第二章 数学运算

考频探究

专题一 解题必杀技★★★

数学运算的出题形式是每道题给出一道算数式子，或者表达数量关系的一段文字，要求考生熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，利用基本的数学知识，准确、迅速地计算出结果。其着重考查考生的分析能力与计算能力，难点主要体现在如何从题干中寻找数量关系建立方程或不等式、如何进行快速计算两个方面。我们知道，数学运算题中，真正的难题非常少，而且所有的题型考生都并不陌生。然而，很多考生仍对数学运算心生畏惧。究其原因，无非是很多考生达不到做题的时限要求，进而对数量关系题选择性地放弃，造成数学运算部分得分率的长期低迷。那么，如何才能提高数学运算的得分能力呢？其实，这个方法大家都知道，那就是多做题。也许有些考生对这个方法很不屑，但这确实能稳步提升绝大多数考生的解题能力。因为能力的提升实际就是将运用知识和方法解题这种行为不断进行强化的过程。“工欲善其事，必先利其器”。在本章的第一专题，我们首先介绍几种数学运算题型中常用的基本方法和技巧，这些方法是求解数学运算问题最为常用的分析方法，即使面对复杂多变的题目情形，也能够快速有效地获得答案，其中包括代入法、赋值法、整体法以及差异分析法。

◎高频考点一 代入法★★★

真题·直击

1.（吉林2013乙级）小伟、爸爸和爷爷三人年龄和为98，已知三代年龄差为每一代至少为25，三人年龄为整数，则小伟最大年龄为（ ）。

A.4岁

B.6岁

C.5岁

D.7岁

【点到为止】代入排除。

名师解析 选取年龄最大的D项代入，若小伟年龄为7，按照小伟与小伟爸爸隔代最低年龄差计算，小伟爸爸是32岁，则小伟爷爷59岁便能满足条件。故D项验证成立，答案为D。

2.（联考2013上）A、B两桶中共装有108千克水。从A桶中取出1/4的水倒入B桶，再从B桶中取出1/4的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少千克水？（ ）

A.42

B.48

C.50

D.60

【点到为止】最后A桶应有水

名师解析 由题意，最后两桶中各有54千克水。代入D项60，则A桶原有水量为48千克， ，12+60=72，，72-18=54，满足题意。故选D。

◎高频考点二 赋值法★★★

真题·直击

1.（吉林2015乙级）某书店开学前新进一批图书，原计划按40%的利润定价出售，售出80%图书之后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，则剩下的图书销售是按定价打了几折？（ ）

A.7

B.8.5

C.8

D.7.5

【点到为止】赋值进价。

名师解析 方法一：赋值法。设进价为100，购进图书数量为10本，按40%的利润定价出售，则每本书的利润为40，定价为140。假设剩下图书的折扣为x，根据题意得：140×8+140×x×2=100 ×10+40×10×（1-14%），解得：x=0.8。因此，本题正确答案为C。

方法二：设进价为100，购进图书数量为10本，每本书的利润为40，定价为140。期望利润为40× 10=400，因为剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，所以实际利润为400×（1-14%）=344，按原定价售出的8件每件利润为40元，共40×8=320元，则另外2件获得利润为24，每件获利12，每件售价112，则折扣为112÷140=0.8。因此，本题正确答案为C。

2.（吉林2012甲级）千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第一次加入适量的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的3%，如果第三次再加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比为（ ）。

A.2.8%

B.2.5%

C.2.7%

D.2.4%

【点到为止】赋值锡的质量。

名师解析 根据题意，锡的质量不变，设为12，则第一次加入铁后总重量为300，第二次加入同样多的金属铁后，总重量为400，由此可得加入的金属铁的重量为100。因此，第三次加入同样多的金属铁后，金属锡的质量仍保持不变，总重量变为500，则此时金属锡的含量占总重量的。故本题选择D。

◎高频考点三 整体法★

真题·直击

1.（吉林2012乙级）为迎接校运动会，学生会决定将160把折扇平均分给甲乙两个社团手工制作，由于乙社团另有任务，所以在甲社团开始工作3小时后，乙社团才开始工作，因此比甲社团推迟20分钟完成任务。已知乙社团每小时制作的折扇个数是甲社团的三倍，则乙社团每小时制作折扇（ ）个。

A.45

B.75

C.60

D.90

【点到为止】总量相同，时间与效率成反比。

名师解析 设甲、乙社团共同工作了x个小时，乙社团每小时制作折扇个数是甲社团的3倍，则可列方程得

所以乙社团每小时制作折扇（把），本题选C。

2.（上海2013 A）如图，是一个工厂内的道路平面图，每天下班后，保卫科长都要从P点处开始不重复地沿道路检查一圈，他每分钟走70米，若中间不停留，则走一圈需要（ ）。

A.24分钟

B.19分钟

C.18分钟

D.15分钟

【点到为止】绕工厂走一圈，实际上是

名师解析 工厂的道路平面图可以通过平移变为一个长为320米宽为310米的长方形。因此总路线的周长为（310+320）×2=1260（米），所需时间为1260÷70=18（分钟）。故选C。

◎高频考点四 差异分析法

真题·直击

1.（国考2005二类）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润。则这种商品每件的成本是多少元？（ ）

A.75元

B.80元

C.85元

D.90元

【点到为止】减价后比减价前多付了

名师解析 由题意，减价之前，张先生订购该商品需要支付80×100=8000（元）；减价之后，张先生订购该商品需要支付100×95=9500（元）。因此两次张先生所支付的钱存在1500元的差异，但商店经理所获得利润一样，这说明第二次多支付的1500元不含利润，全部都是成本，并且容易看出这是第二次多买20件所付出的成本，因此每件成本为75元。故选A。

