以上为本模块重要考点概括，建议考生每完成一个考点的学习后，回到本页，将已经掌握的考点打上“√”以快速查找自身不足，进行针对性练习。

（注：★★★表示高频考点，★★表示中频考点，★表示低频考点）

第一步——读大纲

数量关系模块考查的内容包括数字推理和数学运算两部分。数字推理的核心考点包括数列的基础知识、常见的数列类型及其解法，以及基础数学的速算技巧等，常考的数列主要包括多级数列、递推数列、幂次数列、分数数列、多重数列等。数学运算的核心考点包括数学基础知识、计算能力、常用技巧和各类题型常见的解题思路等，常考的题型主要包括初等数学问题、行程问题、比例问题、几何问题、计数问题等。

数量关系模块总体来说计算量不算太大，但需要考生在短时间内整理出思路，并利用计算技巧快速得出正确答案。这就要求考生在平时的复习中要打好扎实的基础，培养自己对数字和各题型的敏感度，熟悉常用的速算技巧，从而在考场上能够迅速确定答题思路，准确、快速地得出正确答案。

第二步——知考情

从上表可以得到如下信息：（1）近三年深圳市公务员考试数量关系模块题量保持稳定，每年考查5道数字推理和10道数学运算。（2）题型考查比较广泛，同时某些重点题型几乎每年必考，如多级数列、递推数列、初等数学问题、行程问题、比例问题、几何问题等，这需要考生在备考过程中重点把握这些题型的基础知识以及解题思路和技巧。（3）除去上述重点题型之外，其他题型（如图形数列、计数问题、牛吃草问题、溶液问题等）的考查往往难度不高，多数可以直接应用相应的公式解答，考生在备考的过程中要了解相关题型的基础知识，对每个考点都复习到位。

第三步——学备考

首先，正确认识数量关系。大部分考生对数量关系的看法有两种误区，一种是认为深圳市公务员考试的数量关系试题难度高，无法在有限的时间内提高成绩，所以干脆放弃，从而丢弃了不少本可以得到的分数；另一种是认为数量关系试题的范围限于小学数学，最多不过初中数学，自己学历很高，所以不需要复习，结果一到临场考试，发现找不到解题思路，自乱阵脚。实际上，数量关系对数学理论知识的要求确实不高，但要求考生有较高的思维水平，考生只有弄清楚数量关系到底考什么、什么是这个部分的重点和难点，再经过有针对性地训练，才可能取得不错的成绩，从而从众多考生中脱颖而出。

其次，以教材为复习基础。许多考生在备考中存在着“题海战术”的错误倾向，殊不知，若单纯为了做题而做题，那么做再多题恐怕也是收效甚微。本教材对数量关系的常考题型和高频考点进行了梳理和精讲，建议考生认真读一遍教材再开始做题，在做题中体会教材中所讲的思路和技巧。

最后，开拓思路，在解题中发现和积累速解技巧。数量关系试题的解法不是唯一的，只要能选出正确答案的都是好方法，考生不应拘泥于列方程、解方程，而应在适量练习的基础上寻求新的思路，领会教材中所讲解题技巧的精髓与本质，进而在考场上熟练自如地加以运用。

第一章 数学运算

第一节 行程问题

行程问题，是文字应用题中的典型问题，题目的条件多变，问题设置灵活，行程问题重在对题目的分析。基本行程问题、相遇追及问题、流水行船问题是基础题型，可以利用总结的经验公式解题，只要学会分析，也不是很难。而间歇变速运动问题，涉及速度的变动与行进中的停歇，往往情况复杂，是行程问题的难点题型，需要细致地分析。

考点直击

基本行程 命中考题的根本

行程问题核心公式：路程=速度×时间。

由此公式进一步可得：

路程的比例=速度的比例×时间的比例。

等距离平均速度公式：v1与v2所经历的路

程相同，则平均速度v-=

火车过桥公式：桥长+车长=火车速度×过桥时间。

从行程问题基本公式出发，针对路程、速度、时间三个量，先看题目待求量，然后返回题目中寻找其余两个量，根据基本公式列方程，是解决基本行程问题、相遇追及问题和流水行船问题的常规方法。对于较复杂的行程题目，也可以借助画图来寻找相应的等量关系。

考点直击

相遇追及 命中考题的根本

相遇追及问题公式：相遇距离=（速度1+速度2）×相遇时间；

追及距离=（速度1-速度2）×追及时间。

对于两人从两地相向出发相遇后到达另一地再返回相遇的问题（必须是两者都到达另一地返回），如果用S1、S2表示两次相遇地点分别距离某起点的距离，S表示两地间的距离，则第一次相遇两人分别走过S1, S-S1，第二次相遇两人分别走过S+（S-S2）, S+S2，根据速度之比等于路程之比，

