1.1.3 有限单元法的分析步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。简而言之，有限元分析可分成3个阶段，即前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

使用有限单元法进行分析时一些通用的规则包括，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应单元的应变值，再计算积分点的应力。因此位移的准确性高于应变、应变高于应力。当结构静力平衡时计算变形的单元是求得准确有限元分析结果的关键，因此线性计算中单元不可以变形过大，否则会造成求解失败；网格质量概括来说，初始网格必须可呈现初始模型的几何形状，而且要足够“弹性”以符合静力平衡后的变形几何形状；在预计会有应力梯度变化剧烈的位置上，为预测其准确变形情况，细小特征几何必须要更精确，以利于准确计算这些位置上的应力值；在理想曲率边线与网格曲率边线之间的差距称之为离散误差。

有限元求解问题的基本步骤如下。

（1）问题及求解域定义。根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

（2）求解域离散化。离散化就是建立结构的有限元模型，又称为网格划分或单元划分，即将结构离散为由有限个单元组成的有限元模型。在该步骤中，需要根据结构的几何特性、载荷情况等确定单元体内任意一点的位移插值函数。将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网格划分。显然单元越小则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但是计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

（3）确定状态变量及控制方法。一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适应有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

（4）单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。

（5）总装求解。将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映了对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元节点进行的，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在节点处。

（6）联立方程组求解和结果分析。有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元节点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。根据求出的节点位移求解单元的应力和。