2.（江苏2011B）公司实行计件工资报酬，加工一件合格产品得4元，不合格的不计报酬，而且每件扣除12元。某员工一个月加工1000件，得3600元报酬，该员工这个月加工产品合格率是多少？（ ）

A.96%

B.96.5%

C.97.5%

D.98%

【点到为止】若产品全部合格，则应得报酬为

名师解析 先将全部产品都看成是合格的，然后分析其与实际情况之间的差异。若产品全部合格，则应得报酬为4000元，实际得3600元报酬，所产生的400元差异是源于其中存在不合格的产品。每有一件不合格的产品，就会从4000元中减掉4+12=16（元），因此不合格的产品有400÷16=25（件）。从而合格产品有975件，合格率为97.5%。故选C。

专题二 方程与不等式★★

方程和不等式是反映事物间量化关系的基本形式，其中，方程表示等量关系，而不等式表示比较关系。在数学运算中，可能会涉及一元（即含一个未知数）方程或多元方程（组）。不过它们几乎都是一次方程或方程组，如7x+4y=20，这样的方程运算只涉及加减乘除，对运算的要求并不高，考生经过学习，都可以解决。对于很多的文字应用题，如和差倍比问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等，列方程是最基本的解题方法，除此以外，对于我们将要介绍的其他题型，如行程问题、比例问题、费用问题、容斥问题等都可以利用方程法来解决；而不等式法往往会结合数字特性来解决。值得注意的是，在一些题目中，因节约时间、简化计算的需要，方程法并不是首选方法，但是作为最基本的方法，我们一定要熟练掌握。

◎高频考点一 一元方程

真题·直击

1.（吉林2012甲级）甲乙两个工程队修建一条乡村公路，甲工程队修了500米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路的时间还少20天。甲工程队的效率是（ ）。

A.25米/天

B.15米/天

C.20米/天

D.10米/天

【点到为止】简单问题，求什么设什么可快速解决。

名师解析 设甲工程队的效率为x米/天，依题意列方程

解得

x=10

故本题答案为D。

2.（联考2014上）某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5∶4∶1。问该单位共有多少人参加了义务劳动？（ ）

A.70

B.80

C.85

D.102

【点到为止】一看题目，知其是三集合的容斥问题。套用公式解答即可。

名师解析 假设只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数分别为5x、4x、x，根据容斥原理公式：5x+2×4x+3x=112，得x=7，所以总人数为5x+4x+x=70（人）。故选A。

◎高频考点二 多元方程组

真题·直击

1.（联考2012上）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是（ ）。

A.140万元

B.144万元

C.98万元

D.112万元

【点到为止】列多元方程组。

名师解析 设甲、丙的销售额分别为x、y元，则可得），解得。因此，本题选择B。

【一题多解】甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，则甲为1.5的倍数，即甲也为3的倍数，只有B选项符合。

2.（联考2013下）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍，共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱（ ）。

A.多1个

B.少1个

C.多2个

D.少2个

【点到为止】列多元方程组。

名师解析 由题知，甲、乙、丙3个箱子里最终的球数为原球数的3、4、5倍，而原来的球数是1或2或3，设甲、乙、丙三个箱子原来分别有x、y、z个球，则有x+y+z=6……（1），3x+4y+5z=22……（2），因为比较的是甲和乙的关系，因此我们将z消去，用5×（1）-（2）=2x+y=8，由于x、y只能取1、2、3三个数中的两个，故可得唯一解x=3，y=2，选A。

【技巧点拨】这里代入排除法也适用，但是计算的速度跟你选择选项的顺序有关系。实际考试中的试题，选项是有不同顺序的，这里的A项在另一份试卷里面可能就是D项。所以用方程法分析还是有效的思路。只要你对方程的形式了然于心，实际解题不需要像这样在纸上写上方程组，而是直接通过消元等方法降低未知数的个数来达到快速解题的目的。

◎高频考点三 不定方程（组）

真题·直击

1.（吉林2014甲级）某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的教工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品；若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品。则获得二等奖的教工有多少人？（ ）

A.6

B.5

C.4

D.3

【点到为止】列不定方程组。

名师解析 设获得一等奖、二等奖、三等奖的教工人数分别为x，y，z，可以列方程组为：。

两式相减消去z得到7x+3y=25，将四个选项代入验证，只有A项符合。

2.（吉林2012甲级）实验中学初中部三年级有4个班级，本学期末要评选三好学生，名额分配方案如下：三年一班、二班、三班评选32名三好学生，三年二班、三班、四班评选出28名三好学生，并且三年一班和四班三好学生总数是三年二班和三班的三好学生总数的2倍。请计算，本学期末三年级要评选出三好学生的总数是（ ）。

A.45名

B.50名

C.42名

D.40名

【点到为止】不定方程。

名师解析 设一班、二班、三班、四班分别评选出三好学生的人数是分别为x名、y名、z名、w名。则可得x+y+z=32，y+z+w=28。两式联立可得x+w+2（y+z）=60。又根据已知条件，一班和四班之和是二班、三班总人数的2倍，即x+w=2（y+z），因此可得y+z=15，因此x+y+z+w=45（名）。故本题选择A。

3.（联考2013下）射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低于8环。问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支？（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【点到为止】每只箭的环数都不低于8环，意指