S1∶（S-S1）=（2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：S=

同理可得下面的公式：

两边型公式：S=3S1-S2（S1、S2指的是两次相遇地点分别距离两个起点的距离，S表示两地间的距离）。

考点直击

间歇变速 命中考题的根本

对于行进中出现速度变化的问题，根据运动物体的运动轨迹寻找相应的等量关系，一般考虑找关于时间的等量关系。而对于在行进中出现休息时间的问题，可以将行进和休息的时间看成一个整体来考虑平均速度，但是在追及前后要具体分析。

考点直击

流水行船 命中考题的根本

流水行船与扶梯上下本质上是一类题目，只不过扶梯上下型题目中电梯的总级数即为总路程；每人每秒走过的电梯级数即为速度。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2016）甲、乙两辆车分别从P、Q两地同时出发，相向而行。相遇时，甲车比乙车多行驶36千米，乙车所行驶路程为甲车所行驶路程的，则P、Q两地相距（ ）千米。

A.72

B.96

C.112

D.132

名师解析 设甲行驶了a千米，乙行驶了b千米，那么=, a-b=36，解得：a=84, b=48，所以P、Q两地相距为a+b=132（千米），选择D。另外，还有一种简便算法，甲、乙行程路程之比，即甲∶乙=7∶4，总路程是11的倍数，只在D项符合。

2.（深圳2014）甲、乙二人从同一地点同时出发，绕西湖匀速背向而行，35分钟后甲、乙二人相遇。已知甲绕西湖一圈需要60分钟，则乙绕西湖一圈需要（ ）分钟。

名师解析 方法一：甲、乙两人相遇时各走了35分钟，而甲走完全程需要60分钟，则甲再走25分钟即可回到起点。而这段甲用25分钟的路程乙用了35分钟，设乙绕湖一周所需时间为T分钟，那么根据此比例，解得T=84，即甲走60分钟的路程乙要走84分钟。

A.25

B.70

C.80

D.84

方法二：赋值甲的速度为1米/分钟，则西湖一圈共60米，甲、乙两人共同走完需要35分钟，即V甲+V乙=，则，所以乙环湖一周需要60 ÷ =84（分钟）。因此选D。

3.（深圳2014）小王、小李、小张三人决定各自开车自驾游从S市出发前往L市。小张最先出发，若小李比小张晚出发10分钟，则小李出发后40分钟追上小张；若小王又比小李晚出发20分钟，则小王出发后1小时30分钟追上小张；假设S市与L市相距足够远，且三人均匀速行驶，则小王出发后（　）小时追上小李。

A.1

B.2

C.3

D.5

名师解析 根据追及公式，40×（V李-V张）=10×V张；90×（V王-V张）=30×V张。可解得：15V王=16V李。赋值V李=15, V王=16，设小王出发后T分钟追上小李，则T×（V王-V李）=20×V李，代入有T×（16-15）=20×15，则T=300分钟=5小时。因此选D。

第二节 比例问题

比例问题，是一类涉及比例关系的文字应用题的合称，比如工程问题的效率，溶液问题的浓度，牛吃草问题中牛吃草效率与长草效率之比，钟表问题中时间与角度的比例等。工程问题是比例问题中的重点题型，溶液问题、牛吃草问题时有考查，而钟表问题考查较少。

考点直击

工程问题 命中考题的根本

工程问题公式：工程量=效率×时间。

由此可得推论：

当时间相同时，工程量之比等于效率之比。

工程问题一般采用赋值法或根据基本公式设未知数寻找等量关系列方程。若题目当中给出时间信息，则赋工作总量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干扰、撤出、交替等）。为了便于计算，总量赋成时间的公倍数。如果题目中出现效率的比例或倍数关系，一般可以考虑将效率赋成具体数值，然后根据公式直接进行求解或者找等量关系列方程。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2012）工程队计划150天完成建筑，现计划30天后新增设备，提高20%工作效率，可以提前几天完成？（ ）

A.20

B.25

C.30

D.45

名师解析 由题意可知，整个工程原计划150天完成，则30天后剩下工程为120天的工作量，工作效率提高20%后，则所剩工程只需100天就能完成，则此工程完成总共用时130天，可提前20天，故正确答案为A。

