第一节 现代资产组合理论

资产组合理论也称投资组合选择理论，是继凯恩斯理论之后在西方主流经济学界出现的一种核心投资理论。1952年，马柯维茨（Harry M. Markowitz）发表《资产组合的选择》论文，开创了现代投资理论的先河。1959年，出版了同名专著。由于其在投资理论的特殊贡献和历史地位，于1990年获得诺贝尔经济学奖。

资产组合理论大致包括收益度量、风险度量、非系统风险分散、投资组合选择等。

一 资产收益及其数理统计量

在均衡市场中，不存在高风险、低收益的资产，也不存在低风险、高收益的资产，换言之，均衡市场不会出现一种资产明显优于另一种资产的情形。

（一）资产收益

资产收益（return, R）是财务学尤其是风险管理理论研究的随机变量。当其他因素不变时，资产收益用资产价格表示。衡量资产收益的形式有：一是绝对数，即资产卖出价格减去买入价格，或资产期末价值与期初价值之差，ΔP=P1-P0。二是相对数，即资产买卖价格差额与买入价格之比，R=ΔP÷P0=P1÷P0-1。

一般来说，资产收益用相对数表示，即资产收益率。

1．资产收益形式及关系

（1）必要收益率。是指人们愿意投资所要求的最低报酬，能够准确反映未来现金流量风险的报酬，精确表达了投资风险的大小。必要收益率建立在机会成本的基础上，是在同等风险下选择这个方案而放弃其他方案的最大报酬率。

资产的内在价值评价以必要收益率作为折现率。

（2）期望收益率。是指人们从事投资所预计的报酬大小，是使净现值等于0的内含报酬率。当净现值等于零（NPV=0）时，投资者能够赚取与其风险水平相应的收益水平。投资可行性的基本条件是期望收益率大于或等于必要收益率。

资产的买价估算以期望收益率作为折现率。

（3）实际收益率。是指人们投资后所获得的真实报酬，反映投资决策的现实回报情况，是无法改变的。投资经过一段时间后有了最终结果，若实际收益率与期望收益率有差异，则可以说这是风险造成的或发生了风险。总不能让时光倒流，去改变实际报酬率，只能根据以往的实际收益率做出新的投资决策。由于风险的存在，实际报酬率与期望报酬率并无必然的联系。

值得一提的是，必要收益率是机会成本；期望收益率不小于必要收益率是投资决策的基本依据；实际收益率与期望收益率的差异正是风险的本质内容。在有效资本市场中，期望收益率与必要收益率应当趋于一致，且均与实际收益率走向统一。

2．资产收益概率分布

在现实经济中，一些在相同条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。随机事件发生的可能性大小称为概率。概率分布是随机事件可能出现的所有结果的概率集合，需要满足两个条件：所有可能结果发生的概率（Pi）介于0—1之间，即0≤Pi≤1；所有可能结果的概率之和等于1，即{L-End} = 1。概率分布分为离散型分布和连续型分布。

（1）离散型分布。有些随机变量的所有可能取值是有限个（可列），这种变量称为离散型随机变量。对应于有限个取值，有确定的概率，则称这种变量服从离散型分布。

现有两个投资机会X和Y。X是高科技项目，市场竞争激烈，若做得好，利润很大，否则，会出现较大亏损；Y是传统项目，销售前景能够较准确地预测。两个项目在未来经济状况好、中、差三种情况下，其预期收益率R及概率分布见表2-1。

离散型分布是一种非连续概率分布，如图2-1所示。

（2）连续型分布。实际上，未来经济状况的出现远不止上述好、中、差三种情况，从好到中，从中到差，会有无数种小的情况出现。若对每种小的情况都赋予一个概率，并仍然满足{L-End} = 1，然后分别测定其对应的投资收益率，则称这种变量服从连续型分布。

连续型概率分布描述的是概率与资产收益率的关系为函数关系，表达式为P=f（R）。图2-1中，若假定随机变量可以连续取值，且有对应概率，X和Y项目的概率分布如图2-2所示。可见，概率分布越集中，概率曲线的峰度越大，实际收益率偏离期望收益率的可能性越小，投资风险越低。从图2-1和图2-2可以看出，X方案与Y方案相比，其投资风险要大。

