第2章 数组
本章包括
◆ 创建数值数组
◆ 操作数值数组
数组是MATLAB的基础内容，几乎所有的数据都是用数组的形式进行储存的，因此，MATLAB又被称为矩阵实验室。从MATLAB 5.x版本开始，基于面向对象的考虑，这些数组就成为MATLAB中的内建数据类型（BuiIt-in Data Type），而数组运算就是定义这些数据结构的方法。在本章中，将介绍关于数组类型和数组运算的内容。
2.1 创建数值数组
创建数组是所有MATLAB运算和操作的基础，针对不同维度的数组，MATLAB提供了多种创建方法，分别可以创建不同要求的数组类型。在本节中，将分别根据数组维度以及方法的不同来介绍如何创建数组。
2.1.1 一维数组的创建方法
在MATLAB中，一维和二维数组都被认为是比较低维的数组。它们的创建方法比较简单，同时，也是创建高维数组的基础条件，下面将以简单的例子来说明如何在MATLAB中创建各种不同的数组类型。
例2.1 在MATLAB中，使用不同的方法来创建一维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> data1=[pi;log(5);7+6;2^3];
>> data2=[pi log(5) 7+6 2^3];
>> data3=2:2:10;
>> data4=2:10;
>> data5=linspace(2,10,5);
>> data6=logspace(1,5,10);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到以下结果：
data1 =
3.1416
1.6094
13.0000
8.0000
data2 =
3.1416 1.6094 13.0000 8.0000
data3 =
2 4 6 8 10
data4 =
2 3 4 5 6 7 8 9 10
data5 =
2 4 6 8 10
data6 =
1.0e+005 ＊
0.0001 0.0003 0.0008 0.0022 0.0060 0.0167 0.0464
0.1292 0.3594 1.0000
上面的结果基本演示了在MATLAB中创建一维数组的方法。
◆ 直接输入法：在上面的程序代码中，data1和data2就是直接输入法。其中data1在输入数据的时候，使用了分号，创建了一维列数组；data2则在创建过程中使用了空格，因此创建了一维行数组。
◆ 步长生成法：在上面的程序代码中，data3和data4的创建方法就是步长生成法，其通用方法是a:inc:b，其中a表示的是数组的第一个元素，inc是创建数组之间的间隔，也就是步长，b则是数组中的最后一个元素。其中inc可以省略，默认的数值为1。
◆ 定数线性采样法：在上面的程序代码中，data5的创建方法就是定数线性采样方法，该方法在设定“总个数”的条件下，均匀采样分布生成一维行数组，这种方法的调用格式为：x=Iinspace(a,b,n)，其中a和b分别是数组的第一个和最后一个元素，n表示的是采样点数。
◆ 定数对数采样法：在上面的程序代码中，data6的创建方法就是定数对数采样法。这种方法在设定“总个数”的条件下，经过“常用对数”采样生成一维行数组。这种方法的调用格式为x=Iogspace(a,b,n)。
说明
在步长生成法中，步长参数inc的数值可以是正数，也可以是负数，当inc是正数的时候，必须满足a<b；当inc是负数的时候，必须满足a>b。
2.1.2 二维数组的创建方法
在本节中将介绍如何在MATLAB中创建二维数组。
例2.2 在MATLAB中创建二维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> Data1= [1 2 3
4 5 6
7 8 9];
>> Data2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
step 2 查看程序结果。在命令窗口输入变量名称，可以得到下面的程序结果：
Data1 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Data2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
上面的例子基本演示了在MATLAB中创建二维数组的方法，Data1的创建方法比较直接，得到的结果就是输入的结果；Data2的创建方法则是更加普遍的方法，关于该方法需要注意下面的内容：
◆ 整个输入数组必须以方括号“[]”作为创建的首尾。
◆ 数组的行和行之间必须用分号“;”间隔。
◆ 数组的列和列之间必须用逗号“,”间隔。
提示
上面使用的创建方法适用的范围比较窄，当数组的行或者列数比较大的时候，该创建方法就会显得比较烦琐，至于其他方法将在后面章节中加以介绍。
2.1.3 使用下标创建三维数组
在MATLAB中，习惯将二维数组的第一维称为“行”，第二维称为“列”，而对于三维数组，其第三维则习惯性地称为“页”。在MATLAB中，将三维或者三维以上的数组统称为高维数组。由于高维数组的形象思维比较困难，在本节中将主要以三维为例来介绍如何创建高维数组。
例2.3 使用下标引用的方法创建三维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
A(2,2,2)=1;
>> for i=1:2
for j=1:2
for k=1:2
A(i,j,k)=i+j+k;
end
end
end
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到下面的程序结果：
>> A(:,:,1)
3 4
4 5
>> A(:,:,2)
4 5
5 6
step 3 创建新的高维数组。在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> B(3,4,:)=2:5;
step 4 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到下面的程序结果：
>> B(:,:,1)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2
>> B(:,:,2)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 3
>> B(:,:,3)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4
>> B(:,:,4)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 5
说明