2.（深圳2012）如果甲、乙、丙三个水管同时向一个空水池灌水，1小时可以灌满。甲、乙两个水管一起灌水，1小时20分钟灌满。丙单独灌满这一池的水需要（ ）小时。

A.3

B.4

C.5

D.6

名师解析 根据题意可设整池水总量为1，甲、乙、丙三个水管的进水速度分别为x、y、z，则可根据题意列方程组为：

,解得z=,则丙单独灌满整池水需要4小时，答案为B。

考点直击

溶液问题 命中考题的根本

溶液问题公式：

浓度=溶质÷溶液，溶液=溶质+溶剂。

两溶液混合，质量分别为 M1、M2，浓度分别为c1、c2，混合后溶液浓度为c，则有公式：M1c1+M2c2=（M1+M2）c。如果已知混合前和混合后的浓度，还可以求出混合的溶液之比：

对于挥发和稀释的溶液问题，抓住过程中的规律，如按比例变化或者溶质不变，以此为突破口解题，在只涉及比例关系的题目中可以适当给溶质或溶剂赋值。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2013）化学实验中，需要使用现有不同浓度的A、B两种氯化钠溶液配置新的浓度为15%的氯化钠溶液。已知A溶液的浓度是B溶液的5倍，且若将50克A溶液与250克B溶液混合即能完成配置，那么A溶液的浓度是（ ）。

A.45%

B.40%

C.35%

D.30%

名师解析 设A溶液的浓度为x，则有50x+250×=300×15%，解得x=45%。故选A。

2.一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？（ ）

A.14%

B.17%

C.16%

D.15%

名师解析 运用等溶质增减溶剂问题核心公式，则,解得r3=15。故选D。

技巧突破 由于单位都是“%”，所以在计算的过程当中，可以带单位计算，也可以去单位计算，结果是一样的。

3.在一杯清水中放入10克盐，然后再加入浓度为5%的盐水200克，这时配成了浓度为2.5%的盐水，问原来杯中有清水多少克？（ ）

A.460克

B.490克

C.570克

D.590克

名师解析 设杯中原有清水质量为x克，根据题意列方程：

×100%=2.5%，解得x=590。故选D。

第三节 几何问题

考点直击

命中考题的根本

几何问题的考查侧重对图形想象能力、特殊位置分析能力、几何基础知识运用能力方面的考查。几何问题主要包括计算常见几何量和应用几何性质两类。

（一）常见几何量

（二）常用几何性质

在几何问题中，还会考查较多的几何性质，常见的几何性质有如下几种：

1．等量最值原理

周长相同的平面几何图形，越接近于圆，面积越大；面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长越小。

表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大；体积相同的立体几何图形，越接近于球，表面积越小。

2．成比例放缩性质

若一个几何图形尺度变为原来的N倍（或N分之一），则边长（或棱长）变为原来的N倍（或N分之一），面积变为原来的N2倍（或N2分之一），体积变为原来的N3倍（或N3分之一）。

注：上面的N不一定要为整数，只要是正数就满足。例如尺度变为原来的一半，则面积变为原来的四分之一。

3．三角形性质

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形内角和为180°。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2016）有一周长为100米的长方形花园，在花园外围沿花园建一条等宽的环路，路的面积为600平方米，则路的宽度为（ ）米。

A.3或4

B.5

C.8

D.10或15

名师解析 设长方形花园长为x米，宽为y米，小路宽为a米，那么x+y=50; （x+2a）（y+2a）-xy=600，得出a=5，所以本题选择B。此题还可以采取排除法来解答。设长方形花园的长为a米，宽为b米，路的宽度为x米，可得2（a+b）=100, （a+2 x）（b+2 x）-ab=600，推出100 x+4 x 2=600，因为x>0，很容易排除C、D，再采用代入法，很容易得出B选项。

2.（深圳2015）一辆卡车车厢底面为4.8平方米，运送一种长方体包装箱，包装箱的棱长分别为0.5米、0.4米、0.3米。如果放三层，这辆卡车最多可装（ ）个包装箱。

A.100

B.120

C.150

D.200

名师解析 几何问题。要使卡车装的包装箱最多，需使包装箱的最小面接触车厢底面。根据题意，每层最多可放包装箱4.8÷（0.4×0.3）=40（个），则三层最多可放120个包装箱。故本题答案为B。

3.（深圳2014）一个长方体形状的玻璃鱼缸，从鱼缸的内侧量，它的2个相邻的侧面及底面的面积分别为5、6、7.5平方分米，则这个玻璃鱼缸最多可以装（ ）立方分米的水。