需要说明的是，无论是连续型分布，还是离散型分布，给出的例子通常是假定随机变量服从正态分布。事实上，并非所有的随机变量都呈正态分布。但是，根据统计学理论，无论总体是否服从正态分布，其样本平均数均呈正态分布。

根据概率分布，对投资项目，不仅要分析其期望收益，而且要研究收益风险程度。

（二）资产收益的数理统计量

根据数理统计原理，反映随机变量集中趋势或稳定程度的基本指标是期望值，反映随机变量离散趋势或波动程度的主要指标是标准差。

1．资产收益期望值

期望值也称均值，是资产收益率的所有可能取值，以各自相应的概率作为权数计算的加权算术平均数，用μ或E（R）表示。

（1）概率未知。若资产收益情况出现的概率未知，则通常假定各情况概率相同，均为1/n，资产收益期望值的计算式为：

式中：Ri为第i种情况的资产收益率；n为所有可能出现的情况数。

【例2-1】 两种股票在4个年度的收益率见表2-2。求A、B的收益期望值。

解

A股票收益期望值为：

B股票收益期望值为：

（2）概率已知。当资产收益情况出现的概率已知，资产收益期望值的计算式为：

式中：Pi为第i种情况的资产收益率发生的概率。

【例2-2】 三种股票在三种可能情况下的收益率见表2-3。求A、B、C的收益期望值。

解

A股票收益期望值为：

μA=0.3×90% +0.4×40% +0.3×（-10%）=40%

B股票收益期望值为：

μB=0.3×70% +0.4×40% +0.3×10% =40%

C股票收益期望值为：

μC=0.3×80% +0.4×50% +0.3×20% =50%

2．资产收益标准差

标准差也称均方差，通常用σ 表示，是方差的平方根。方差是资产收益率的所有可能取值与其期望收益率之差平方的期望值，通常用σ2或D（R）表示。

（1）概率未知。当资产收益情况出现的概率未知，资产收益标准差的计算式为：

【例2-3】 承例2-1，计算A、B两种股票的收益标准差。

解

A股票收益标准差为：

B股票收益标准差为：

（2）概率已知。当资产收益出现概率已知，标准差的计算式为：

【例2-4】 承例2-2，计算A、B、C三种股票的收益标准差。

解

A股票收益标准差为：

B股票收益标准差为：σB= 0.3×（70% -40%）2+0.4×（40% -40%）2+0.3×（10% -40%）2= 0.3×70%2+0.4×40%2+0.3×10%2-40%2= 5.4%=23.24%

C股票收益标准差为：

标准差是用绝对数形式来衡量风险的。当两个方案的收益期望值相同，标准差越大，风险越大；反之亦然。当两个方案的收益标准差相同，期望值越大，风险越小；反之亦然。例2-2和例2-4中，A、B股票的收益期望值相同，但A股票的收益标准差较大，风险较大；B、C股票的收益标准差相同，但C股票的收益期望值较大，风险较小。

标准差只能用来比较收益期望值相同投资方案的风险大小。当收益期望值不同，标准差的判断功能失效。例2-2和例2-4中，A与B能比较，B与C能比较，A与C不能比较。为了解决这一问题，引入一个用相对数形式来衡量风险的变异系数。

3．资产收益变异系数

变异系数也称标准离差率，是标准差与期望值之比，通常用 VC 表示，其计算式为：

【例2-5】 承例2-2和例2-4，计算各方案的资产收益变异系数。

解

A、B、C股票的收益变异系数分别为：

VCA=38.72%÷40% =0.968

VCB=23.24%÷40% =0.581

VCC=23.24%÷50% =0.4648

可知，A、B、C三种股票相比，A的风险最大，B次之，C最小。

二 现代资产组合理论的先驱：σ-μ理论

马柯维茨的资产组合理论之所以被称为σ-μ理论，是因为该理论主要讨论的是在不确定条件下投资组合选择的均值—离差法。

（一）σ-μ理论的基本假设

σ-μ理论的基本思想是在资产组合的收益期望值和收益标准差之间进行权衡，目的是风险一定收益最大，或收益一定风险最小，或风险最小且收益最大。

资产组合理论建立在一系列假设基础上：

（1）单期投资，即投资者期初投资，期末取得投资回报。单期模型分析虽然是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等投资，但作为一种简化形式，成为多期模型分析的基础。