名师解析 每只箭的环数都不低于8环，意味着环数只能是8、9、10。设命中8、9、10环分别有x、y、z支箭，显然都是非负整数。有x+y+z=10……（1），8x+9y+10z=93……（2）。为使10环的箭数尽可能多，9环的要尽可能少。我们消去9环的y，得到z-x=3，即10环比8环多3支，10环最多只能是6支，这时8环3支，9环1支，相差是5支，而这已经是选项中最多的一项，因此选D。

【技巧点拨】这里如果直接考虑9环和10环的关系，消去x，也可以分析y+2z=13，y要尽可能小，如果y为0，z不是整数，不符合；如果y=1，z=6，推出z-y=5。

◎高频考点四 不等式

真题·直击

1.（联考2012下）玉米的正常市场价格为每公斤1.86元到2.18元，近期某地玉米价格涨至每公斤2.68元。经测算，向市场每投放储备玉米100吨，每公斤玉米价格可下降0.05元。为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过（ ）。

A.800吨

B.1080吨

C.1360吨

D.1640吨

【点到为止】“为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过”实质是

名师解析 假设可以投放x吨，则，解得x≤1640，所以答案选D。

【一题多解】玉米价格最多能从2.68元下降到正常范围的最低值1.86元，降低了0.82元，而每100吨对应的降价是0.05元，按照比例计算可知：投放储备玉米的量最高为100×0.82÷0.05=1640 （吨）。故选D。

2.（联考2010下）已知，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【点到为止】“A有几个不同的值”“A、B为自然数”，很明显要得出A的取值范围的不等式才能判断结果。但是A的下限不好确定，所以突破口在

名师解析 需要转换不等式，由A≥B，且A、B均为自然数可得：，从而推出：即。又由A、B均为自然数推出：，综合可得：1 ，故 ，B为自然数所以B可为4，5，6，7。代入可得：当B=4时，A=60；当B=5时，A=15；当B=6时，A=10；当B=7时，A不是自然数。故有3组解，选B。

3.（上海2013B）某县筹备县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有（ ）。

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

【点到为止】隐含条件：

名师解析 设A种造型有x个，B种造型有y个，依题意可列方程组：39。

即可以有（33，17）（32，18）（31，19）共3种组合。故共有3种搭配方案，本题正确答案为A。

专题三 行程问题★★★

行程问题是数学运算应用题中的典型问题，题目的条件多变，设置灵活，其解题的关键在于对题目进行分析。基本行程问题、相遇追及问题、流水行船问题是较基础的题型，也是历年吉林省考的重点题型，可以利用总结的经验公式解题，只要学会分析，并不是很难。而间歇变速运动问题，涉及速度的变化与行进中的停歇，情况往往比较复杂，是行程问题的难点，往往需要细致分析，考查也较少。

◎高频考点一 基本行程问题

真题·直击

1.（联考2014上）甲、乙两辆车从A地驶往90公里外的B地，两车的速度比为5∶6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时？（ ）

A.10

B.12

C.12.5

D.15

【点到为止】等量关系：

名师解析 甲车上午10：30出发，乙车10：40出发，而乙车又比甲车早2分钟到达B地，可知从A地到B地，甲车用的时间比乙车多12分钟，即小时。假设甲车的速度为5v，乙车的速度为6v，则 ，解得v=15，所以两车速度差为：6v-5v=15（千米/小时），故选D。

2.（联考2012上）四名运动员参加4×100米接力，他们100米速度分别为v1，v2，v3， v4。不考虑其他影响因素，他们跑400米全程的平均速度为（ ）。

【点到为止】基本行程公式：

名师解析 本题考查行程问题。根据速度公式有：

，因此答案选择B选项。

◎高频考点二 相遇追及问题★★★

真题·直击

1.（吉林2015甲级）张村村长和李村支书到对方村中调研，两人以相同的速度同时相 向出发，2人相遇后，张村村长的速度提高了 ，又用2.5小时到达李村，李村支书的速度减少了 ，则再用几个小时可以到达张村？（ ）

A.4

B.3.5

C.3

D.4.5

【点到为止】两人相遇后走的路程应名师解析本题属于行程问题，两个人刚开始的时候属于相遇问题，相遇问题中时间是相同的，因为两个人的速度也相同，所以行走的路程是相同的，故剩余的路程也是相同的，路程相同的时候时间与速度呈反比关系，即此时v张：v李=T李：T张，设原来速度为v，相遇后两个人的速度，v张= v，v李=5v，所以v张：v李=8：5=t李：t张，又因为t张=2.5，则可得t李=4。因此，本题正确答案为A。

2.（联考2013上）小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲、乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）

A.1.5

B.2

C.2.5

D.3

【点到为止】等量关系：

名师解析 采用比例法。由题意，两人从同地出发，则第一次相遇时两人的路程和为2个全程，设其中小张走了x，小王走了y；第二次相遇时两人走了4个全程，小张走了2y，小王走了x-y；由比例法，解得x=2y，故两人的速度比为2∶1。故选B。

3.（北京2013）甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（ ）

A.600

B.800

C.1000

D.1200

【点到为止】非常规的环形追及相遇问题。

名师解析由“第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程”，可知两个人分别跑了250米和150米，两人相差250-150=100（米），说明速度快的人每跑250米便比另一人多跑100米。因此若两人同时从同一点出发同向而行，跑得快的人第一次追上另一人时必定是多跑了一圈（400米），因速度未变，故此时跑得快的人跑了（米）。选C。

◎高频考点三 间歇变速问题

真题·直击

1.（联考2013下）中午12点，甲驾驶汽车从A地到B地办事，行驶1小时，走了总路程的15%。此后甲的速度增加了15公里/小时，又行驶了30分钟后，距离B地还有34的路程。此后甲的速度如果再增加15公里/小时，问几点能到B地？（ ）

