1.1.1 有限单元法的基本思想

目前在工程领域内常用的数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。就应用的广泛性而言，有限单元法应用最广。其基本思想是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，将连续体看做是只在节点处相连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。求解后就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。

有限单元法在20世纪50年代最初提出，是为处理固体力学问题而出现的，1956年Turner、Clough把刚架位移法（直接刚度法）应用到了弹性力学平面应力问题中，将结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”。有限单元法的解利用每一个单元中近似的位移函数。“有限单元法”的名称由克拉夫（Clough）在1960年首先引用。

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如，用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

初期的有限单元法建立在虚功原理的基础上。1963—1964年Besseling、Melosh和Jones等人确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法，扩大了有限元法的应用范围。从20世纪60年代后期开始，进一步利用伽辽金（Galerkin）法等加权余量法，确定单元特性和建立有限元求解方程，进一步扩大了有限元法的应用领域。1967年出版的由Zienkiewicz与Y.K.Cheung（张佑启）合著的《结构与连续力学的有限元法》，成为第一本有限元方面的专著。

从第一个成功尝试的飞机结构的有限元分析开始，40年来，有限单元法蓬勃发展，成为结构分析中必不可少的工具，其广泛应用到空间问题、板壳问题，稳定问题、动力问题和波动问题的分析和求解。分析内容包括流体力学、机械结构、热传导与热应力、磁场问题等。不仅涉及稳态场问题，还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂力学等问题。

已先后出现了先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元和半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等多种求解方法。同时出现了如ANSYS、 UG NX Nastran, FEMAP、ABAQUS、ALGOR、ASKA、ADINA、SAP、SolidWorks Simulation等能够解决各种复杂问题的图形化软件系统。对网格自动划分和网格自适应过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。