（2）投资者事先知悉资产收益率的概率分布，并呈正态分布。

（3）证券市场是有效的，不存在税收和交易成本，投资者是价格的接受者，证券是无限可分的。

（4）投资者用期望收益率（收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，用收益率离差（标准差或方差）来衡量投资收益率的风险，因此，均值—离差（σ-μ）成为投资者关注的主要决策变量。

（5）投资者是风险厌恶者，总是根据占优原则，在同一风险下选择收益较高的资产，或者在同一收益率下选择风险较低的资产。

（6）市场资产收益率的正态分布决定了资产由其均值和离差唯一确定。

（7）不允许买空，wi＞0。

（8）投资者的效用函数是二次的，U（w）=a+bw+cw2。

由于投资者是风险回避者，σ-μ等效用曲线都是正斜率，但由于不同投资者的风险厌恶程度有所差异，斜率也有一定差异。投资者的σ-μ无差异曲线越陡峭，说明投资者的风险厌恶度越高；反之，σ-μ无差异曲线越平坦，说明投资者的风险厌恶度越低。对于同一投资者，面临许多σ-μ无差异曲线，在同一σ-μ无差异曲线上，任何一点所代表的资产组合对投资者的满足程度都是相同的，在不同σ-μ无差异曲线上，点所代表的资产组合对投资者的满足程度是不同的，σ-μ无差异曲线越靠近坐标的左上部分，对投资者的满足程度越大；反之，越靠近坐标右下部分，对投资者的满足程度越小。

最优资产组合μp=f（σp）：

资产组合通过多元化分散化投资来对冲一部分风险。

（二）两项风险资产组合的σ-μ指标

在财务活动中，投资者很少投资于单一资产，而往往投资两项或两项以上资产，构成资产组合，减少资产收益的波动性，降低整体风险。计量资产组合风险时，同样离不开期望值和标准差两个变量。

1．两项风险资产组合的收益期望值

两项风险资产组合的收益期望值是组合中各资产的收益期望值，以其投资比例作为权数的加权算术平均数。设两项风险资产分别为A和B，收益期望值分别为E（RA）或μA、E（RB）或μB，投资比例分别为wA和wB，则两项风险资产组合的收益期望值计算式为：

μp=wA×E（RA）+wB×E（RB）=wA×μA+wB×μB

式中：μp为资产组合的收益期望值。

【例2-6】 设两种股票A、B形成组合，投资比例分别占60%和40%，在三种可能情况下的投资收益率见表2-4。计算两项风险资产组合的收益期望值。

解

μA=E（RA）=0.25×90%+0.50×30% +0.25×（-20%）=32.5%

μB=E（RB）=0.25×30% +0.50×20% +0.25×0=17.5%

μp=E（Rp）=0.6×32.5% +0.4×19.5% =29.5%

2．两项风险资产组合的收益标准差

两项风险资产组合的收益期望值等于组合中各风险资产收益期望值的加权算术平均数，但其收益标准差并不一定等于组合中各风险资产收益标准差的加权算术平均数。设两种风险资产A和B的收益方差分别为 D（RA）、D（RB），两者之间的收益协方差为Cov（RA, RB）或σAB，则风险资产组合的收益标准差计算式为：

式中：σp为资产组合的收益标准差，D（RA, RB）为收益方差。

可见，两项风险资产组合的收益标准差取决于三个因素：一是两项风险资产本身的收益标准差；二是两项风险资产投资比例；三是两项风险资产之间的收益协方差。而风险资产A、B之间的收益协方差计算式为：

【例2-7】 承例2-6，计算两项风险资产A、B组合的收益标准差。

解

此例证实了两项风险资产组合的收益标准差小于两项风险资产收益标准差的加权算术平均数，说明资产组合可以起到风险分散的作用。

wA·σA+wB·σB=0.6×38.97% +0.4×10.91% =27.75% ＞σp=27.59%

此例同样证实了两项风险资产组合收益方差小于两项风险资产收益方差的加权算术平均数，说明资产组合具有风险分散效应。

3．两项风险资产之间的收益相关系数

引入相关系数后，则风险资产组合的收益标准差计算式为：

式中：相关系数ρAB或Corr（RA, RB），取值介于1和-1之间，计算式为：

【例2-8】 承例2-7，计算A、B资产之间的收益相关系数。

解

（三）两项风险资产组合“σp-μp”投资机会线

引入相关系数后，影响两项风险资产组合收益标准差的三个因素改变为：两项风险资产本身的收益标准差 σA和σB、两者的投资比例 wA和wB、两者之间的收益相关系数ρAB（原来是两者之间的收益协方差σAB）。下面用一个综合性例题说明相关系数、投资比例对资产组合风险产生的影响以及如何做出投资选择。