A.12

B.15

C.16

D.18

名师解析 设长方体的三条边分别为a、b、c，根据题意可得，ab=5, ac=6, bc=7.5, （abc）2=5×6×7.5=225, abc=15，因此选B。

4.（深圳2013）如下图所示，正方形ABCD的边长是14厘米，其中，BE=CE=7厘米。如果点P以每秒2厘米的速度沿着边线CD从点C出发到点D，那么三角形AEP的面积将以每秒（ ）平方厘米的速度增加。

A.7

B.8

C.9

D.10

名师解析 本题可转化为一个数列问题看待。三角形AEC面积等量增长，7秒钟后变为三角形AED。三角形AEC的面积=×7×14=49，三角形AED的面积=×14×14=98。把三角形AEC的面积看作数列首项，把三角形AED的面积看作数列末项，则它们的公差==7。即三角形AEP的面积以每秒7平方米的速度增加。故本题选A。

第四节 计数问题

计数问题包括容斥原理、排列组合、概率问题、抽屉原理及计数模型等诸多题型，从历年公考试题看来，计数问题还是有一定难度的。应对计数问题，考生的思维不但要有逻辑，还应缜密。

考生在备考中首先应该对计数问题的常规题型和常用方法十分熟悉，特别是排列组合、容斥原理、抽屉原理三块及其解题技巧，然后积累和理解计数问题与其他类型问题的综合考查以及不同计数问题相互综合的情形，此外对比赛计数、方阵计数、剪绳计数等各种题型的公式及易错点也要十分熟悉。

考点直击

容斥原理 命中考题的根本

容斥原理主要用于有重叠部分的计数，其计数思想是先不考虑重叠的情况，将所有集合的所有对象数目计算出来，再逐步排除重叠的情况。

三集合容斥原理公式：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

两集合容斥原理公式：

A∪B=A+B-A∩B

对两集合的容斥原理，由公式还可以得出下述很好用的推论公式：

满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数。

真题实例

以真题验证考点

1.88名学生参加运动会，参加游泳比赛的有23人，参加田径比赛的有33人，参加球类比赛的有54人，既参加游泳比赛又参加田径比赛的有5人，既参加田径比赛又参加球类比赛的有16人。已知每名学生最多可参加两项比赛，问只参加田径比赛的有多少人？（ ）

A.20

B.17

C.15

D.12

名师解析 每名学生最多可参加两项比赛，所以参加田径比赛的人总共有三种情况，（1）只参加田径比赛；（2）参加田径比赛和游泳比赛；（3）参加田径比赛和球类比赛。所以只参加田径比赛的人数为33-（5+16）=12（人）。故选D。

2.某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人？（ ）

A.1

B.3

C.5

D.7

名师解析 设三种颜色都不喜欢的有x人，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，则喜欢两种颜色的仍有19-3=16（人），则有：40=20+20+15-16-2×3+x，解得x=7。故选D。

真题实例

排列组合问题 命中考题的根本

一般而言，当对象与顺序有关时多用排列，与顺序无关时多用组合。

分类是指完成一件事，需要根据某个依据划分为几个类别，各类别内的方法可以独立地完成这件事，从而实际的方法数为各类别的方法数直接相加。（即分类用加法原理）

分步是指完成一件事，需要划分为多个步骤依次完成，每个步骤内的方法只能保证完成该步，从而实际的方法数为各步骤的方法数直接相乘。（即分步用乘法原理）

此外，对于排列组合问题，还需要掌握如下公式：

排列公式

组合公式

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2011上）奶奶有6颗口味各不相同的糖，现分给3个孙子，其中1人得1颗，1人得2颗，1人得3颗，则共有（ ）种分法。

A.60

B.120

C.240

D.360

名师解析 共有。故选D。

2.（国考2011）甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？（ ）

A.67

B.63

C.53

D.51

名师解析 由“要求女职员比重不得低于一半”可知，选拔可分为三种情况：（1）2男2女，这种情况下需先从4个女职员中选两个，再从4个男职员中选两个，最后减去4个职员都从一个科室中选出的2种情形，即; （2）1男3女; （3）0男4女，这种情况下只有1种选法。故34+16+1=51（种）, D项正确。

考点直击

概率问题 命中考题的根本

概率问题通常为直接求解某个事件的概率。为此，需要掌握如下四点：

（1）单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数。

（2）某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率。

（3）总体概率=满足条件的各种情况概率之和。

（4）总体概率=满足条件的每个步骤概率之积。

真题实例

以真题验证考点

1.田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话。假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定顺序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是（ ）。

A.

