2.2 点的三面投影及其投影特性

1．三面投影体系

国家标准《技术制图 投影法》规定，用相互垂直的三个平面作为投影面，在空间便组成了三面投影体系，如图2-2所示。其中，正立放置的投影面称为正投影面，用V表示；水平放置的投影面称为水平投影面，用H表示；侧立放置的投影面称为侧投影面，用W表示。三个投影面的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示，三根投影轴垂直交于一点，称为原点。

2．点的三面投影的形成

对于空间位于H面上方、V面前方、W面左侧的一点A，如图2-3（a）所示，用正投影法分别向 H、V、W 面投射，就得到点A在三个投影面上的投影a、a′、a″，分别称做点A的水平投影、正面投影和侧面投影。

一般将空间点用大写字母表示，如 A，B，C，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，点的投影用其对应的小写字母表示，如空间点A的水平投影、正面投影和侧面投影分别用a、a′、a″表示，点Ⅰ的水平投影、正面投影和侧面投影分别用1、1′、1″表示。

为了将点的三个投影画在一个平面上，规定V面不动，如图2-3（a）所示，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°，使H、V、W三投影面共面，得到点的三面投影图，画图时，则不必画出投影面的边框，如图2-3（c）所示。

3．点的三面投影特性

从图2-3可以得出点在三面投影体系中的投影特性：

1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

2）点的水平投影到OX的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax= a″az。

若已知点的两个投影，根据点的投影规律，可以求出点的第三个投影。

例2-1如图2-4（a）所示，已知点A的正面投影a′ 和水平投影a，求其侧面投影a″。

解 过a′作水平线交OZ轴于az，再在水平线上量取a″az=aax，得到a″，如图2-4（b）所示。

亦可如图2-4（c）所示，采用作45°斜线的方法求出a″。

4．点的投影与坐标之间的关系

如图2-5（a）所示，在三面投影体系中，三根投影轴及三个投影面可以构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用三个坐标值（xA、yA、zA）表示，则点A的投影与坐标之间的关系为：

a′az= aayh= xA= Aa″（点A到W面的距离）

aax= a″az=yA= Aa ′（点A到V面的距离）

a′ax= a″ayw=zA= Aa（点A到H面的距离）

5．两点的相对位置与重影点

两点的相对位置是指空间两点的上下、左右、前后位置关系，这种位置关系可以通过两点同面投影的相对位置或坐标大小来判断，即 x 坐标大的在左，y 坐标大的在前，z 坐标大的在上。

如图2-6所示，由于xa>xb，故A点在B点的左侧；同理，根据ya<yb，za>zb，可判断A点在B点的上方、后方。

若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称此两点为对该投影面的重影点。

如图2-7所示，点A、B为对水平投影面的重影点，从上往下看，A点挡住了B点，故a可见，b不可见，规定不可见的投影加括号表示；同理，C、D为对正投影面的重影点，c′可见，d′不可见，故加括号表示。