【例2-9】 投资于A、B股票，收益期望值分别为15%和10%，标准差分别为12%和8%，当投资比例出现为以下十一种情况：10∶0、9∶1、8∶2、7∶3、6∶4、5∶5、4∶6、3∶7、2∶8、1∶9、0∶10，相关系数出现为以下九种情况：1、0.8、0.5、0.2、0、-0.2、-0.5、-0.8、-1，计算资产组合的收益期望值与标准差。

解

当投资比例为6∶4，即wA=0.6时：

μp=0.6×15% +0.4×10% =13%（收益期望值与相关系数无关）

将wA=0.6的1个期望值和9个标准差数据分别填入表2-5的“6∶4”纵栏。

同理，分别计算其他十种情况wA=1、wA=0.9、wA=0.8、wA=0.7、wA=0.5、wA=0.4、wA=0.3、wA=0.2、wA=0.1、wA=0的1个期望值和9个标准差，对应填入表2-5。

1．相关系数对σp-μp的影响

从表2-5纵栏（除“10∶0”、“0∶10”外的中间9列）可以看出，从上到下，随着相关系数逐次减小，风险资产组合标准差也随之减小。具体表现为：当ρAB=1，风险资产组合的标准差最大。随着ρAB逐渐下降，风险资产组合的标准差也随之下降。当ρAB=-1，风险资产组合的标准差最小。

（1）ρAB=1，两种风险资产收益之间呈完全正相关。此时，两项风险资产收益的变动方向和变动幅度完全一致，其期望值和标准差满足：

在现实财务活动中，完全正相关较罕见。当两种风险资产收益之间呈完全正相关，期望值和标准差同时随着wA的增加而增加，由风险资产组合收益的期望值和标准差构成的机会集是一条直线AB，如图2-3（左）所示。将例2-9中ρAB=1在不同投资比例下各项数据连接起来的σp-μp线就是直线AB。可以看出，机会线AB不存在无效集，机会集与有效集完全重合，即机会集全部是非劣集。风险资产收益之间完全正相关，资产组合的收益和风险，比收益和风险较大的A资产要小，比收益和风险较小的B资产要大。

（2）ρAB=-1，两种风险资产收益之间呈完全负相关。此时，两项风险资产收益的变动方向和变动幅度完全相反，其期望值和标准差满足：

在均衡市场中，完全负相关几乎不存在。当两种风险资产收益之间呈完全负相关，期望值随着wA的增加而增加，但标准差一开始随着wA的增加而逐渐减小，直到C处为0，然后又逐渐增加，由风险资产组合收益的期望值与标准差构成的机会集是一条折线 ACB，折点为 C，如图2-3（右）所示。将例2-9中ρAB=-1在不同投资比例下的各项数据连接起来的σp-μp线就是折线ACB。由于C的组合标准差σp=0，此时投资比例为wA=σB÷（σA+σB）或者wB=σA÷（σA+σB），为无风险的投资组合。因此，在完全负相关情况下，若投资比例满足wA=σB÷（σA+σB），则具有完全分散风险效应。可以看出，机会集上既存在有效集，也存在无效集。当σB÷（σA+σB）≤wA≤1，有效；当0≤wA＜σB÷（σA+σB），无效。当风险资产收益之间呈完全负相关，组合具有最大的风险分散效果，能够消除大部分非系统性风险。

（3）ρAB=0，两种风险资产收益之间呈完全不相关。此时，两项风险资产收益的变动方向和变动幅度完全相互独立，其期望值和标准差满足：

这种情况在现实生活中也较少见。当两种风险资产收益之间呈完全不相关，由风险资产组合收益的期望值与标准差构成的机会集是一条向左弯曲度中等的曲线AB，如图2-4（A和B）所示。将例2-9中ρAB =0在不同投资比例下的各项数据连接起来的σp -μp 线就是曲线AB。可以看出，机会集上大多是有效集，也存在少量无效集。当{L-End} ≤wA≤1，有效；当{L-End} ，无效。当风险资产收益之间完全不相关，组合具有一定风险分散效果，能够消除一定的非系统性风险。