B.

C.

D.

名师解析 田忌随机将自己的三匹马排阵时，共有种排法，而获得两场胜利的情况只有一种，即用自己的下等马对齐威王的上等马，用自己的上等马对齐威王的中等马，用自己的中等马对齐威王的下等马，所以能够获得两场胜利的概率是。故选C。

2.一个袋子里放有10个小球（其中4个白球，6个黑球），无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是（ ）。

A.

B.

C.

D.

名师解析 第一次取到白球，第二次取到白球的几率为；第一次取到黑球，第二次取到白球的几率为。因此第二次取到白球的总概率为，故选D。

3. 将一个硬币掷三次，恰好有一次正面朝上且有两次反面朝上的概率是多少？（ ）

A.

B.

C.

D.

名师解析 掷三次硬币的所有可能性为（正、正、正）、（正、正、反）、（正、反、正）、（正、反、反）、（反、正、正）、（反、正、反）、（反、反、正）、（反、反、反），共8种。其中“恰好有一次正面朝上且有两次反面朝上”的情况有3种，故题目所求概率应该是。故选D。

考点直击

抽屉原理 命中考题的根本

抽屉原理问题在公务员考试中题型相对比较固定。这类问题的难点在于物品都是放在口袋内，考生不能非常清晰地运用最不利原则，也即不能熟练地构造最不利的情况。这类题目往往容易得出一种满足目标的特殊情况。

抽屉原理题目表述多为“黑色布袋中有……（具体物品），至少要取出多少个，才可以保证……（满足目标）”。

解决方案为反向构造。即假设所有物品并非放在布袋中，而是在自己手中，然后逐一发出，在发出的过程中尽可能不要满足题目的目标，直到满足目标为止。那么在尽量不满足题目要求情况下发出的最多数目就是题目的答案。

真题实例

以真题验证考点

1.（国考2012）有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？（ ）

A.71

B.119

C.258

D.277

名师解析 抽屉原理，取极端情况，每一类都有尽可能多的不到70的人数考上，则前三类各69人，人力资源管理类50人，此时，再多一人，必然有一类达到70人，因此所求人数为69×3+50+1=258（人）。故本题选C。

2.一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌的大小相同？（ ）

A.39

B.40

C.41

D.42

要“保证有4张牌的大小相同”，最不利的情况就是“每种大小的牌都只有3张”。将扑克的A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K这13种大小的牌各取3张，合计共13×3=39（张）。因此，抽40张牌就能保证有4张牌的大小相同。故本题选B。注意，本题没有涉及大小王，故不考虑。

名师解析 计数模型 命中考题的根本

考点直击

1．比赛计数

比赛计数主要涉及两种比赛类型，一是淘汰赛，也即每场比赛淘汰一个参赛者；二是循环赛，也即每两个参赛者之间都要进行一场比赛。考生需要熟记下述比赛计数公式（假定参赛者数为n）。

淘汰赛：决出冠军或冠、亚军，比赛场次=n-1；决出1,2,3,4名，比赛场次=n。

循环赛：单循环，比赛场次=；双循环，比赛场次=。

2．植树问题

单边线性植树：棵数=总长÷间隔+1，总长=（棵数-1）×间隔；

单边环形植树：棵数=总长÷间隔，总长=棵数×间隔；

单边楼间植树：棵数=总长÷间隔-1，总长=（棵数+1）×间隔。

双边植树：只需要把单边植树的数目乘2即可。

3．剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1。

一根绳子连续对折n次，从中剪m刀，则绳子被剪成（2n×m+1）段。

4．倍增计数

如果一个量每次变为原来的n倍，则经过m次后，数目为原来的nm倍。

5．方阵计数

N排N列的方阵人数为N2人，最外层人数为4（N-1），最外两层的人数和为8（N-2）。

方阵人数=（最外层人数÷4+1）2。

6．过河问题

每次过河都需要有一个人将船划回来，而最后一次过河则不需要再划回来。

n个人过河，船最多载m个人，则过河次数为。

过河时间指单程时间，往返时间指来回双程时间。

7．空瓶换水问题

若m个空瓶可以换一瓶水，则相当于（m-1）个空瓶就可以喝到1瓶水。

真题实例

以真题验证考点

1.要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？（ ）

A.7

B.8

C.10

D.11

名师解析 由“所栽棵数要依据面积大小各不相同”，要使面积最大的草坪上栽的桃树尽量少，则其他草坪的桃树应尽量多，这样面积第二大的草坪桃树应之比面积最大的草坪少1棵桃树，其他3块草坪依次少1棵桃树。当面积最小的草坪为2棵桃树时，2+3+4+5+6=20（棵），此时总数最接近21。那么剩下的1棵桃树只能栽在面积最大的草坪上，于是面积最大的草坪上至少要栽7棵树。故本题应选A。

