1.2 单色平面波和球面波

光波（电磁波）的波动方程（1.1⁃2）和（1.1⁃3）是两个偏微分方程，其解包括各种形式的光波。其中最简单和最基本的是具有单一频率的单色平面波和球面波，它们是许多实际光波的近似情况。例如，激光器发射出的激光，常用的所谓单色光源发出的光，都接近于单一频率的单色光。在一般情况下，即使实际光波不是单色波，它也可以利用傅里叶（Fourier）分析法分解为不同频率的单色光波带权重的叠加（见1.9节）。因此，对于单色光波的讨论具有实际意义，讨论的结果具有代表性。

单色光波和其他电磁波一样，包含一个变动电场和一个变动磁场，它们分别由E和B的一个函数表示。对单色光波来说，这个函数就是余弦函数或正弦函数。

1.2.1 单色平面波的表示

1. 余弦函数表示

沿直角坐标系的z轴方向，以速度v传播的单色平面波（图1.2）可由如下E和B的余弦函数表示：

式中，A和A′是常矢量，分别为单色光波的电场和磁场振动的振幅，λ和v分别是光波的波长和波速。余弦函数的整个自变量是光波的位相，φ0 是初位相（对应于z=0和t=0的位相）。某一时刻位相相同的空间点的轨迹是光波的等相面或波面。显然，式（1.2-1）和式（1.2-2）表示的单色光波的等相面是平面，所以它们表示单色平面波。应该注意，余弦位相因子cos有十分重要的意义，它决定电场和磁场随空间和时间的变化关系。例如，在时刻t=0，位相因子是，在处，即 的平面上场有最大值，平面波处于波峰位置。在时刻 t′，位相因子变为 ，波峰移到处，即移到 的平面上。由此也可以看出，式（1.2-1）和式（1.2-2）的确表示平面波在z方向以速度v传播。

引入波矢量k，其方向沿单色光波等相面的法线方向（在各向同性介质中，k的方向与波能量的传播方向（光线方向）相同），其大小（称波数）为

注意到光波的频率（单位时间内光波场周期变化的次数）

其中，T为周期（光波场一次周期变化需要的时间）。并把2πν称为角频率ω，即

这样，式（1.2-1）又可以写为（设φ0 =0）

和

磁场B也有相似的形式（这里省略）。

单色平面波函数的最显著的特点是它的时间周期性和空间周期性，这表示单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸的波动；任何时间周期性和空间周期性的破坏，都意味着单色光波单色性的破坏。例如，图1.3所示的“单色波的一段”，即有限长波列这种波，不是严格意义上的单色波（见1.9节）。

前面已经介绍了用T，ν，ω这些量来表示单色光波的时间周期性。显然为了表示单色光波的空间周期性，也可以利用λ，这些量，并分别把它们称为空间周期，空间频率（单位长度上的空间周期数）和空间角频率。单色光波的时间周期性和空间周期性紧密相关，彼此通过传播速度v由式（1.2-4）联系。

应该指出，对于在不同介质中的具有相同（时间）频率的单色光波，其空间频率并不相同。事实上，由式（1.2-4），空间周期（即波长）

由于在不同介质中，单色光波有不同的传播速度，所以它的空间周期或空间频率将不相同。设单色光波在真空中的空间周期（波长）为λ0，则有

因此，λ0 和单色光波在介质中的λ的关系为

式中，n是介质的折射率。

在上面的讨论中，假设平面波沿xyz坐标系的z轴方向传播，或者说，我们选取了一个特殊坐标系，使其z轴为平面波的传播方向。下面写出沿任意方向传播的平面波的波函数。

设平面波沿空间某一方向传播（图1.4），建立一新坐标系x′y′z′，并使新坐标系的z′轴取在平面波波矢k的方向上，于是在新坐标系下平面波可以写为

E=Acos（kz′-ωt）

为了在xyz坐标系中表示平面波，应注意到

z′=k0 ·r

式中，k0 是k的单位矢，r是平面波波面Σ上任一点P的位置矢量。于是

若设k的方向余弦（即k0 在x、y、z坐标轴上的投影）为cosα、cosβ、cosγ，任意点P的坐标为x、y、z，那么式（1.2-9）也可以写成如下形式：

2. 复指数函数表示

在光学中，常常把单色平面波的波函数写成复指数函数形式。例如波函数式（1.2-9），把它写成

这样做的根据，一方面式（1.2-9）实际上是式（1.2-11）的实数部分，另一方面可以证明，对复数式进行线性运算（加、减、微分、积分）之后再取实数部分，与对余弦函数式进行同样运算所得的结果相同。由于复数运算比三角函数运算要简单，故上述替代将给我们的计算带来方便。但是应该指出，上述替代完全是形式上的，对于实际存在的光波场还应理解为式（1.2-11）的实数部分。