（4）0＜ρAB＜1，两种风险资产收益之间呈不完全正相关。此时，两项风险资产收益的变动方向相同，但变动幅度和频率不同，其期望值和标准差满足：

在现实财务活动中，许多资产收益之间的相关系数通常为0.5—0.7。当两种风险资产收益之间呈不完全正相关，由风险资产组合的收益期望值与标准差构成的机会集是一条向左弯曲度较小（较ρAB =0）的曲线AB，如图2-4（A）所示。将例2-9中ρAB=0.8、ρAB=0.5、ρAB=0.2在不同投资比例下的各项数据连接起来的σp-μp线就是弯曲度较小的曲线AB。可以看出，相关系数越小，弯曲度越大，但要小于ρAB =0情况的弯曲度。值得一提的是，当ρAB=0.8时，弯曲度最小，这时有效边界与机会集重合。当ρAB=0.5、ρAB=0.2时，均能找到无效集。更具体、更普遍来说，当ρAB＜σB ÷σA，且{L-End} ≤wA≤1，风险资产组合有效；而当{L-End} ，风险资产组合无效。当σB ÷σA＜ρAB＜1，风险资产组合全部是有效的。

当风险资产收益之间不完全正相关，组合具有的风险分散效果小于ρAB=0情况，而且可以推断：ρAB越小，机会集曲线越弯曲，风险分散效果越大；反之亦然。

（5）-1＜ρAB＜0，两种风险资产收益之间呈不完全负相关。此时，两项风险资产收益的变动方向相反，但变动幅度和频率不同，其期望值和标准差满足：

这种情况在现实财务活动中也较常见。当两种风险资产收益之间呈不完全负相关，由风险资产组合的收益期望值与标准差构成的机会集是一条向左弯曲度较大（较ρAB=0）的曲线，如图2-4（B）所示。将例2-9中ρAB=-0.2、ρAB=-0.5和ρAB=-0.8在不同投资比例下的各项数据连接起来的σp-μp线就是弯曲度较大的曲线AB。可以看出，相关系数越大（绝对值越小），弯曲度越小，且无论如何要大于ρAB=0情况的弯曲度。无论哪种情况，机会集上既存在有效集，也存在较多的无效集。

当风险资产收益之间不完全负相关，组合具有的风险分散效果要大于ρAB=0情况，而且可以推断：ρAB越大，机会集曲线越弯曲，风险分散效果越大；反之亦然。

可见，相关系数与资产组合选择曲线弯曲度的关系是：相关系数越小，弯曲度越大。当ρAB=1，弯曲度最小，等于0，为直线；当0＜ρAB＜1，弯曲度逐渐加大；当ρAB=0，弯曲度趋于中等；当-1＜ρAB＜0，弯曲度进一步加大；当ρAB= -1，弯曲度最大，等于1，为折线。因此，要使资产组合的风险趋于最小化，除实行多样化投资外，还要挑选相关系数较低的风险资产。

2．投资比例对σp-μp的影响

从表2-5横栏（除“1”、“0.8”外的后面7行）可以看出，从左到右，随着风险较大的A资产投资比例的下降（风险较小的B资产投资比例的上升），风险资产组合的标准差也随之减小。具体表现为：当wA=1（wB=0），不是资产组合，而是风险较大的A资产，“组合”标准差最大，等于σA；随着风险较大的A资产投资比例的下降，风险资产组合标准差随之下降。当wA=0（wB=1），也不是资产组合，而是风险较小的B资产，“组合”标准差最小，等于σB。

下面仅以ρAB=0为例说明投资比例的影响，将图2-4放大，并将例2-9中ρAB=0时的11种资产组合绘制成图，如图2-5所示。

从图2-5可以看出，资产组合机会集曲线具有以下特征：

（1）揭示了风险分散效应。以虚线表示的直线代表ρAB=1的机会集，以虚线表示的折线代表ρAB=-1的机会集，以实线表示的曲线代表ρAB=0的机会集，在同一μp水平上，直线的σp最大，曲线的σp居中，折线的σp最小，更重要的是，直线的σp虽然比σA小，却比σB要大，曲线和折线的σp不仅小于σA，而且在许多情况下也小于σB，说明曲线特别是折线的风险分散效果最显著。