2.9个队在9个场地进行循环赛，平均每个球场举行几场？（ ）

A.7

B.6

C.5

D.4

名师解析 比赛为循环赛，因此9个队共进行比赛=36（场），因此平均每个场地举行比赛场次为36÷9=4（场）。故选D。

第五节 最值问题

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一。抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形上加1即可推出答案；构造设定问题需要分类考虑；反向构造则需要从问题的反面来解决。

考点直击

抽屉原理 命中考题的根本

核心原理：n+1个信封放入n个抽屉，至少有1个抽屉内有多于1个信封。

从装有n种球的口袋中，至少要摸出（m-1）n+1个球才能保证有m个球是同一种球（假设每种球足够多）。

从装有n种球的口袋中，最多摸出（m-1）n个球使得任意m个球不是同一种球（假设每种球足够多）。

真题实例

以真题验证考点

1.（国考2013）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）

A.17

B.21

C.25

D.29

深度解析 C。抽屉原理。根据已知条件，四项培训，每名党员参加且只能参加两项培训，所以每名党员均有=6（种）选择，最不利情形是每种选择都有4人选择，故总人数至少有6×4+1=25 （名）。故本题选择C。

考点直击

反向构造 命中考题的根本

基本特征：题目中出现多个集合，一般多于3个。

解题思路：逆向考虑，从反面入手分析问题。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2016）某中学高一至高三年级的学生参加某项社区服务，如果高三年级与高一年级、高三年级与高二年级参加此活动的人数之比分别为5∶3、8∶5，则该中学高一至高三年级最少共有（ ）人参加该项社区服务。

A.40

B.55

C.79

D.89

名师解析 高一∶高二∶高三=24∶25∶40，所以总人数是89的倍数。故选D。

2.（深圳2016）假设一片牧场的青草一直都是“匀速”自然生长的，该牧场3月初放养有1000只羊，30天后青草的总量变为3月初的90%，此时牧场又一次性增加了300只羊。12天后青草的总量变为3月初的80%，如果要让青草在接下来4个月内（每月按30天计算）回到3月初的总量，则这4个月间该牧场最多放牧（ ）只羊。

A.800

B.750

C.700

D.600

名师解析 设3月初青草的总量为A,1只羊1天吃草的速度为a，草每天生长的速度为b，最多放牧N只羊，则10%A=30（1000a-b）=12（1300a-b）,20%A=120（Na-b），得出N=700，故选C。

3.（深圳2016）某停车场每天8:00-24:00开放，在9:00-12:00和18:00—20:00时每分钟有2辆车进入，其余时间每分钟有1辆车进入；10:00—16:00每分钟有1辆车离开，16:00—22:00每2分钟有3辆车离开，22:00—24:00每分钟有3辆车离开，其余时间没有车离开，则该停车场需要至少（ ）个停车位。

A.240

B.300

C.360

D.420

名师解析 根据时间段分别列出各个时间段的进入车的情况，可以看出12:00—16:00时刻净进为0，进入车辆达到最大值，为300，接下来进入车辆净进为负数了。故选B。

4.（深圳2016）某研究小组中一部分人在野外采集数据并实时传回实验室由另一部分人进行分析，据经验表明，在A处每人每天平均能采集到20条数据，其中40%为有效数据，在B处每人每天平均能采集到40条数据，其中25%为有效数据。实验室人员必须对每条数据逐个甄别以筛选出有效数据，实验室里的实验人员每人每天可以甄别100条数据。该研究小组共有16人，为使最终筛选出的有效数据最多，应该分别在A处、B处、实验室安排人员（ ）人。

A.8,4,4

B.10,3,3

C.2,10,4

D.4,8,4

名师解析 设分别在A处、B处，实验室安排x、y、z人，则x+y+z=16（人），要想使每天最终筛选出的有效数据最多，只需满足20x+40y=100z，代入排除即可。故选D。

