九章算术

中国古代数学名著

西汉

背景提示

春秋战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。当时各国实行按亩收税，就必须有测量土地、计算面积的方法，要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法，要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木之事，必须能计算工程人工，要修订一个适合农业生产的历法，必须能运用有关的天文数据。那时的百姓已经掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是《九章算术》中的绝大部分是产生于秦以前的。

象牙算盘 明

中国古代的算筹到了后来被先进的运算工具——算盘所取代。有关算盘的兴起时间尚未定论，有人说元代已开始使用算盘，但至今尚未发现实物以验证。明万历年间程大位的《算法统综》已画出算盘形象，和现行算盘完全一致，并记载了运算口诀，可见当时在商业和统计中已广泛运用算盘。这件象牙算盘，制作精良，珠子灵活，至今仍然操作方便。

名著概要

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作。现传本的成书大约是公元1世纪的下半叶。《九章算术》包括近百条一般性的抽象公式、解法，246个应用问题，分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。它涉及农业、商业、工程、测量，方程的解法以及直角三角形的性质，共九章。《九章算术》主要内容包括分数四则和比例算法，各种面积和体积的计算，关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则；书中关于线性方程（方程组）的解法和现在中学讲授的方法基本相同。“算术”在西汉时期是数学书的代用名词，算字的原意是计算用的竹筹即小竹棍。“算术”本意是应用算筹计算的方法，这里的算术包含当时的全部数学知识与计算技能，这与现代算术的意义是不相同的。《九章算术》以计算为中心，在应用问题中把理论与实际相结合的特点，一直影响着中国数学的发展。它的一些成就如十进位制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

刻有数码的商代甲骨 商

方田章提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。

粟米章提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；商功章除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；均输章用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

少广章介绍开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

盈不足章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。

方程章采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数的法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

勾股章提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a的平方加上b的平方之和等于c的平方。

阅读指导

就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，读者在阅读时可以以各章论述的定理为核心，结合书中所给的例题和答案，边阅读边分析实际问题，这样可能更有利于理解其中的数学知识。