A.16：00

B.16：30

C.17：00

D.17：30

【点到为止】列式的关键是

名师解析 由题知，第1次加速后的30分钟甲行驶了1-15%-75%=10%的路程，如果行驶1小时应该是20%的路程，也就是说增加15公里/小时行驶1小时，多行驶了20%-15%=5%，也就是说再增加15公里/小时，1小时应该行驶20%+5%=25%的路程，即剩下的75%的路程，需要3小时，应16：30到B地。故选B。

2.（联考2010下）小王从家开车上班，汽车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路。由于自行车的速度只有汽车速度的，小王比预计时间晚了20分钟到达单位。如果之前汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟。问小王从家到单位的距离是多少公里？（ ）

A.12

B.14

C.15

D.16

【点到为止】根据条件“汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟”，可求出

名师解析 由汽车和自行车的速度之比为5∶3，汽车行驶6公里，自行车少耗时10分钟，设汽车、自行车的时速分别为x公里/分钟、0.6x公里/分钟，则有，x=0.4。设发生故障后，汽车的原预定时间为t分钟，则有（t-10+20）×0.6×0.4=（t-10）×0.4，解得t=40，则小王从家到单位的距离为s=xt=16（公里）。故选D。

◎高频考点四 流水行船问题★★

真题·直击

1.（吉林2015甲级）两艘船相对划行，一船从A到B逆水而行，结果所用时间相同（假设水流速、行船速恒定，快船速是慢船速的2倍），则慢船速是水流速的几倍？（ ）

A.3

B.2

C.1

D.4

【点到为止】流水行船公式：

名师解析本题属于流水行船问题，根据题意得，慢船应该是顺水，而快船是逆水，所以V顺水速度=V慢般速+V水速，V逆水速度=V快船速-V水速，顺逆水行驶的路程是相同的，路程相等的时候速度与时间是反比关系，因为时间相同，所以速度也是相同的，即V顺水速度=V逆水速度，所以，V快船速=V慢船速，2V水速=V快船速-V慢船速。又V快船速=2V慢船速，所以2V水速=V快船速。因此，本题正确答案为B。

2.（吉林2014甲级）一条客船往返于甲、乙两个沿海城市之间，由甲市到乙市是顺水航行，由乙市到甲市是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时25海里。由甲市到乙市用了8小时，由乙市到甲市所用的时间是由甲市到乙市所用时间的1.5倍，则甲乙两个城市相距多少海里？（ ）

A.240

B.260

C.270

D.280

【点到为止】流水行船公式：

名师解析 设甲乙两个城市的距离为s，水流的速度为v水，则列方程组得：

，两者相除并解方程得：v水=5，所以s=240。正确答案为A。

专题四 比例问题★★

比例问题，是一类涉及比例关系的数学运算题的合称，指某个量由其他两个或多个量的比例得出，比如工程问题中的效率，溶液问题中的浓度，牛吃草问题中牛吃草效率与草地长草效率之比，钟表问题中时间与角度的比例等。工程问题和溶液问题是比例问题中的重点，而牛吃草问题、钟表问题在吉林省考中考查很少。

◎高频考点一 工程问题★★★

真题·直击

1.（吉林2015乙级）为响应建设“绿色城市”的号召，某社区义务植树300棵，由于参加植树的全体党员植树的积极性高涨，实际工作效率为原来的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则原来每小时植树多少棵？（ ）

A.120

B.150

C.135

D.125

【点到为止】题干的等量关系是

名师解析 假设原来每小时植树x棵，实际每小时植树1.2x棵，根据题意得：，解得：x=150。因此，本题正确答案为B。

2.（吉林2014甲级）地铁工程在某1000米路段地下施工，两头并进，一侧地铁盾构机施工，每天掘进3米，工作5天，休息一天进行检修；另一侧人工轮岗不休，每天掘进1米，多少天此段打通？（ ）

A.282

B.285

C.286

D.288

【点到为止】以复杂一方的工作进程计算周期

名师解析 工程问题。一侧地铁盾构机6天挖3×5=15（米），另一侧人工6天挖6米，以6天为一个周期，两侧工程队一个周期一共挖了21米，整个路段共1000米，1000÷21=47……13，即一共需要挖47个整周期，还余13米，这13米两侧工程队一起挖还需要4天，所以一共需要47×6+4=286（天）。

3.（吉林2013乙级）两个工人完成一项生产任务，甲单独干一天可以完成任务的，乙单独干一天可以完成任务的，如何安排两个人，使其在最少的整数天完成任务？（ ）

A.甲单干一天，乙单干两天

B.甲乙一起干两天

C.甲乙一起干一天，乙再干一天

D.乙单干三天

【点到为止】赋工作总量为

名师解析 设任务量为1，则甲一天的工作量为，乙一天的工作量为。锁定天数最少的选项B和C。C项，甲乙一起干一天完成，乙再干一天恰好可以完成；B项，甲乙一起干两天，已超过该任务总量，总时间少于两天，因此排除B。故答案为C。

◎高频考点二 溶液问题★★

真题·直击

1.（国考2014）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（ ）

A.6

B.5

C.4

D.3

【点到为止】要次数最少，则再次尽可能多地

名师解析 设最少加x次满足题干要求，结合溶液混合基本公式可得：100×10%+14x×50%≥（100+14x）×25%，解方程可得，则x的最小值为5。答案选择B。

2.（国考2009）一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？（ ）

A.14%

B.17%

C.16%

D.15%

【点到为止】溶质不变。

名师解析 解法一：本题关键是溶质不变，根据题意可以设第一次蒸发后有溶液100，溶质10，再蒸发掉同样多的水后，溶液为，则蒸发了，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液为，则溶液的浓度为。

