1.1.3 边界元法

边界元法是将力学中微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数分片插值求解的数值方法。

其特点是通过选择合适的权函数使其中体积积分项为零，将问题转化成仅仅对边界进行线积分，意味着将实际问题降低一维来处理；对网格划分没有严格限制；对于稳态问题甚至无须处理内部区域，只要对边界进行分割即可；但边界元法的公式推导及运算过程都比较复杂，计算工作量也较大。尤其对非稳态问题，内部区域仍要网格划分。

对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域及半无限域问题。

注塑CAE数值分析采用有限元/有限差分混合法，充模流动模拟的数值计算过程如图1-3所示。

图1-3 充模流动模拟的数值计算流程图

注塑成型流动模拟技术不断改进和发展，经历了从中面流技术到双面流技术再到实体流技术这三个具有重大意义的里程碑。

1）中面流技术

中面流技术的应用始于20世纪80年代。其数值方法主要采用基于中面的有限元/有限差分/控制体积法。所谓中面是需要用户提取的位于模具型腔面和型芯中间的层面，基于中面流技术的注塑流动模拟软件应用的时间最长、范围也最广，其典型代表如国外Moldflow公司的MF软件、原AC-Tech公司（被Moldflow公司并购）的C-Mold软件，国内华中科技大学国家模具技术国家重点试验室的HSCAE-F3.0软件。

实践表明，基于中面流技术的注塑成型流动软件在应用中具有很大的局限性，具体表现为：（1）用户必须构造出中面模型，采用手工操作直接由实体/表面模型构造中面模型十分困难。

（2）独立开发的注塑成型流动模拟软件（如上述的Moldflow、C-Mold和HSCAE-F3.0软件）造型功能较差，根据产品模型构造中面往往需要花费大量的时间。

（3）由于注塑产品的千变万化，由产品模型直接生成中面模型CAD软件的成功率不高、覆盖面不广。

（4）由于CAD阶段使用的产品模型和CAE阶段使用的分析模型不统一，使二次建模不可避免，CAD与CAE系统的集成也无法实现。

由此可见，中面模型已经成为了注塑模CAD/CAE/CAM技术发展的瓶颈，采用实体/表面模型来取代中面模型势在必行，在20世纪90年代后期基于双面流技术的流动模拟软件便应运而生。

2）双面流技术

双面流是指将模具型腔或制品在厚度方向上分成两部分，有限元网格在型腔或制品的表面产生，而不是在中面。相应的，与基于中面的有限差分法在中面两侧进行不同，厚度方向上的有限差分仅在表面内侧进行。在流动过程中，上下两表面的塑料熔体同时并且协调流动。显然，双面流技术所应用的原理与方法与中面流没有本质上的差别，所不同的是双面流采用了一系列相关的算法，将沿中面流动的单股熔体演变为沿上下表面协调流动的双股流。由于上下表面处的网格无法一一对应，而且网格形状、方位与大小也不可能完全对称，如何将上下对应表面的熔体流动前沿所存在的差别控制在工程上所允许的范围内是实施双面流技术的难点所在。

目前，基于双面流技术的注塑流动模拟软件主要是接受三维实体/表面模型的STL文件格式。该格式记录的是三维实体表面在经过离散后所生成的三角面片。现在主流的CAD/CAM系统，如UG、Pro/E、SolidWorks、AutoCAD等，均可输出STL格式文件。这就是说，用户可借助于任何商品化的CAD/CAM系统生成所需制品的三维几何模型的STL格式文件，流动模拟软件可以自动将该STL文件转化为有限元网格模型，供注塑流动分析，这样就大大减轻了使用者建模的负担、降低了对使用者的技术要求。因此，基于双面流技术的注塑流动模拟软件问世时间虽然只有短短数年，便在全世界拥有了庞大的用户群，得到了广大用户的支持和好评。双面流技术具有明显优点的同时也存在明显的缺点：分析数据的不完整。双面流技术在模拟过程中虽然计算了每一流动前沿沿厚度方向的物理量，但并不能详细地记录下来。由于数据的不完整，造成了流动模拟与冷却分析、应力分析、翘曲分析集成的困难。此外，熔体仅沿上下表面流动，在厚度方向上未作任何处理，缺乏真实感。

3）实体流技术

从某种意义上讲，双面流技术只是一种从二维半数值分析（中面流）向三维数值分析（实体流）过渡的手段。要实现塑料注射制品的虚拟制造，必须依靠实体流技术。实体流技术在实现原理上仍与中面流技术相同，所不同的是数值分析方法有较大差别。在中面流技术中，由于制品的厚度远小于其他两个方向（常称流动方向）的尺寸，塑料熔体的黏度大，可将熔体的充模流动视为扩展层流，于是熔体的厚度方向速度分量被忽略，并假定熔体中的压力不沿厚度方向变化，这样才能将三维流动问题分解为流动方向的二维问题和厚度方向的一维分析。流动方向的各待求量，如压力与温度等，用二维有限元法求解，而厚度方向的各待求量和时间变量等，用一维有限差分法求解。

在求解过程中，有限元法与有限差分法交替进行，相互依赖。在实体流技术中熔体的厚度方向的速度分量不再被忽略，熔体的压力随厚度方向变化，这时只能采用立体网格，依靠三维有限差分法或三维有限元法对熔体的充模流动进行数值分析。因此，与中面流或双面流相比，基于实体流的注塑流动模拟软件目前存在的最大问题是计算量巨大、计算时间过长，诸如电视机外壳或洗衣机缸这样的塑料制品，用现行软件，在目前配置最好的微机上仍需要数百小时才能计算出一个方案。如此冗长的运行时间与虚拟制造的宗旨大相径庭，塑料制品的虚拟制造是将制品设计与模具设计紧密结合在一起的协同设计，追求的是高质量、低成本和短周期。如何缩短实体流技术的运行时间是当前注塑成型计算机模拟领域的研究热点和当务之急。