复数形式的波函数，其位相因子包括空间位相因子exp（ik·r）和时间位相因子exp（-iωt）两部分，可以把它们分开写为

E=Aexp（ik·r）exp（-iωt）

并把振幅和空间位相因子部分

称为复振幅。这样，波函数就等于复振幅和时间位相因子exp（-iωt）的乘积。复振幅表示场振动的振幅和位相随空间的变化（对单色平面波，空间各点的振幅相等），时间位相因子表示场振动随时间的变化。显然，对于单色波传播到的空间各点，场振动的时间位相因子exp（-iωt）都相同，因此当我们只关心场振动的空间分布时（例如在光的干涉、衍射、成像等一类问题中），时间位相因子则无关紧要，常可略去不写，而只用复振幅来表示一个单色光波。

1.2.2 单色平面电磁波的性质

实验和理论（根据麦克斯韦方程组）证明，单色平面波具有如下性质：

（1）它是矢量横波。电矢量和磁矢量在垂直于k的方向上振动，即k·E=k·B=0。E的取向称为单色平面波的偏振方向。当E的振动方向固定不变时，该光波称为线偏振光（详见第4章）。

（2）E和B互相垂直，E ×B沿波矢k方向，即E，B和k三者构成右手螺旋系统，以式子表示就是

（3）E和B同相，波传播过程中E和B同步地变化；E和B的振幅比为v，即

图1.2所示的单色平面波正是根据以上的三点性质画出的。

从以上的讨论可以看出，光波和其他电磁波一样，包含一个变动电场和一个变动磁场。从光的传播看，电场和磁场处于同等的地位，互相激发，不可分离；从式（1.2-13）看，已知E，则B也便确定了。但从光与物质相互作用看，光波中的电场和磁场的重要性并不相同，例如，光波对物质中带电粒子的作用，光波磁场的作用远比光波电场的作用为弱；使照相底版感光和其他光接收器响应的是电场而不是磁场，对人眼视网膜起作用的也是电场。所以，在光学中通常把电矢量E称为光矢量，把E的振动称为光振动。在讨论光的场振动性质时，可以只考虑E。

1.2.3 单色球面波

假设在真空中或各向同性的均匀介质中的S点放一个点光源（图1.5），容易想象，从点光源发出的光波将以相同的速度向各个方向传播，经过一段时间后，电磁振动所达到的各点将构成一个以S为中心的球面。这表示点光源S发出的光波的等相面（波面）是球面，这种光波称为球面光波。

下面我们从一个简单的考虑出发，得出球面光波的标量表达式。由图1.5所示的球面光波的空间对称性，容易明白，只要研究从光源S出发的某一方向（如方向）上各点的电磁场变化规律，就可以了解整个空间电磁场的情况。对于电磁场做余弦变化的单色球面波，在方向上距离点光源S为r的P点的位相显然是（kr-ωt）（假定源点的初位相为零），若P 点的振幅为Ar，则P点的电场可以表示为

或以复数式表示为

对于球面波来说，其振幅Ar是随距离r变化的，因为单位时间内通过任一球面（波面）的能量相同，而随着球面的扩大，单位时间内通过单位面积的能量将越来越小。设距源点S为单位距离的P1 点和距源点S为r的P点的光强度分别用I1 和IP表示，那么应有关系

I1 × 4π=IP × 4πr2

因此

由于光强度与振幅的平方成正比，有

式中，A1 是P1 点的振幅。由以上两式可得Ar=A1/r，因此式（1.2-15）和式（1.2-16）应改写为

和

其复振幅为

式（1.2-17）和式（1.2-18）表示球面简谐波的波函数。容易看出，球面波的振幅不再是常量，它与离开波源的距离r成反比；球面波的等相面是r为常量的球面。

当我们在离开波源很远的距离考察球面波时，若考虑区域与距离r相比很小，可忽略球面波振幅随r的变化，并可视球面波的波面为平面，即在考察区域内球面波可视为平面波。图1.6表示了这一情形，当距离r增大时，球面波波面的一部分渐渐变为平面波面。在光学中，只要把点光源放在足够远的位置，并且考察区域又比较小时，就可近似地把光波看成平面波，或者把点光源放在透镜的前焦点上，利用透镜的折射将球面光波变为平面光波。

例题1.1 证明单色平面波的波函数E=Acos（kz-ωt）是波动微分方程的解。

证：求E对z的一次和二次偏导数

再求E对t的一次和二次偏导数

因为

所以