2.3　归类结果分类

归类结果不一定满足归类公理和类表示公理。根据对归类公理的遵守情况，可将归类结果分类。

一致归类结果（consistent categorization result）：如果一个归类结果满足归类公理和类表示公理，则该归类结果是一致的，否则该归类结果称为不一致的归类结果。

一般情况下，归类等价公理总是满足的。因此，在忽略归类等价公理的情形下，归类结果可以进行如下分类。

正则归类结果（proper categorization result）：如果一个归类结果满足样本可分性公理和类可分性公理，则该归类结果是正则的。

在现实生活中也有这样的例子。如各级行政区划关系。具体说来，北京市有区和自然村或者街道办事处等行政划分。北京市下设16个区，显然，每个区也至少管辖一个自然村或者街道办事处，每个自然村或者街道办事处也只属于一个北京市的一个区。如果将每个自然村或者街道办事处视为一个样例，每个区视为一个类，这样的行政划分符合样本可分公理和类可分公理，是一个正则归类结果。

重叠归类结果（overlapping categorization result）：如果一个归类结果满足类可分性公理但不满足样本可分性公理，则该归类结果是重叠归类结果。如图2.2所示。类A和类B有重合，其重合部分的元素既属于A类又属于B类，并不唯一地属于一个类，因此，违反了类可分性公理，类A和类B组成了一个重叠归类结果。

非正则归类结果（improper categorization result）：如果一个归类结果不满足类可分性公理，则该归类结果是非正则归类结果。

正则归类结果在实际机器学习中很常见，重叠归类结果有时在实际应用中也有用。然而，一个好的归类结果不会是非正则归类结果。一个非正则归类结果意味着至少存在一个空类。当给定数据有好的分类时，一个归类方法不希望生成非正则归类结果。两种特殊的非正则归类结果定义如下：

重合归类结果（coincident categorization result）：对，如果，则该归类结果是重合归类结果。

完全重合归类结果（totally coincident categorization result）：对，如果，则该归类结果是完全重合归类结果。

类似地，根据归类等价性公理，划分矩阵可分为下面几类：

正则划分（proper partition）：U=［uik］c×N是正则划分，如果∀k∃i∀j（（j≠i）→（uik> ujk））且∀i∃k∀j（（j≠i）→（uik> ujk））。

重叠划分（overlapping partition）：U=［uik］c×N是重叠划分，如果∃k∃j（（j≠i）∧（uik=ujk=maxlulk））且∀i∃k∀j（（j≠i）→（uik> ujk））。

非正则划分（improper partition）：U=［uik］c×N是非正则划分，如果∃i∀k∃j（（j≠i）∧（uik≤ujk））。

非正则划分包括几种特殊情形：

覆盖（covering partition）：U=［uik］c×N满足∃i∃j（i≠j）∀k（uik≤ujk），U=［uik］c×N称作覆盖。

重合划分（coincident partition）：U=［uik］c×N满足∃i∃j（i≠j）∀k（uik=ujk），U=［uik］c×N称作重合划分。

无信息划分（uninformative partition）：Uπ=［π1，π2，…，πc］T⊗ 11×N称作无信息划分，其中⊗表示Kronecker乘积，1表示全1向量。

绝对无信息划分（absolute uninformative partition）：Uc-1=［c-1］c×N称作绝对无信息划分。

当一个归类结果不是正则的，理论上有一些对象属于两个或更多的类。即，一些对象处于一些类的边界。基于这个事实，下面给出边界集的定义。

边界集（boundary set）：如果N个对象的归类结果为，该结果的边界集定义为：

其中，|Y|表示Y的基。

边界集也可以用相异性映射定义。边界集非空时，归类结果不满足样本可分性公理。