解法二：根据题意可以得出蒸发过程中浓度为：蒸发；由于溶质不变，把浓度表达式改写成：蒸发。从中可以看出溶质为60；水蒸发掉了100，则第三次蒸发还是100，浓度表达式为：。则溶液的浓度为。

◎高频考点三 牛吃草问题★

真题·直击

（国考2013）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）（ ）

A.25

B.30

C.35

D.40

【点到为止】“最多可供多少人进行连续不间断的开采”，即

名师解析 设原有河沙量为y，每月新增河沙量为x，故y=（80-x）×6，y=（60-x）×10；解得x=30，y=300。即最多可供30人进行连续不间断的开采。故本题选择B。

◎高频考点四 钟表问题

真题·直击

1.（联考2013下）为保证一重大项目机械产品的可靠性，对其进行连续测试，试验小组需要每隔5小时观察一次，当观察第120次时，手表的时针正好指向10。问观察第几次时，手表的时针第一次与分针呈60度角？（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

【点到为止】钟表问题。

名师解析由题意可知，手表时针每12小时转一周，试验每隔5小时观察一次，因此每12× 5=60（小时），即每12次观察的时刻都相同。由第120次为10点，可知10点为一周期内的第12次测量，则第1次为10+5-12=3（点），于是第2次到第12次依次为8，1，6，11，4，9，2，7，12，5，10点。整点中只有2点与10点时针和分针呈60度角。可知最先出现的是2点，为第8次。选D。2.（联考2009下）现在时间为4点13分，此时时针与分针成什么角度？（ ）

A.30度

B.45度

C.90度

D.120度

【点到为止】钟表问题。

名师解析 如下图所示，4点分时，时针在4到5之间，分针在2到3之间，很明显大于30度，小于90度，排除A、C、D。故本题选B。

【技巧点拨】时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，二者每分钟相差5.5度，这应作为常识来识记。例如，在本题中，4点钟的时候时针与分针所成的度数是120度，经过分钟后，分针追上时针的度数为（度），此时时针与分针所成的角度是120-75=45（度）。

专题五 几何问题★★

几何问题有两类，一类是考查利用平面几何和立体几何的原理运算或考查空间想象能力，如面积、体积计算等。另一类是考查结合几何知识的计数问题，如植树、方阵问题等。前一类问题是吉林省考的重点题型，几乎年年考查；而后一类题型较有难度，在吉林省考中考查很少。

◎高频考点一 平面几何问题

真题·直击

1.（联考2014上）一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管？（一根水管上可以连接多个喷头）（ ）

A.5

B.8

C.20

D.30

【点到为止】要使所用的水管最少，只要

名师解析 最多有四个喷头在一条直线上，另外的两个喷头和此四个喷头所成的直线共一个喷点，如图所示，总共需要8条水管。故选B。

2.（联考2012上）3颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这3颗卫星距地球最短距离为（ ）。

A.R

B.2R

C.

D.

【点到为止】几何问题。

名师解析 如下图所示：分析可知，假设地球为球形，三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点，可同时覆盖地球表面。根据直角三角形中30°角的性质关系，气象卫星距离地心的距离为2R，那么气象卫星距离地球的最近距离为R。因此答案选择A选项。

◎高频考点二 立体几何问题

真题·直击

1.（联考2014上）一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米。施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分。问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？（ ）

A.6

B.

C.8

D.

【点到为止】路径差值的立体几何问题。

名师解析 用平面切割长方体，使得分割成的两个部分大小和形状都相同，则可知最大和最小情况分别如下图所示：

图1中灰色线条所构成图形的周长最长，图2中灰色线条所构成图形的周长最短，分别计算如下：

最长：2×（5+6）=22（米）

最短：2×（3+4）=14（米）

两者差为22-14=8（米）

因此，本题答案为C。

2.（国考2012）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（ ）

A.

B.

C.36

D.72

【点到为止】正八面体的体积等于

名师解析 如上图所示，该正八面体可以看作两个四棱锥拼成的，每个四棱锥的底面为原正方体四个侧面的中心连线，高分别为上下两个正方体底面中心到四棱锥底面的距离，解得：。

◎高频考点三 几何计数问题

真题·直击

1.（天津2015）一个由边长25人和15人组成的矩形方阵，最外面两圈人数总和为（ ）。

A.232

B.144

C.165

D.196

【点到为止】方阵问题公式：

名师解析 矩形方阵最外圈的人数为2×（25-1+15-1）=76（人）。次外圈的边长分别为23人、13人，则矩形方阵次外圈的人数为2×（23-1+13-1）=68（人）。所求人数和=76+68=144 （人），故选B。

2.（联考2012下）某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为（ ）。

A.195米

B.205米

C.375米

D.395米

【点到为止】双边植树公式：

名师解析 设共有树苗为x棵，这段路长为y米，则可以列如下方程组：

，解得x=100，y=195。

故本题选A。

【一题多解】本题也可以利用整除特性求解，根据题目的第3句话，路的长度除以4余3，据此排除B选项；树间距相差1米，大概多了20棵树，则每边多了10棵，每隔5米植树和每隔4米植树相比，大概20米左右少植1棵，少种10棵，则长度应在200米左右，排除C、D两项。故选A。

专题六 计数问题★★★

计数问题中分为三个考点，分别是容斥问题、排列组合问题和概率问题。其中，容斥问题是对集合论的简单应用，而排列组合问题则是经典的应用问题，条件丰富多变，且存在许多实用技巧。概率问题很多时候是和排列组合问题结合在一起考查的。本专题的三大考点是历年吉林省考的重点，经常会考查2道及以上的题，考生要重视并熟练掌握。