从结果中可以看出，当使用下标的方法创建高维数组的时候，需要使用各自对应的维度的数值，没有指定的数值则在默认情况下为0。
2.1.4 使用低维数组创建三维数组
本节将介绍如何在MATLAB中使用低维数组创建三维数组。
例2.4 使用低维数组创建高维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> D3(:,:,1)=D2;
>> D3(:,:,2)=2＊D2;
>> D3(:,:,3)=3＊D2;d
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到以下结果：
>>D2
D2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> D3
D3(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
D3(:,:,2) =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
D3(:,:,3) =
3 6 9
12 15 18
21 24 27
提示
从结果中可以看出，由于三维数组中“包含”了二维数组，因此可以通过二维数组来创建各种三维数组。
2.1.5 使用创建函数创建三维数组
本节将介绍如何利用MATLAB的创建函数来创建三维数组。
例2.5 使用函数命令来创建高维数组。
step 1 使用cat命令来创建高维数组。在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> C=cat(3,D2,2＊D2,3＊D2);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到以下结果：
C(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
C(:,:,2) =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
C(:,:,3) =
3 6 9
12 15 18
21 24 27
说明
cat命令的功能是连接数组，其调用格式为C = cat(dim,A1,A2,A3,A4...)，其中，dim表示的是创建数组的维度，A1，A2，A3，A4表示的是各维度上的数组。
step 3 使用repmat命令来创建数组。在MATLAB的命令窗口中输入下面的程序代码：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> D3 = repmat(D2,2,3);
>> D4=repmat(D2,[1 2 3]);
step 4 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到以下结果：
D2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
D3 =
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9 7 8 9
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9 7 8 9
D4(:,:,1) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
D4(:,:,2) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
D4(:,:,3) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
说明
repmat命令的功能在于复制并堆砌数组，其调用格式B = repmat(A,[m n p...])中，A表示的是复制的数组模块，第二个输入参数则表示该数组模块在各个维度上的复制个数。
step 5 使用reshape命令来创建数组。在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> D2=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> D3=reshape(D2,2,2,3);
>> D4=reshape(D2,2,3,2);
>> D5=reshape(D2,3,2,2)
step 6 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> D2
D2 =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
>> D3
D3(:,:,1) =
1 9
5 2
D3(:,:,2) =
6 3
10 7
D3(:,:,3) =
11 8
4 12
>> D4
D4(:,:,1) =
1 9 6
5 2 10
D4(:,:,2) =
3 11 8
7 4 12
>> D5
D5(:,:,1) =
1 2
5 6
9 10
D5(:,:,2) =
3 4
7 8
11 12
说明
reshape命令的功能在于修改数组的大小，因此可以将二维数组通过该命令修改为三维数组，其调用格式为B = reshape(A,[m n p ...])，其中A就是待重组的矩阵，后面的输入参数则表示数组各维的维度。
2.1.6 创建低维标准数组
除了前面介绍的方法，MATLAB还提供了多种函数来生成一些标准数组，用户可以直接使用这些命令来创建一些特殊的数组，下面将使用一些简单的例子来说明如何创建标准数组。
例2.6 使用标准数组命令创建低维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> A=zeros(3,2);
>> B=ones(2,4);
>> C=eye(4);
>> D=magic(5);
>> randn('state',0);
>> E=randn(1,2);
>> F=gallery(5);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
A =
0 0
0 0
0 0
B =
1 1 1 1
1 1 1 1
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
E =
-0.4326 -1.6656
F =
-9 11 -21 63 -252
70 -69 141 -421 1684
-575 575 -1149 3451 -13801
3891 -3891 7782 -23345 93365