（2）指出了最小风险组合。曲线最左端的L点是最小方差组合，称为最小风险组合。图2-5中，最小风险组合是wA=0.3，即30%投资于A资产，70%投资于B资产。离开此点，无论是增加A资产还是B资产的投资，都会引起风险的增加。当然，机会集向左弯曲并不是资产组合中的必然现象，取决于相关系数的大小。在例2-9中，ρAB=0.8特别是ρAB=0.9就不会出现这种向左弯曲现象。

（3）表达了组合有效边界。所有投资机会限定在机会集曲线上，不可能出现在机会集曲线以外的任意区域，改变投资比例只会改变资产组合在机会集曲线上的位置。例2-9中，机会集曲线上的三个组合（wA=0.2、wA=0.1、wA=0）是无效的，即最小风险组合以下的部分线段是无效集。它们与最小风险组合相比，不仅风险大，而且报酬低。机会集曲线上的八个组合（wA=0.3、wA=0.4、wA=0.5、wA=0.6、wA=0.7、wA=0.8、wA=0.9、wA=1）是有效的，即最小风险组合及其以上的部分线段是有效集，从最小风险组合点起，到最大期望收益组合点止。但是，在机会集上，找不到风险最小且收益最大的组合。

（四）多项风险资产组合的“σp-μp”投资机会面

以上讲述的是两项风险资产组合的风险分散原理对多项风险资产组合同样适用。

1．多项风险资产组合的计量指标

（1）收益期望值。多项风险资产组合的收益期望值是组合中各项风险资产的收益期望值以其投资比例为权数的加权算术平均数，其计算式为：

式中：E（Rp）为多项风险资产组合的期望收益率；wj为第j项风险资产在组合中的投资比例；E（Rj）为第j项风险资产的期望收益率；Rji为第j项风险资产在第i种情况下的收益率；Pi为第i种情况的概率；m为资产组合中的资产数；n为所有可能出现的情况。

（2）收益标准差。多项风险资产组合的收益期望值等于组合中各项风险资产的收益期望值的加权算术平均数，但多项风险资产组合的收益标准差并不一定等于各项风险资产的收益标准差的加权算术平均数，不能简单使用下式：

式中：σp为多项风险资产组合的标准差；σj为第j项风险资产的标准差。

更不能使用此式：{L-End} {L-End}

式中：{L-End} 为多项风险资产组合的方差；{L-End} 为第j项风险资产的方差。

严格讲，多项风险资产组合的标准差可能等于各项风险资产标准差的加权平均数，也可能等于零，但绝大多数介于这两者之间。这是因为，多种风险资产组合的标准差不仅取决于各项风险资产的方差，更重要的是取决于各项风险资产之间的协方差。随着风险资产种类的增加，方差的作用越来越小，协方差的作用越来越大。多项风险资产组合的收益标准差计算式为：

式中：D（Rp）为多项资产组合的方差；σjk为第j项资产与第k项资产之间的协方差。

由于σjk=ρjk×σj×σk，则：

令矢量W=（W1, W2, …, Wm），矩阵{L-End}

则：

2．多项风险资产组合的风险分散效应

由m项风险资产构成的组合的方差，包括m个各项风险资产本身的方差和（m2 -m）个各项风险资产之间的协方差。假定各风险资产所占的投资比例均为1/m，方差均为{L-End} ，协方差均为σjk，相关系数均为ρjk，则多种风险资产组合的标准差简化为：

决定多种风险资产组合的标准差除各项风险资产自身标准差外，更重要的是各项风险资产之间的协方差。当风险资产数量增加到一定程度，多种风险资产组合的标准差仅受各项风险资产之间的协方差的影响，各项风险资产本身的方差就会完全分散掉。可见，风险资产组合不能分散全部风险，只能部分地分散非系统性风险（有时能全部分散），对全部系统性风险无能为力。

3．多项风险资产组合“σp-μp”投资机会面的理性选择

上述两项风险资产组合的选择原理对多种风险资产组合的选择同样适用。不过，多种风险资产组合的机会集不同于两种风险资产组合的机会集，两种风险资产构成的所有可能组合位于一条线上，如图2-5所示；而多种风险资产构成的所有可能组合落在一个面上，如图2-6所示。