◎高频考点一 容斥问题★★★

真题·直击

（天津2015）某高校大学生数学建模竞赛协会共有240名会员，今欲调查参加过国家级竞赛和省级竞赛的会员人数，发现每个会员至少参加过一个级别的竞赛。调查结果显示：有的会员参加过国家级竞赛，有的会员两个级别的竞赛都参加过。问参加过省级竞赛的会员人数是（ ）。

A.160

B.120

C.100

D.140

【点到为止】参加过省级竞赛的人包括

名师解析 两集合容斥问题。根据题意可得，只参加过国家级竞赛的人数为80（人），因为每个会员至少参加过一个级别的竞赛，故除了只参加过国家级竞赛的80人，另外240-80=160（人）都参加过省级竞赛，故选A。

◎高频考点二 排列组合问题★★★

真题·直击

1.（吉林2015甲级）“我是歌手”某场比赛由六名首发歌手和一名踢馆歌手抽签决定出场顺序，且规定第一位出场和第七位出场歌手由踢馆歌手和上一场比赛第一名歌手抽取，剩余出场顺序由其他歌手抽取，则本场比赛出场顺序的排列共有多少种情况？（ ）

A.10080

B.120

C.240

D.6000

【点到为止】排列组合问题。

名师解析 本题属于排列组合，首先第一名和最后一名位置的人员确定，而这两个人顺序不同，所以有两种情况。其余的五个人全排列，有（种），两个数字相乘，共有2×120=240（种）。因此，本题正确答案为C。

2.（吉林2013甲级）宴会上有10个人，要求每个人都要和别人握手但不重复，已知每人最多握手8次，则10个人共握手多少次？（ ）

A.90

B.44

C.45

D.43

【点到为止】排列组合与等差数列

名师解析 设宴会上的10人分别为A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，我们按照A～J的顺序来考虑握手的次数。由握手不能重复且每人最多握手8次可知，A只能和其他9人中的8人握手，假定A与B～I这8人握手，即握手8次；B要和A以外的其他8人握手，即握手8次；C要和除去A、B两人外的其他7人握手，即握手7次；D要和除去A、B、C三人外的其他6人握手，即握手6次；依此规律，E、F、G、H、I分别握手5次、4次、3次、2次、1次；由不重复握手，则J只能和A握手，即握手1次。则10人共握手8+8+7+6+5+4+3+2+1+1=45（次）。故本题答案为C。

◎高频考点三 概率问题★★

真题·直击

1.（吉林2015乙级）央视“出彩中国人”节目中有三位嘉宾为选手进行投票，获得1票以上者方可进入下一轮，则选手进入下一轮的概率为多少？（ ）

A.

B.

C.

D.

【点到为止】选手进入下一轮的条件是

名师解析 方法一：根据题意，获得一票以上者方可进入下一轮，则获得2票或者3票即可晋级，。因此，本题正确答案为A。

方法二：。因此，本题正确答案为A。

2.（吉林2014乙级）学校要举行夏令营活动，由于名额有限，需要在符合条件的5个同学中通过抓阄的方式选择出两个同学去参加此次活动。于是班长就做了5个阄，其中两个阄上写有“去”字，其余三个阄空白，混合后5个同学依次随机抓取。计算第二个同学抓到“去”字阄的概率为（ ）。

A.0.4

B.0.25

C.0.2

D.0.1

【点到为止】分类讨论。

名师解析 分为两种情况：第一种情况，第一个同学抓到“去”，第二个同学也抓到“去”，概率为；第二种情况，第一个同学抓到空白，第二个同学抓到“去”，概率为。则总概率为。故答案为A。

专题七 最值问题★★

最值问题是数量关系模块中最能考查思维能力的题型之一，其实质是构造问题，是构造一种极限情形，是近年来吉林省考中考查的一个热点。

◎高频考点一 抽屉原理

真题·直击

1.（联考2014上）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？（ ）

A.11

B.15 C.18

D.21

【点到为止】抽屉原理。

名师解析 根据题目每次从箱子中摸出3颗玻璃珠，若摸出3个玻璃珠均为一种颜色，则共有3种情况；若摸出3个玻璃珠有两种颜色，则共有（种）情况；若摸出的3个玻璃珠三种颜色都有，则有1种情况。故从中摸出3个玻璃珠，颜色组合共计有3+6+1=10（种）情况。考虑最不利情况，在摸出的前10种情况中，摸出的颜色组合均不相同，则在第11次无论摸出哪种颜色组合，均可满足2组玻璃珠的颜色组合相同，故至少需要11次。正确答案为A。

2.（国考2013）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）

A.17

B.21

C.25

D.29

【点到为止】最不利原则，即名师解析根据已知条件，四项培训，每名党员参加且只能参加两项培训，所以每名党员均有（种）选择，最不利情形是每种选择都有4人选择，故总人数至少有6×4+1=25（名）。故本题选择C。

◎高频考点二 构造设定★

真题·直击

1.（吉林2014甲级）某建筑工地招聘力工和瓦工共计75名，力工日工资100元，瓦工日工资200元，要求瓦工人数不能少于力工人数的2倍，则力工和瓦工各聘多少人才能使日付工资最少？（ ）

A.20 55

B.22 53

C.24 51

D.25 50

【点到为止】人数一定，要把所付工资越少，就应少招高薪者，多招低薪者。

名师解析 如果想要日付工资最少，那么瓦工的人数越少越好。由于瓦工的人数不能少于力工人数的2倍，设力工有x人，则瓦工有2x人，x+2x=75，x=25。所以当力工人数为25人，瓦工人数为50人时，所付的日工资最少。答案选D。