1024 -1024 2048 -6144 24572
提示
并不是所有的标准函数命令都可以创建多种矩阵，例如eye、magic等命令就不能创建高维数组。同时，对于每个标准函数，参数都有各自的要求，例如gallery命令中只能选择3或者5。
2.1.7 创建高维标准数组
本节将介绍如何使用标准数组函数来创建高维标准数组。
例2.7 使用标准数组命令创建高维数组。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
%设置随机数据器的初始条件
>> rand('state',1111);
>> D1=randn(2,3,5);
>> D2=ones(2,3,4);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> D1
D1(:,:,1) =
0.8156 1.2902 1.1908
0.7119 0.6686 -1.2025
D1(:,:,2) =
-0.0198 -1.6041 -1.0565
-0.1567 0.2573 1.4151
D1(:,:,3) =
-0.8051 0.2193 -2.1707
0.5287 -0.9219 -0.0592
D1(:,:,4) =
-1.0106 0.5077 0.5913
0.6145 1.6924 -0.6436
D1(:,:,5) =
0.3803 -0.0195 0.0000
-1.0091 -0.0482 -0.3179
>> D2
D2(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,2) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,3) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,4) =
1 1 1
1 1 1
说明
限于篇幅，在这里就不详细介绍各种命令的参数和使用方法了，有需要的读者请自行阅读相应的帮助文件。
2.2 操作数值数组
在MATLAB中，除了需要创建数组之外，还需要对数组进行各种操作，包括重组、元素变换、提取、旋转等操作，MATLAB都提供了对应的函数命令，本节中将以简单的实例来说明这些命令的使用方法。由于数组维度的不同将会带来MATLAB不同的操作要求，因此，将按不同的数组维度来讨论数组的操作。
2.2.1 选取低维数组的对角元素
低维数组的操作比高维数组的操作在运算或者使用上要简单，因此在本节中将首先使用实例来介绍如何操作低维数组。
例2.8 使用diag命令来选取对角元素或者创建矩阵。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
A1=diag(Data,1);A2=diag(Data);
A3=diag(Data,-1);
B1=diag(A2,1);
B2=diag(A3,1);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
A1 =
2
7
12
A2 =
1
6
11
A3 =
5
10
B1 =
0 1 0 0
0 0 6 0
0 0 0 11
0 0 0 0
B2 =
0 5 0
0 0 10
0 0 0
说明
从结果中可以看出，diag命令的功能可以是选取矩阵对角线的数组，也可以将某个数组创建矩阵，用户可以很方便地利用该命令来处理矩阵对角线的数据。
对于diag命令中参数k的含义，可以用图2.1来形象地说明。
图2-1 diag命令中参数k的含义
2.2.2 低维数组的形式转换
例2.9 对数组或者矩阵进行形式转换：对称变换和旋转。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入如下代码：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
%矩阵的转置
>> B=Data';
>> C=fliplr(Data);
>> D=flipud(Data);
%多次旋转矩阵
>> E=rot90(Data);
>> F=rot90(E);
>> G=rot90(F);
>> H=rot90(G)；
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
B =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
C =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
D =
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
E =
4 8 12
3 7 11
2 6 10
1 5 9
F =
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
G =
9 5 1
10 6 2
11 7 3
12 8 4
H =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
这段代码中演示了各种转换命令，下面简要介绍各种命令的含义。
◆ fIipIr：以数组的垂直中线为对称轴，交换左右对称位置上的数组元素。
◆ fIipud：以数组的水平中线为对称轴，交换左右上下对称位置上的数组元素。
◆ rot90：逆时针旋转二维数组90°。
2.2.3 选取三角矩阵
例2.10 选取数组上三角或者下三角矩阵。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> Al=tril(Data);
>> Bl=tril(Data,1);
>> Cl=tril(Data,2);
>> Dl=tril(Data,-1);
>> Dl=tril(Data,-2);
>> Au=triu(Data);
>>Bu=triu(Data,1);
>>Cu=triu(Data,2);
>>Du=triu(Data,-1);
>>Eu=triu(Data,-2);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Al =
1 0 0 0
5 6 0 0
9 10 11 0
Bl =
1 2 0 0
5 6 7 0
9 10 11 12
Cl =
1 2 3 0
5 6 7 8
9 10 11 12
Dl =
0 0 0 0
5 0 0 0
9 10 0 0
El =
0 0 0 0
0 0 0 0
9 0 0 0
Au =
1 2 3 4
0 6 7 8
0 0 11 12
Bu =
0 2 3 4
0 0 7 8
