3.2 基本几何体的三视图
根据本章前面的介绍，基本几何体分为平面立体和曲面立体，本节将介绍常见的基本几何体的三视图画法。
3.2.1 平面立体
1．棱柱的三视图
棱柱由相互平行的两个底面和若干个侧面组成，相邻侧面的交线称为棱线，各条棱线平行且相等。
以正六棱柱为例，为了绘图方便，将六棱柱的底面水平放置，并令前后两个侧面与V面平行，则其余侧面均与H面垂直，如图3-7（a）所示，作图步骤如下：
图3-7 正六棱柱的三视图
1）画对称中心线，画反映底面实形正六边形的俯视图。
2）根据正六棱柱的高，按照主、俯视图长对正画出主视图；按照俯、左视图高平齐画出左视图，如图3-7（b）所示。
2．棱柱表面取点
求棱柱表面点的投影，可利用棱柱表面积聚性投影来取点。
例3-1 如图3-8（a）所示，已知六棱柱表面两点A、B的投影a′、b″，求作另两面投影，并判别可见性。
图3-8 棱柱表面取点
分析：判别可见性的原则是若点所在的平面可见或有积聚性，则点的投影可见；若点所在的平面不可见则点的投影不可见，此时将点的投影加括号表示。图中B点在六棱柱的右后侧面上，故其正面投影b′ 和侧面投影b″ 不可见，水平投影b可见，如图3-8（b）所示。
作图：由a′向六棱柱水平投影作投影连线，与A点所在面的积聚性投影相交可求得a，根据“三等”关系，可求得a″；同理，可求得B点的另外两个投影。
3．棱锥的三视图
棱锥按棱线的数目不同，可以分为三棱锥、四棱锥等，其底面为多边形，侧面为三角形。
以正三棱锥为例，为了绘图方便，将底面水平放置，并令其中后面一个侧面与W面垂直，则三棱锥左右对称，如图3-9（a）所示，作图步骤如下：
图3-9 正三棱锥的三视图
1）画对称中心线，画反映底面实形正三角形的俯视图；
2）根据主俯视图长对正、主左视图高平齐画出底面有积聚性的正面投影和侧面投影；
3）画出顶点s的三面投影；
4）分别连接顶点s与底面三角形各顶点的同面投影，如图3-9（b）所示。
4．棱锥表面取点
例3-2 如图3-10所示，已知正三棱锥表面一点M的正面投影m′，求作点M的另两面投影m、m″。
图3-10 棱锥表面的点
分析：对于锥面上的点仅根据投影规律是无法直接求出其另外两个投影的，求这个点的投影有两种方法：
1）素线法：过M点在平面内作素线SI，交底边AB于I，然后根据点的投影规律，在素线上求出点M的另外两个投影。
2）辅助平面法：假设过M点作与底面△ABC平行的水平面，该水平面与棱面△ABS交于水平线ⅡⅢ，然后根据点的投影规律，在ⅡⅢ上求出点M的另外两个投影，如图3-10所示，作图步骤如下：
① 素线法：连接s′m′并延长交a′b′于1′，过1′向三棱柱水平投影作投影连线，与ab相交可求得 1，求出 SI 的水平投影，根据“三等”关系，在 SI 的投影上可求得 m、m″，如图3-11（a）所示。
图3-11 三棱锥表面取点
② 用辅助平面法过k′作与a′b′平行的水平线2′3′，根据平行线的投影特性，求出ⅡⅢ的水平投影，根据“三等”关系，在ⅡⅢ的投影上可求得m、m″，如图3-11（b）所示。
3.2.2 曲面立体
1．圆柱的三视图
圆柱表面是由圆柱面和两个底面组成，其中圆柱面可以看做是由一根直线绕轴线回转一周形成的，这根直线称做母线，母线的任一位置称为素线。
为了绘图方便，如图3-12（a）所示，将圆柱底面水平放置，其水平投影积聚为一圆，正面投影和侧面投影均为矩形。正面投影矩形中的左、右两条边a′a1′、c′c1′，是圆柱面上最左、最右两条素线的投影，称为圆柱的主视图的转向轮廓线，它们是前半圆柱面（可见部分）和后半圆柱面（不可见部分）的分界线；左视图的转向轮廓线 b″b1″、d″d1″是左半圆柱面（可见部分）和右半圆柱面（不可见部分）的分界线，如图3-12（b）所示，其作图步骤如下：
图3-12 圆柱的三视图
1）画主、左视图的轴线、俯视图的中心线；
2）由圆柱半径画出俯视图圆柱面积聚性的投影圆；
3）由圆柱高、“三等”关系画出主、左视图的矩形。
2．圆柱表面取点
求圆柱表面的点的投影，可利用圆柱表面积聚性投影来取点。
例3-3 如图3-13（a）所示，已知圆柱表面两点E、F的正面投影e′、f′，求作E、F点的另两面投影。
图3-13 圆柱表面取点
分析：圆柱面的水平投影具有积聚性，点E、F的水平投影e、f一定在圆周上，F点在圆柱面的右半柱面上，故其侧面投影f″不可见，如图3-13（b）所示。
作图：由e′向圆柱水平投影作投影连线，与水平投影后半圆相交可求得e，根据“三等”关系，可求得e″；同理，可求得F点的另外两个投影，由于f″不可见，故需加括号表示。