2.（吉林2013甲级）七夕节，某市举办大型公益相亲会，共42人参加。其中女生20名，每人至少相亲一次，共相亲61次，则至少有一名女生至少相亲多少次？（ ）

A.6

B.4

C.5

D.3

【点到为止】最值问题。

名师解析 共相亲61次，61÷20=3…1，则至少有一名女生至少相亲4次。故本题答案为B。

◎高频考点三 反向构造

真题·直击

（联考2010下）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？（ ）

A.5

B.6

C.7

D.8

【点到为止】要求“至少有多少人以上四项活动都喜欢”，实际上是求

名师解析 由题意可知，不喜欢戏剧的有11人，不喜欢体育的有16人，不喜欢写作的有8人，不喜欢收藏的有6人，只有当这4个集合相互没有交集时，才能得出四项活动都喜欢的人数最少。故四项都喜欢的至少有46-（11+16+8+6）=5（人），故正确答案为A。

专题八 费用问题★★★

在考试中，我们常常会遇到这样一种题型——费用问题，它是有关“收入、成本、利润、折扣”的问题，与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。其中，利润折扣问题是费用问题的重点题型。分段计费时有考查，正逐渐成为近几年考查的重点。

◎高频考点一 利润折扣

真题·直击

1.（吉林2015甲级）股市融资具有资金放大效应，也有赔本的可能，一股民融资10万元，本钱10万元，全部用于购买股票，融资利息率是6%，卖掉股票得到22万元，则实际盈利利率为（ ）。

A.7%

B.6%

C.5%

D.8%

【点到为止】“实际盈利利率”就是利润率，公式：

名师解析 本题属于经济利润问题，利润率=利润÷成本×100%，总利润=总售价-总成本=22-20-10×6%=1.4（万元），利润率=[1.4÷（20+10×6%）]×100%≈7%。因此，本题正确答案为A。

2.（联考2013上）某产品售价为67.1元，在采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。则该产品最初的成本为（ ）元。

A.51.2

B.54.9

C.61

D.62.5

【点到为止】费用问题公式：

名师解析由题意可知，节约的10%成本与原利润相等，设成本为n，则有67.1-n=0.1n，解得n=61。故正确答案为C。

◎高频考点二 分段计费

对于分段计费的题目，找准分段点，按区间各自计算，结合列表分析。

真题·直击

1.（联考2014上）某市电价为一个自然月内用电量在100度以内的每度电0.5元，在101度到200度之间的每度电1元，在201度以上的每度电2元。张先生家第三季度缴纳电费370元，该季度用电最多的月份用电量不超过用电最少的月份的2倍，问他第三季度最少用了多少电？（ ）

A.300

B.420

C.480

D.512

【点到为止】要求“第三季度最少用了多少电”，即

名师解析 设其他两个月用电量少的月份用电量为x，则用电量多的月份用电量为2x。

A项：当第三季度最少用了300度电时，则每月用电量分别为：75、75、150，此时电费共计：（75+75）×0.5+100×0.5+50×1=175（元），与条件不符，排除；

B项：当第三季度最少用了420度电时，则每月用电量分别为：105、105、210，此时电费共计：55× 2+50+100+20=280（元），与条件不符，排除；

C项：当第三季度最少用了480度电时，则每月用电量分别为：120、120、240，此时电费共计：70+70+50+100+80=370（元），满足题干要求；

D项：当第三季度最少用了512度电时，则每月用电量分别为：128、128、256，此时电费明显超过370元，与条件不符，排除；

故只有C项符合要求，故正确答案为C。

2.（联考2012上）某停车场按以下办法收取停车费：每4小时收5元，不足4小时按5元收，每晚超过零时加收5元并且每天上午8点重新开始计时。某天下午15时小王将车停入该停车场，取车时缴纳停车费65元。小王停车时间t约为（ ）。

A.41＜t≤44小时

B.44＜t≤48小时

C.32＜t≤36小时

D.37＜t≤41小时

【点到为止】分段计费型的费用问题。

名师解析 根据题意可以知道，15点至第二天8点，时长为17小时，总费用为5×5+5=30 （元）；第二天8点至第三天8点，时长为24小时，总费用为6×5+5=35（元）。即两段时间的总费用为65元，总时长为41小时，因此满足题意的时间为37＜t≤41，因此答案选择D选项。

专题九 初等数学问题

初等数学问题是一类和数的性质紧密结合的问题。约数、倍数、数列与平均数是考查的重点题型。余数问题、多位数问题、星期日期问题时有考查。运算问题因不能很好体现对分析能力的考查，很少出现。

◎高频考点一 约数倍数

真题·直击

1.（吉林2015甲级）2015年政府工作报告的高频词汇有26个，“发展”“改革”两词居前，高频词出现的总次数是“改革”一词出现的次数的11.5倍多3，“发展”一词出现的次数比“改革”一词多54次，比高频词出现的总次数的多6，则2015年政府工作报告的26个高频词共出现多少次？（ ）

A.777

B.715

C.678

D.854

【点到为止】约数倍数问题。

名师解析 方法一：设“改革”出现的次数为x，则“发展”出现的次数为x+54，高频词出现的总次数为11.5x+3，根据题意得：，解得：x=74，因此总数为11.5×74+3=854。因此，本题正确答案为D。

方法二：因为“发展”是高频词出现的总次数的多6，所以总数是7的倍数，排除B、C两项，因为“改革”一词出现次数的11.5倍多3是总数，说明总数减3是11.5的倍数也就是总数减3是23的倍数，排除A项。因此，本题正确答案为D。