若将市场所有的资产都画在“σ-μ”面上，如图2-6所示，其中非劣风险资产组合形成区域的左上边界 LH，称为有效前沿（efficient fron-tier）。在均衡市场中，任何两种风险资产之间不可能呈负相关，所以，所有风险资产组合不可能出现无风险的情况，L点不会落在μ轴上。

L点位于机会集的最左端，是最小风险组合；H点位于机会集的最上端，是最大收益组合。所以，LH线从最小风险组合点起，到最大期望收益组合点止，称为有效机会集或有效边界。与有效边界的组合相比，有效边界外的组合，要么收益相同风险较高，要么风险相同收益较低，要么收益较低且风险较高，称为无效集。投资者应当在有效边界上构建投资组合，不能在无效集上空耗时间，需要通过改变资产组合比例，转换到有效集上去，以增加收益而不增加风险，或减少风险而不减少收益，或增加收益且减少风险。因此，有效机会集曲线反映了不同投资比例组合的风险与收益的权衡关系。

与单项资产投资决策一样，投资者也是以最大效用为目标，其最优决策是非劣投资组合中的一个。若σ-μ无差异曲线族是陡峭的，则最优决策应当接近H；若σ-μ无差异曲线族是平坦的，最优决策应当接近L。一般来说，任何最优决策都在弧线LH上。严格来讲，投资者无差异曲线与有效前沿的切点，就是最优投资组合。

（五）持有无风险资产混杂组合的“σp-μp”投资机会线

以上假定有效资产组合全部由风险资产构成。事实上，投资者除持有风险资产外，也可以持有无风险资产，即能够在资本市场上从事无风险借贷，将无风险资产与原有的风险资产组合构成一个二次性混杂组合。

1．持有无风险资产的混杂组合形成的资本市场线

假定无风险资产的收益率为Rf，因其没有风险，在“σ-μ”面上，分布在μ轴上，坐标为（0, Rf）。若投资者持有无风险资产的数量为正，则表示他是资本市场的贷出者；若投资者持有无风险资产的数量为负，则表示他是资本市场的借入者。

从无风险利率Rf出发，经过坐标（0, Rf）做全部风险资产构成的投资组合的有效前沿的切线 RfMN，切点是 M，坐标为（σM, μM），如图2-7所示。在市场均衡条件下，M点就像一个高度浓缩的市场，反映了所有风险资产构成市场的基本特征，所以，人们将M点对应的投资组合称为市场组合，它包含所有市场上存在的风险资产，且各风险资产所占的比例与该风险资产市值所占的比例相同，也称风险资产组合。

从图2-7可以看出，射线RfMN由“两点两线段”组成。“两点”为：投资者按照Rf贷出其所有自有资本，即Rf点；投资者将其全部自有资本投资于市场组合M上，即M点。“两线段”为：投资者按照Rf贷出其部分自有资本，将余下自有资本投资于市场组合M上，构成RfM线段，该线段任意一点称为“贷出组合”；投资者按照Rf借入一定数量资本连同其全部自有资本投资于市场组合M上，构成MN线段，该线段上任意一点称为“借入组合”。该射线称为资本市场线（capital market line, CML）。

2．资本市场线的基本特征

（1）在存在无风险资产的情况下，投资者可以在资本市场上借入资本，纳入其资本总额，或者将其多余的自有资本贷出。无论贷出还是借入，无风险资产收益率不变，其标准差等于0。

（2）在存在无风险资产情况下，风险厌恶者可以将自有资本部分或全部贷出，投资于无风险资产，风险减小了，但同时收益降低了；风险偏好者可以借入资本，增加对风险资产的投资，收益提高了，但同时风险上升了。

由无风险资产和市场组合构成的混杂组合的期望值为：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf

式中：μp为混杂组合的收益期望值，RM为市场组合M的平均收益，Q为投资于市场组合M（风险资产）的比例，1-Q为投资于无风险资产的比例。

若为贷出组合，则Q＜1；若为借入组合，则Q＞1。

由无风险资产和市场组合构成的混杂组合的标准差为：

σp=Q×σM

若为贷出组合，Q＜1，则投资者承担风险小于市场平均风险；若为借入组合，Q＞1，则投资者承担风险大于市场平均风险。

【例2-10】 某人考虑同时投资于股票（风险资产）和国库券（无风险资产），股票期望收益率为15%，标准差为20%；国库券收益为8%，标准差为0。假定投资者可以按照无风险利率自由贷出或借入资本。