第六节 初等数学问题

考点直击

计算问题 命中考题的根本

求解式子运算题过程中常用的运算规律主要有加法运算律、乘法运算律、整式的乘法公式和因式分解、分式的裂项相消等各种运算技能。

注意：以下运算律以及公式等不仅要求考生去识记，而且要求考生通过练习能够较熟练地运用。

（一）运算律

（1）加法运算律：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）

（2）乘法运算律：

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c

（二）乘法公式

（1）乘法公式：

完全平方公式：（a±b）2=a 2±2ab+b 2

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

立方和（差）公式：（a±b）（a2∓ab+b2）=a3± b3

（2）推广：

多项式平方公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

二项式定理：（a±b）3=a 3±3a 2 b+3ab 2±b 3

（a±b）4=a 4±4a 3 b+6a 2 b 2±4ab 3+b 4

（三）裂项相消

（1）根据两项分母裂项公式- 得：

（2）根据三项分母裂项公式得：

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2014）1995+1996+1997+1998+1999+2000的值为（ ）。

A.12987

B.12985

C.11988

D.11985

名师解析 本题考查等差数列求和。

方法一：（1995+2000）×3=11985。

方法二：2000×6-1-2-3-4-5=11985，因此，本题的答案选D。

2.0.0495×2500+49.5×2.4+51×4.95的值是（ ）。

A.4.95

B.49.5

C.495

D.4950

名师解析 利用乘法分配律可知，原式=49.5×2.5+49.5×2.4+5.1×49.5=49.5×（2.5+2.4+5.1）=49.5×10=495。所以选C。

3.123456788×123456790-123456789×123456789=（ ）。

A.-1

B.0

C.1

D.2

名师解析 利用平方差公式的特性解题。原式=（123456789-1）×（123456789+1）-1234567892=1234567892-1-1234567892=-1。所以选A。

考点直击

多位数问 命中考题的根本

多位数问题主要涉及一位数、两位数、三位数等多位数的构造、求值以及判定位置等问题。在这类问题中，考查重点是考生的分析能力，需要考生能够将题目条件迅速转化为相应的数字形式。多位数问题考查技巧涉及多位数构造、数字拆分、数字结构分析、直接代入验证等多个技巧。

多位数问题考查背景简单，命题清晰易懂，能较好地考查考生的分析能力与构造能力，在数学运算中考查频率一直较高。考查难度浮动较大，既有可以通过代入排除迅速求解的考题，也有需要多步推理判断方可确定答案的考题。

位值原理：

若某数的个位、十位、百位……依次为a, b, c…则该数的值为a×100+b×101+c×102+…；

若某数的个位、十分位、百分位……依次为a, b, c…则该数的值为a×100+b×10-1+c×10-2+…。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2014）玩具店的橱窗里有四种玩具，把四种玩具的价格（均为整数）两两相加得到6个不同的数字，已知其中五个数字为：144、130、125、113、99，则四种玩具中，价格最高的比价格最低的贵（ ）元。

A.26

B.31

C.45

D.57

名师解析 根据题意，四个数字两两相加得到6个不同的数字，假设分别为A+B、C+D、A+C、B+D、A+D、B+C，由于A+B+C+D=144+99=130+113=243=125+118；所以可得剩下一组为118。令A<B<C<D，可得A+B<A+C<……<B+D<C+D；所以A+C=113, C+D=144，所以D-A=144-113=31，因此选B。

2.（深圳2014）用5、6、7、8四个数字组成五位数，数字可重复，组成的五位数中至少有连续三位是5的数字有（ ）个。

A.30

B.33

C.37

D.40

名师解析 （1）若只有三个5连续，有以下几种情况：a.555_ _，则第一个空可能是6、7、8，第二个空可能是5、6、7、8，共3×4=12种；b._ _555，则第一个空可能是5、6、7、8，第二个空可能是6、7、8，共3×4=12种；c._555_，则第一个空可能是6、7、8，第二个空可能是6、7、8，共3×3=9种。（2）若有四个5连续，有以下几种情况：a._5555，空中可能填6、7、8,3种可能；b.5555_，空中可能填6、7、8，同样3种可能。（3）五个5连续，只有55555一种可能。共12+12+9+3+3+1=40种。因此选D。整除问题 命中考题的根本

考点直击

（一）余数

公考中，余数问题主要包括基本余数问题、剩余问题两类。

1．基本余数问题

余数基本恒等式：

被除数=除数×商+余数（0≤余数<除数）

2．剩余问题

剩余问题核心口诀：

余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期

余同取余，例如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；

和同加和，例如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；

差同减差，例如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。

（二）约数与倍数

约数与倍数问题的核心实际是最大公约数与最小公倍数。最大公约数与最小公倍数描述的是数与数之间的关系，在解题中常有应用。因此，掌握二者的求法是很必要的。

1．约数问题

最大公约数的求法：

（1）分解质因数法：先分解质因数，然后取相同因数的乘积。

例如：2475=32×52×11,630=2×32×5×7，故2475与630的最大公约为32×5=45。

（2）短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数之积。

例如：

即2475与2310的最大公约数为3×5×11=165。

（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，再用得到的余数去除较小的数，再用得到的余数去除第一个余数，依此类推，直到最后余数为0，此时的除数即是两数的最大公约数。