3．圆锥的三视图
圆锥表面是由圆锥面和一个底面组成，其中圆锥面的素线是锥顶与底面圆上的任一个点的连线，圆锥面可以看做是由无数根素线组成的。
为了绘图方便，如图3-14（a）所示，将圆锥底面水平放置，其主、左视图是两个相同的等腰三角形，俯视图为圆。主视图的等腰三角形的两腰是圆锥面左、右两条转向轮廓线的投影，左视图的等腰三角形的两腰是圆锥面前、后两条转向轮廓线的投影，如图3-14（b）所示，其作图步骤如下：
图3-14 圆锥的三视图
1）画主、左视图的轴线、俯视图的中心线；
2）由圆锥底面半径和高画出主、左视图等腰三角形及俯视图的圆。
4．圆锥表面取点
例3-4 如图3-15所示，已知圆锥表面一点N的正面投影n′，求作点N的另两面投影n、n″。
图3-15 圆锥表面的点
分析：圆锥面无积聚性，这里仅根据投影规律是无法直接求出其另外两个投影的，可以利用素线法或者辅助平面法求解。
1）素线法：过 N 点在圆锥面上作素线 SI，交底边圆于 I，然后利用点的投影规律，在素线上求出点N的另外两个投影，如图3-15所示。
2）辅助平面法：假设过N点作与底面平行的水平面，该水平面与锥面交于水平圆，该圆的正面投影和侧面投影均积聚为一条水平线，水平投影是反映实形的圆。求出这个水平圆的投影后，再利用点的投影规律，在该圆的投影上求出点N的另外两个投影，如图3-15所示。作图步骤如下：
① 素线法：连接s′n′并延长交底面投影于1′，求出SI的水平和侧面投影，根据“三等”关系，在SI的投影上可求得n、n″，如图3-16（a）所示。
图3-16 圆锥表面取点
② 辅助平面法：过 n′作与底面投影平行的水平线，求出该水平线与主视图回转轮廓线的交点2′，即确定水平圆的半径，在俯视图中画出水平圆的投影，根据“三等”关系，在水平圆的投影上可求得n、n″，如图3-16（b）所示。
5．圆球的三视图
圆球面可以看做由母线圆绕其自身的一直径旋转形成的，如图3-17（a）所示，圆球的三个视图均为直径相等的圆。其中主视图是前、后两个半球面的转向轮廓线的投影；俯视图是上、下两个半球面的转向轮廓线的投影；左视图是左、右两个半球面的转向轮廓线的投影，如图3-17（b）所示，其作图步骤如下：
图3-17 圆球的三视图
（1）画出三个视图的中心线；
（2）由圆球半径画出三个视图上直径相等的圆。
6．圆球表面取点
例3-5 如图3-18（a）所示，已知圆球表面A点的正面投影a′及B点的水平投影b，求作点A、B的另两面投影a、a″。
图3-18 圆球表面取点
分析：求圆球表面的点可以利用辅助平面法求解，过A点作一水平面，该水平面与球面交于水平圆，该圆的正面投影和侧面投影均积聚为一条水平线，水平投影是反映实形的圆。求出这个水平圆的投影后，再利用点的投影规律，在该圆的投影上求出点A的另外两个投影；点B在正面的回转轮廓线上，因此点B的另两个投影在该回转轮廓线的相应投影上，由于点B在右上半球面上，所以b″不可见，故需加括号表示。
作图：过a′作水平线，量出该水平线与圆相交部分的长，即确定水平圆的直径，在俯视图中画出水平圆的投影，根据“三等”关系，在水平圆的投影上可求得a、a″；同理可求得b、b″，如图3-18（b）所示。
7．圆环的三视图
圆环面可以看做是母线绕与它共面的回转轴线旋转一周形成的曲面，如图3-19（a）所示。将圆环的轴线作为铅垂线放置时，俯视图中细点画线圆是母线圆心运动轨迹的投影，两个同心粗实线圆分别是最大纬圆和最小纬圆的投影，主、左视图中两端的圆分别是圆环面最左、最右和最前、最后素线圆的投影，如图3-19（b）所示，其作图步骤如下：
图3-19 圆环的三视图
（1）画出三个视图的中心线；
（2）由母线圆半径画出主、左视图中素线圆的投影，并作出两圆的公切线；
（3）画出俯视图中细点画线圆和两个粗实线圆。
8．圆环表面取点
例3-6 如图3-20（a）所示，已知圆环表面一点C的水平投影c，求作点C的另两面投影c、c″。
图3-20 圆环表面取点
分析：求圆环表面的点可以利用辅助平面法求解，过点C作一水平面，该水平面与外环面交于水平圆，该圆的正面投影和侧面投影均积聚为一条水平线，水平投影是反映实形的圆。求出这个水平圆的投影后，再利用点的投影规律，可在该圆的投影上求出点C的另外两个投影。由于点C位于右前方的外环面上，所以c″不可见，故需加括号表示。
作图：在俯视图中过c作水平纬圆的水平投影，交中心线于1点，量出该水平纬圆的直径，作出水平纬圆的正面投影和侧面投影，根据“三等”关系，在水平纬圆的投影上可求得c、c″，如图3-20（b）所示。