若投资者将自有资本的60%投资于股票，40%投资于国库券，即Q=0.6，则总体期望值和标准差分别为：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=0.6×15% +（1-0.6）× 8% =12.2%

σp=Q×σM=0.6×20% =12%

若投资者借入资本，借入金额占自有资本的30%，连同自有资本全部投资于股票，即Q=1.3，则总体期望值和标准差分别为：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=1.3×15% +（1-1.3）× 8% =17.1%

σp=Q×σM=1.3×20% =26%

（3）切点M是市场均衡点，代表唯一最有效的资产组合，即市场组合或风险组合。在M点左侧，投资者可以同时持有无风险资产和市场组合；而在M点右侧，投资者仅能持有市场组合，并能借入一定资本进一步投资于市场组合。虽然理智的投资者可能会选择有效边界LMH上的任何组合，但若是风险厌恶者，不需要借入资本，还可以贷出资本，同时持有无风险资产和市场组合，从而会选择RfM线上的组合；但若是风险偏好者，需要借入资本，准备全部持有市场组合（风险资产），从而会选择MN线上的组合。与LM上的组合相比，RfM上的组合，收益相同但风险较小；或风险相同但收益较高；或收益较高且风险较小。与MH上的组合相比，MN上的组合，收益相同但风险较小；或风险相同但收益较高；或收益较高且风险较小。

（4）资本市场线描述的是投资者持有不同比例的无风险资产与市场组合下的收益与风险的权衡关系，其截距表示无风险利率，可视为时间价值（等待的回报）；其斜率代表风险溢价（额外的回报），即风险的市场价格。因此，射线的斜率可以表示为：

投资者的期望收益率等于无风险利率加上风险报酬率，而风险报酬率是风险与风险价格乘积，风险用标准差表示，风险价格用射线斜率表示，则：

这是资本市场线的函数表达式，表明了σp-μp存在线性关系。

【例2-11】 假定无风险利率为7%，混合资产组合标准差为0.4，市场组合的预期收益率和标准差分别为15%和0.2，则该混合资产组合的必要收益率为多少？

解

从图2-7可以看出，CML实质是允许借贷条件下的有效资产组合线，规定了由无风险资产和市场组合构成的混杂组合的有效边界，反映了有效资产组合的风险与收益的权衡关系。

（5）投资者的风险态度仅影响借贷及其资本数量，不会影响最佳市场组合。原因是具有不同风险偏好的投资者，在存在无风险资产的情况下，能够以无风险利率自由地借贷，都会不约而同地选择风险组合。

（六）σ-μ理论的评价

有效边界上最靠上的无差异曲线上的资产组合是投资者认为的所有资产组合中的最满意组合，即无差异曲线族与有效边界相切的点对应的组合。

在投资者仅关心期望值和标准差的前提下，马柯维茨理论是科学、准确的。不足之处是计算量太大，尤其是在规模庞大的市场中。

1．巨大贡献

马柯维茨理论对现代投资理论的贡献有：

（1）传统上，将预期收益最大化作为投资目标，不符合多样化投资的目标，投资分散化与均值—离差目标函数一致；

（2）均值—离差目标函数的提出，解决了理论上以期望收益最大化作为投资目标与实际上的投资多元化目标相矛盾的问题；

（3）均值—离差目标函数与具有二次效用函数的投资者追求预期效用最大化的目标一致；

（4）单一证券的风险取决于它与其他证券的相关性，这是对投资组合理论的重大贡献；

（5）理性的投资者在有效集上选择投资组合，在给定风险水平上选择收益率期望值最大化集；或者在给定收益水平上选择收益率标准差最大化集。

2．应用局限性

（1）计算工作量太大。

（2）排除了消费对投资的影响，假定期初投资额是一个固定值。它虽然对单期投资的影响不大，但不适用于多期动态投资。

（3）以标准差（方差）作为风险度量，仅适用于对称分布的资产收益，有失一般性。

（4）均值—离差不能确定具体投资者的最优组合，需要考虑投资者的风险偏好。