例如：

故6315与600的最大公约数为15。

2．倍数问题

最小公倍数的求法：

（1）分解质因数法：先分解质因数，然后取所有不同底数的最高次幂的乘积。

例如：2100=22×3×52×7,990=2×32×5×11，故2100与990的最小公倍数为22×32×52×7×11=69300。

（2）短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数与最后两商之积。

例如：

即2100与990的最小公倍数为2×3×5×70×33=69300。

（三）奇数与偶数

全体整数按能否被2整除分为奇数和偶数。奇数和偶数的运算规律是公考题经常考查的知识点。

奇数和偶数的运算规律：

（1）加法和减法：

奇数±奇数=偶数

奇数±偶数=奇数

偶数±偶数=偶数

即“同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇”。

（2）乘法：

奇数×奇数=奇数

奇数×偶数=偶数

偶数×偶数=偶数

即“乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇”。

（3）任何一个奇数必不等于任何一个偶数。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2015）世界石油价格上涨，导致油站供油不足，已知三辆油罐车分别运来、吨油。农忙季节农用机车急需用油，为支援生产，把三罐油平均分成若干等份，每份尽可能多。每台农用机车一次凭车牌号领取一份油，则至少可满足（ ）台农用机车的需求。

A.125

B.138

C.151

D.163

名师解析 约数倍数问题。要将三罐油平均分成若干等份且每份尽可能多，需使每份油的吨数是三罐油各自吨数的最大公约数。将通分可得，只需求420、189、448的最大公约数即可，求得三者的最大公约数为7，所以每份油是77-2吨，三罐油分别可分成60、27、64等份，因此至少可满足60+27+64=151（台）农用机车的需求。故本题答案为C。

2.（深圳2011上）哥哥和弟弟各有若干本书，如果哥哥给弟弟4本，两人书一样多，如果弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍，哥哥和弟弟一共有（ ）本书。

A.20

B.9

C.17

D.28

名师解析 由哥哥给弟弟4本，两人书一样多可知所求书的数量能被2整除，由弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍可知所求书的数量能被5整除，符合条件的只有A项，故A项为正确选项。

3.有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，则这个整数为（ ）。

A.44

B.43

C.42

D.41

名师解析 根据题意，可知所求整数必然能够整除157+324+234-100=615，首先排除选项A和C（因为两数为偶数，不可能整除615）。代入B、D两项验证可知仅41能够整除615。

考点直击

平均数问题 命中考题的根本

平均数是统计学中的重要概念。公考中涉及的平均数知识点主要有算术平均数、调和平均数、加权平均数等。其中考查算术平均数的题目出现次数较多。

（一）平均数公式

其中，w 1, w 2, w 3, …w n分别为x 1, x 2, x 3, …xn的权（w eig h t）。

由平均数公式可推出：

总和差值=个数×平均数差值

（二）调和平均数

调和平均数是一类特殊的平均数问题。其命题本质为：

成等差数列时。

这里a称作a1、a2的调和平均数。用数学形式表述，问题本质即A=B×C，其中A保持不变，B分别取值B1, B2，求两个等量A混在一起后B1、B2的平均指标。

真题实例

以真题验证考点

1.（深圳2014）8名同学参加公益义卖活动，义卖结束时筹得善款前3名的同学平均每人筹得150元，而排名后5名的同学平均每人筹得的善款比8人的平均数少15元，则这8名同学平均每人筹得善款（ ）元。

A.110

B.115

C.120

D.125

名师解析 方法一：设8名同学每人平均筹得善款x元，根据题意可得，3×150+5×（x-15）=8x，解得x=125。因此，本题的答案选D。

方法二：设8名同学平均每人筹得善款x元，则根据题意利用“十字交叉法”可得：

则有,解得x=125。

因此，本题答案为D。

2.一天，小张出差回到单位发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就一次翻了7张，发现这7天的日期加起来，得数恰好是77，问这一天是几号？（ ）

A.16

B.15

C.14

D.13

名师解析 7天日期加和得数为77，而日期数为等差数列，因此中位数77÷7=11恰好是中间一天的日期数。故这一天的日期为15号。