθ）0，π=3q2-q1=2σ
（σθ）π/2=3q1-q2=2σ
（σθ）-π/2=3q2-q1=2σ
故孔边最大应力各方向相同且为2σ，其应力集中系数为α=2σ/σ=2。
②圆柱壳开小孔 圆柱壳由操作压力产生的基本应力为
设q1=σ周向=σ，则q2=σ轴向=σ/2。
由式（4-6）、式（4-7）得小孔边缘应力为（以周向应力作为基本应力）
（σθ）0，π=3q2-q1=0.5σ
（σθ）π/2=3q1-q2=2.5σ
（σθ）-π/2=3q2-q1=0.5σ
故孔边最大应力发生在筒体轴向截面上，且为2.5σ，其应力集中系数为α=2.5σ/σ=2.5。
由上述①、②可知，圆筒壳体开孔的应力集中系数较球壳开孔的应力集中系数为大，由于球壳的基本应力只有相同条件下圆筒体最大基本应力（周向应力）的一半，因此在其他条件相同的情况下，圆筒壳体开孔引起的危害程度要较球壳开孔为大。
综上所述，可以得出如下结论：最大应力在开孔边缘，孔边是应力集中最严重的位置；开孔造成的应力集中具有局部性和衰减性。
4.1.2 容器开孔的强度问题及其补强准则
（1）容器开孔的强度问题
①开孔对孔边薄膜应力的影响 压力容器壳体一般承受均匀的薄膜应力，即一次总体薄膜应力。壳体开孔以后，不仅使壳体开孔截面的承载面积减少，使该截面的平均应力增大，而且开孔边缘的应力分布极不均匀，在离开孔边缘较远处，应力几乎没有变化，而增大的应力集中分布在开孔的边缘。由此在开孔边缘引起很大的局部薄膜应力。4.1.1（2）中所描述的应力即是基于这种应力的情况。
②开孔对孔边弯曲应力的影响 容器开孔以后，在开孔处由于曲面的影响，存在弯曲应力。此外，开孔后一般总需设置接管，即有另一个壳体与之相贯，相贯的两个壳体在压力载荷的作用下，各自产生的径向膨胀（直径增大）通常是不一致的，为使两部件在连接点上变形协调，则必然产生一组自平衡的边界内力（包括横剪力与弯矩）。这些边界内力将在壳体的开孔边缘及接管端部引起局部弯曲应力。
③开孔对孔边峰值应力的影响 壳体开孔以后，在壳体开孔边缘与接管的连接处还会产生一种由于应力集中现象造成的分布范围很小，而数值很高的峰值应力。
（2）开孔补强准则
①局部薄膜应力——静力强度 容器在压力载荷下产生的一次总体薄膜应力是最基本的应力，是为平衡压力载荷所产生的。开孔后在孔边产生的分布不均匀的局部薄膜应力，也是为平衡压力载荷所产生的。这种应力如超过材料的许用应力达到材料的屈服点，则容器将产生很大的变形（径向膨胀），如不计材料的应变强化效应，则材料会发生塑性流动，导致容器破坏。这种破坏是在一次加载条件（方式）下就会发生的，故称其为静力强度失效。
②局部弯曲应力——安定性 由于相贯壳体变形协调产生的边界内力引起的局部弯曲应力具有自限性，它不会使容器在一次加载条件下发生破坏，但它可能在多次加载条件下，即多次加压、卸压加载方式下，造成开孔附近的局部破坏，即发生失去安定性的塑性疲劳破坏（大应变疲劳破坏）。
③峰值应力——疲劳强度 由于应力集中现象引起的峰值应力虽不会使容器在一次或多次加载方式下发生破坏，但可能在频繁的加压、卸压的反复加载方式下，使开孔接管的连接部位首先出现裂纹，继而扩展，最终导致容器开孔附近的破裂，即发生疲劳强度破坏。
容器中上述几种应力虽然是同时存在的，但其破坏的发生则是与加载方式（加、卸压循环次数）密切相关的。因此，压力容器开孔强度设计，首先应根据使用条件的加载方式（一次、多次或反复加载），考虑可能发生的破坏形式，然后确定所应计算的应力，并按不同应力的性质分别加以对待，以确保容器的安全性和经济性。