2.（联考2012下）某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2辆车。现有9辆车需要清洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完9辆车至少需要的时间为（ ）。

A.330分钟

B.300分钟

C.270分钟

D.250分钟

【点到为止】约数倍数问题。

名师解析 本题可以利用整除特性求解。共有9辆车清洗，则答案应该是9的倍数，四个选项只有C可以被9整除。故选C。

【技巧点拨】运用整除特性予以排除的方法能快速帮助解题。

◎高频考点二 余数问题

真题·直击

（江苏2013A）一个三位数除以53，商是a，余数是b（a，b都是正整数），则a+b的最大值是（ ）。

A.69

B.80

C.65

D.75

【点到为止】要使a+b的值最大，

名师解析 设三位数为x，若使a+b最大，则余数b肯定为52，则a=（x-52）÷53。此种情况下a最大为17，则a+b=69，故答案为A。

◎高频考点三 多位数问题

真题·直击

（联考2009上）一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少钱？（ ）

A.20

B.21

C.23

D.24

【点到为止】多位数问题。

名师解析 根据题意可知，书的实际价格比个位、十位数字颠倒后得到的价格高18元，在小于39的两位数里只有31符合要求，因此可知杂志价格为8元，两者相差23元。故选C。

◎高频考点四 数列与平均数问题

真题·直击

1.（联考2013上）某三年级制普通初中连续六年的在校生人数分别为：X1，X2，X3， X4，X5，X6，假设该校所有学生都能顺利毕业，那么前三年的入学学生总数与后三年的入学学生总数之差为（ ）。

A.（X1+X2+X3）-（X4+X5+X6）

B.X1-X4

C.X3-X6

D.（X3-X1）-（X6-X4）

【点到为止】前三年入学总数是

名师解析 前三年入学学生人数本质上就是第三年的在校生人数X3（第三年在校生的初三、初二、初一分别为前三年的入学学生），类似地，X6 即为后三年的入学人数。故答案为X3-X6。故选C。

2.（联考2012上）小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是（ ）。

A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元

【点到为止】平均数问题。

名师解析 假设共有x人，可以得到：450x-100=430x+60，解得x=8，所以这次活动人均费用为（元），因此答案选择A选项。

◎高频考点五 运算问题

真题·直击

1.（吉林2014甲级）计算算式的值为（ ）。

A.

B.

C.

D.

【点到为止】本题考查的是计算技巧。

名师解析利用裂项相消公式。。正确答案为D。

2.（联考2009上）计算。

【点到为止】裂项求和公式：

名师解析 。故本题选C。

专题十 杂类问题

有一些题型，因其知识点小而杂，统称为杂类问题。但是小而杂并不意味不重要，如其中的年龄问题是历来吉林省考中的重点题型。此外，还有一些考查较少的问题，如过河爬井问题、空瓶换酒问题等，都有公式可以直接解题。

◎高频考点一 年龄问题

真题·直击

1.（吉林2014甲级）一家人晚饭后去散步，爸爸给晓宇出了一道数学题：甲、乙两人年龄之和比丙大70岁，又已知甲比乙大1岁，比丙的2倍还多13岁，请你帮晓宇算出乙、丙的年龄之和为多少岁？（ ）

A.55

B.56

C.57

D.58

【点到为止】年龄问题。

名师解析 根据题意列方程组为：

，①-③可得，乙+丙=57。正确答案为C。

2.（吉林2013甲级）小明比弟弟大10岁，而且小明比爷爷小他年龄的4倍，爷爷与小明年龄之和是弟弟年龄的18倍，问爷爷与弟弟的年龄之和比小明大多少岁？（ ）

A.58

B.62

C.60

D.65

【点到为止】年龄问题。

名师解析 设小明的年龄为x岁，则弟弟的年龄为（x-10）岁，爷爷的年龄为5x岁，由题意可得方程x+5x=18（x-10），解得x=15，则爷爷的年龄为75岁，弟弟的年龄为5岁。所以爷爷与弟弟的年龄之和比小明大80-15=65（岁）。本题答案为D。

◎高频考点二 过河问题

真题·直击

1.（广州2011）因工作需要，有46个工作人员需要派到另外一个厂区，但只有一台运送车，每次最多能载5人（其中1人需开车），往返一次需5分钟。如果8点半开始出发，到8点57分时，至少还有（ ）人还在当地等待运送。

A.16

B.21

C.26

D.30

【点到为止】过河问题公式：

名师解析 往返一次需5分钟，则从8点半到8点57分，共有27分钟，27÷5=5……2，则一共运送完5次，已经到达的人数为（5-1）×5=20（人），第六次车上的5个人正在途中，所以在当地等待运送的人数为46-20-5=21（人）。故本题正确答案为B。

2.（国考2007）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（ ）人还在等待渡河。

A.15

B.17

C.19

D.22

【点到为止】过河问题公式：

名师解析 依题可得，到9时17分时，船已往返三次，加上最后一次船上的4人，一共载过去了3+3+3+4=13（人）。那么还在等待渡河的有32-13=19（人）。故本题选C。

◎高频考点三 空瓶换酒问题

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（联考2012上）12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为（ ）。

A.10瓶

B.11瓶

C.8瓶

D.9瓶

【点到为止】空瓶换酒问题公式：

名师解析 根据题意可知，12个空瓶换1瓶酒，1瓶酒等于一个空瓶加1瓶的酒，所以题意等价于11个空瓶换1瓶酒，101÷11=9……2，即可换9瓶酒。因此答案选择D选项。