1.5 砂轮与工件的接触长度

1.5.1 砂轮与工件接触长度ls的几何分析

如图1-23所示，磨粒 A 顶点处于开始切削的位置，设磨粒与半径为 r的滚圆固连，且磨粒 A 顶点处于滚圆之外。当滚圆沿平行于进给运动方向作纯滚动时，磨粒 A 顶点的轨迹为延长外摆线。在xOy坐标系中，磨粒A顶点的相对运动轨迹方程为

其中

式中 vo——砂轮一转时工件的位移。

将式（1-51）代入式（1-50），得

式中，“+”号用于逆磨；“-”号用于顺磨。

式（1-52）可用来确定平面磨削时磨粒相对运动的轨迹。

磨削时，砂轮与工件接触的单元长度为

由于ψ角很小，取cosψ≈1，由此得

平面磨削时，在接触角ψ范围内的接触长度为

接触角ψ可近似地计算为

式中，反映了由于工件进给速度而引起的接触长度的变动。

平面磨削时，由于 vw与 vs相差较大，vw/vs很小，所以，可用简化式计算砂轮与工件的接触长度，即

同样，如图1-24所示为外圆磨削时磨粒的运动轨迹与接触长度。在具有轴向进给的外圆磨削时，磨粒除沿工件圆周作等速回转外，并沿工件轴向作等速移动，因此，磨粒的运动轨迹为螺旋内摆线。在x, y, z坐标系中，其方程为

式中 fa —— 轴向进给量；

vψ —— 砂轮转ψ角，工件沿轴 Ox 的位移，“+”号用于砂轮与工件同向转动；“-”号用于砂轮与工件逆向转动，其表达式为

由图1-24知

所以

将式（1-57）和式（1-59）代入式（1-56），得

式（1-60）可用来确定外圆磨削时磨粒相对运动的轨迹。

外圆磨削时，砂轮与工件接触曲线的单元长度为

考虑到ψ值很小，取cosψ=1，故

砂轮与工件接触长度为

一般情况下，外圆磨削的接触角ψ=10′～25′，如图1-25所示，因而角ψ可近似计算为

由图1-25知

所以

将式（1-63）代入式（1-61），得

在切入磨削中，fa=0，故

同样，内圆磨削的接触长度为

内圆切入磨削中，fa=0，故

M.C.Shaw等指出，当工件速度vw相对于砂轮速度vs逐渐增大时，平面磨削会出现五种生成切屑的磨削状态，如图1-26所示。内圆磨削中，vw/vs 大，易生成[Ⅲ]、[Ⅳ]型磨削状态；无火花磨削中，即使 vw≪vs，但由于磨削深度 ap很小，也会出现[Ⅲ]、[Ⅳ]、[Ⅴ]型磨削状态。

如果忽略纵向进给运动对接触长度的影响，所有类型周边磨削的接触长度为

式（1-68）适用于vw≪vs的条件，也就是适用于图1-26中的[Ⅰ]、[Ⅱ]型磨削状态。若磨削类型改变，接触长度ls将发生很大变化，如[Ⅴ]型磨削状态，DA将为[Ⅰ]型磨削状态的两倍，因此，应将式（1-68）改写为

式（1-69）也适用于类型[Ⅳ]。对于其他类型的磨削，等式右边一项的系数小于2。因此，可将式（1-69）写成