0 0 0 12
Cu =
0 0 3 4
0 0 0 8
0 0 0 0
Du =
1 2 3 4
5 6 7 8
0 10 11 12
Eu =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
说明
在上面的步骤中，tril命令的功能是提取矩阵的下三角矩阵，triu命令的功能在于提取矩阵的上三角矩阵，两个命令中的参数k的含义和diag命令相同。
2.2.4 Kronecker乘法
例2.11 演示Kronecker乘法的不可交换性。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> X=[1,2;3,4];
>> I=eye(3);
>> A=kron(X,I);
>> B=kron(I,X);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
X =
1 2
3 4
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A =
1 0 0 2 0 0
0 1 0 0 2 0
0 0 1 0 0 2
3 0 0 4 0 0
0 3 0 0 4 0
0 0 3 0 0 4
B =
1 2 0 0 0 0
3 4 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 3 4 0 0
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 3 4
说明
从结果中可以看出，对于相同的两个矩阵，交换后的乘积是不同的结果，因此就证明了Kronecker乘法的不可交换性。关于Kronecker乘法，请读者自行查阅相应的书籍。
2.2.5 高维数组的对称交换
对于高维数组，由于在结构上多了维度，因此在操作方法上多了一些操作其他维度的命令，在本节中还是以简单的实例来介绍这些函数的使用方法。
例2.12 对三维数组进行对称交换。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> B=flipdim(A,1);
>> C=flipdim(A,2);
>> D=flipdim(A,3);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> B
B(:,:,1) =
5 2
1 9
B(:,:,2) =
10 7
6 3
B(:,:,3) =
4 12
11 8
>> C
C(:,:,1) =
9 1
2 5
C(:,:,2) =
3 6
7 10
C(:,:,3) =
8 11
12 4
>> D
D(:,:,1) =
11 8
4 12
D(:,:,2) =
6 3
10 7
D(:,:,3) =
1 9
5 2
说明
在MATLAB中，flipdim(A,k)命令的第一个输入变量A表示的是被操作的数组，第二个输入变量k指定的是对称面。1表示的是与数组行平行的平分面，2表示的是与数据列平行的平分面，3表示的是与数据页平行的平分面。
2.2.6 高维数组的维序号移动
例2.13 对三维数组进行“维序号移动”。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> Adim=shiftdim(A,1);
>> Adim2=shiftdim(A,2);
>> Adim3=shiftdim(A,3);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Adim
Adim(:,:,1) =
1 6 11
9 3 8
Adim(:,:,2) =
5 10 4
2 7 12
>> Adim2
Adim2(:,:,1) =
1 5
6 10
11 4
Adim2(:,:,2) =
9 2
3 7
8 12
>> Adim3
Adim3(:,:,1) =
1 9
5 2
Adim3(:,:,2) =
6 3
10 7
Adim3(:,:,3) =
11 8
4 12
2.2.7 高维数组的广义共轭转置
例2.14 对三维数组进行广义共轭转置。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> Ap1=permute(A,[1,2,3]);
>> Ap2=permute(A,[2,3,1]);
>> Ap3=permute(A,[3,2,1]);
>> Ap4=permute(A,[3,1,2]);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Ap1
Ap1(:,:,1) =
1 9
5 2
Ap1(:,:,2) =
6 3
10 7
Ap1(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Ap2
Ap2(:,:,1) =
1 6 11
9 3 8
Ap2(:,:,2) =
5 10 4
2 7 12
>> Ap3
Ap3(:,:,1) =
1 9
6 3
11 8
Ap3(:,:,2) =
5 2
10 7
4 12
>> Ap4
Ap4(:,:,1) =
1 5
6 10
11 4
Ap4(:,:,2) =
9 2
3 7
8 12
说明
在MATLAB中，permute命令的第一个输入变量是被转置的数组，第二个变量表示的是转置方式的行数组，该行数组中元素位置号代表的是新数组的维序号数值。
2.2.8 高维数组的降维操作
例2.15 使用squeeze命令来撤销“孤维”，使高维数组降维。
step 1 在MATLAB的命令窗口中输入以下代码：
>> B=cat(4,A(:,:,1),A(:,:,2),A(:,:,3));
>> C=squeeze(B);
>> size_B=size(B);
>> size_C=size(C);
step 2 查看程序结果。在命令窗口中输入变量名称，可以得到如下结果：
>> B
B(:,:,1,1) =
1 9
5 2
B(:,:,1,2) =
6 3
10 7
B(:,:,1,3) =
11 8
4 12
>> C
C(:,:,1) =
1 9
5 2
C(:,:,2) =
6 3
10 7
C(:,:,3) =
11 8
4 12
>> size_B
size_B =
2 2 1 3
>> size_C
size_C =
2 2 3
2.3 小结
在本章中，依次介绍了如何在MATLAB中创建和操作数值数组，这些内容都是MATLAB的基础知识，因此希望读者能够熟练掌握。其中数值数组是MATLAB所有操作的重要内容，在后面的章节中，将主要介绍如何使用MATLAB进行数值运算。