刘徽与祖冲之的杰出贡献

在三国两晋南北朝时期，有两位杰出的数学家在计算圆周率上作出了非常杰出的贡献，他们是曹魏、西晋时期的刘徽和南朝宋时期的祖冲之。

人们最初计算圆面积的时候，大都采用“周三径一”，即圆周率π=3来计算，这样一来，误差还是挺大的，不够精确。刘徽经过研究发现，“周三径一”实际上是圆内接正六边形的周长和直径的比值，而不是实际的圆周长与直径的比值。因此，用这个数据所计算的结果是圆内接正十二边形的面积，而不是圆的面积。

刘徽不满足这一发现，他继续深入研究，得出结论：圆内接正多边形边数越多，其面积越趋近于圆面积，即“割之弥细，所失弥小。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。当圆内接正多边形边数无限多时，其周长的极限也就是圆周长，其面积的极限也就是圆的面积。这就是著名的“割圆术”。割圆术是我国古代最早用极限思想解决数学问题的有力证明。

刘徽计算时，从圆内接正六边形算起，然后边数逐倍增加。假设圆内接正2n边形边长为L2n，内接正4n边形边长为L4n，那么选择一个直角三角形，利用勾股定理，r、L2n、L4n三者存在这样的运算关系：

三个未知数，已知两个数值，便可求得第三个。刘徽算得π≈3.14或π≈3927/1250。这个数据是当时世界上π的最佳数据。

刘徽首创“割圆术”，开创了圆周率研究的新纪元。祖冲之则是将其发扬光大者。在刘徽研究和计算的基础之上，祖冲之将圆周率的计算推进了一大步，他求出了精确到小数点后第7位有效数字的圆周率：3.1415926＜π＜3.1415927。

这一结果需要付出巨大的努力和辛勤的劳动。可以试想一下，在当时算筹运算的条件下，需要对9位数字的大数目进行各种运算至少130次以上，还包括乘方、开方的计算，这是一项非常艰巨而又极需耐心的工作。

为了计算的方便，祖冲之还求出两个分数来表示圆周率：密率是355/113，约率是22/7。其中密率是分子、分母都在1000以内表示圆周率最佳的数值。

祖冲之对圆周率计算的贡献，足以使他名垂不朽。他走在了全世界的前列，直到1000年以后，才有人求出更精确的值。

▲ 割圆术示意图

▲ 祖冲之像

刘徽在数学方面的贡献还有很多。他对求派田面积、球体积、圆锥体积、解方程等，都有深入的研究。他撰写《九章算术注》和《重差》（后改为《海岛算经》）等数学著作。其中《重差》被列为唐初“十部算经”之一，内容是测量目的物的高和远的计算方法，代表着古代测量数学的杰出水平。

祖冲之的研究涉及三次方程求解问题，他注释了《九章算术》，撰写《缀术》10篇。《缀术》唐初被列入“十部算经”之一，内容精妙，可惜已佚失。