第1章 光的电磁理论

在光学发展的历史进程中，曾经出现过两种波动理论。一种是由惠更斯提出（1678年）、菲涅耳（A.J.Fresnel，1788—1827）等人发展了的机械波理论，它把光看做是机械振动在“以太”这种特殊介质中传播的波。另一种是麦克斯韦在19世纪60年代提出的电磁理论，认为光是一种波长很短的电磁波。由于后人的实验否定了“以太”这种特殊介质的存在，也由于电磁波理论在阐明光学现象方面非常成功，所以人们就自然地抛弃了机械波理论，而代之以电磁波理论。事实证明，建立在电磁理论基础上的光学学说是光学发展进程中的一个重大飞跃。

光的电磁理论的提出是人们在电磁学方面已有了深入研究的结果。到19世纪中叶，安培（A. M.Ampere，1775—1836）、法拉第（M.Faraday，1791—1867）等人已经总结出电场和磁场的一些实验规律，并且发现光学现象与电磁现象有着紧密联系（比如光的振动面在磁场中的旋转）。在此基础上，1864年麦克斯韦把电磁规律总结为麦克斯韦方程组，建立了完整的经典电磁理论；同时指出光也是一种电磁波，从而产生了光的电磁理论。光的电磁理论的确立，推动了光学及整个物理学的发展。现代光学尽管产生了许多新的领域，并且许多光学现象需要用量子理论来解释，但是光的电磁理论仍然是阐明大多数光学现象，以及掌握现代光学的一个重要的基础。本章将简要叙述光的电磁理论和它对一些光学现象所做的理论分析，使我们对光的电磁本性有更加深刻的认识。本章又是全书的理论基础。

1.1 光的电磁波性质

1.麦克斯韦方程组

电磁场的普遍规律总结为麦克斯韦方程组，它是麦克斯韦把稳恒电磁场（静电场和稳恒电流的磁场）的基本规律推广到交变电磁场的普遍情况而得到的。麦克斯韦方程组通常写成积分和微分两种形式。从方程组出发，结合具体的条件，可以定量地研究在这些给定条件下发生的光学现象，例如光的辐射和传播，光的反射、折射、干涉、衍射和光与物质相互作用的现象。

积分形式的麦克斯韦方程组为

式中，D、E、B和H分别为电感强度（电位移矢量）、电场强度、磁感强度和磁场强度，对dσ和dl的积分分别表示电磁场中任一闭合曲面和闭合回路上的积分，Q表示积分闭合曲面内包含的总电量，I表示积分闭合回路包围的传导电流。方程组第1式是熟知的高斯定理的数学表示；第2式表示磁场是无源场，不存在像电荷那样的“磁荷”；第3式是法拉第电磁感应定律的数学表示式；第4式则表示在交变电磁场情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场，也包括位移电流产生的磁场。

在实际应用中，积分形式的麦克斯韦方程组不适用于求解电磁场中某一给定点的场量这类问题，通常使用的是方程组的微分形式。要求得方程组的微分形式，可应用积分学中的定理把各有关积分变换为相应的微分方程式。麦克斯韦方程组的微分形式为

式中，ρ为电荷体密度，j为传导电流密度。

2.物质方程

在麦克斯韦方程组中，E和B是电磁场的基本物理量，它们代表介质中总的宏观电磁场，而D和H只是引进的两个辅助场量。E和D、B和H的关系与电磁场所在物质的性质有关。对于各向同性线性物质，它们有如下简单关系：

式中，ε和μ是两个标量，分别称为介电常数（或电容率）和磁导率。在真空中，ε=ε0 =8.8542 × 10 -12 C2/N·m2（库2/牛·米2），μ=μ0 =4π×10 -7 N· s2/C2（牛·秒2/库2）。对于非磁性物质，μ≈μ0。

另外，在导电物质中还有关系（欧姆定律）：

式中，σ称为电导率。式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）称做物质方程，它们描述物质在电磁场影响下的特性。在通过麦克斯韦方程组求解各个场量时，上述物质方程是必不可少的。

本书绝大部分内容涉及光波的电磁场在各向同性线性物质中的传播，只是第7章涉及在各向异性物质中的传播，这时D和E形式上还有式（1.3）那样的关系，但ε是一个张量，表明在一般情况下D和E不再同方向。在第7章的最后一节中，还涉及到非线性物质，在这一情况下，D不仅与E的一次式有关，而且与E的二次式、三次式等都有关系。

3.电磁场的波动性

从麦克斯韦方程组可直接得出两个结论：第一，任何随时间变化的磁场在周围空间产生电场，这种电场具有涡旋性质，电场的方向由左手定则决定；第二，任何随时间变化的电场（位移电流）在周围空间产生磁场，磁场是涡旋的，磁场的方向由右手定则决定。由此可见，电场和磁场紧密相联，其中一个起变化时，随即出现另一个，它们互相激发形成统一的场——电磁场。变化的电磁场可以以一定的速度向周围空间传播出去。设在空间某区域内电场有变化，那么在邻近的区域就要引起随时间变化的磁场，这变化的磁场又在较远的区域引起新的变化电场，接着这新的变化电场又在更远的区域引起新的变化磁场，变化的电场和磁场的交替产生，使电磁场传播到很远的区域。交变电磁场在空间以一定速度由近及远的传播即形成电磁波。

下面从麦克斯韦方程组出发，证明电磁场的传播具有波动性。为简单起见，讨论在无限大的各向同性均匀介质中的情况，这时ε=常数，μ=常数，并且在远离辐射源的区域，不存在自由电荷和传导电流（ρ=0，j=0），因而麦克斯韦方程组（1.2）简化为

取第3式的旋度，并将第4式代入，得到

根据场论公式[见附录A的式（A-4）]

由于 Δ·E=0，所以

因此得到

同样，在方程组（1.6）中消去电场，也可以得到磁场B的方程

若令

则E和B的方程化为

如式（1.8）和式（1.9）所示的偏微分方程称为波动方程，它们的通解是各种形式以速度v传播的波的叠加。E和B满足波动方程，表明电场和磁场的传播是以波动形式进行的，电磁波的传播速度

4.电磁波

麦克斯韦理论关于电磁波的结论是由后人的实验证实的。1889年，赫兹（H.Hertz，1857—1894）在实验中得到了波长为60cm的电磁波，并且观察了电磁波在金属镜面上的反射，在石蜡制成的棱镜中的折射及干涉现象。赫兹的实验不仅以无可置疑的事实证实了电磁波的存在，而且也证明了电磁波和光波的行为完全相同。

已经指出电磁波在介质中的传播速度由式（1.7）给出，因此，电磁波在真空中的传播速度

式中，ε0和μ0是真空中的介电常数和磁导率。

已知ε0 =8.8542 ×10 -12 C2/N·m2，μ0 =4π×10 -7 N·s2/C2，所以

这个数值与实验中测定的真空中光速的数值非常接近（现在测定的真空中光速的最精确的数值为c=2.99792458 ×108 m/s）。在历史上，麦克斯韦曾以此作为重要依据之一，预言光是一种电磁波[当时麦克斯韦利用韦伯（W.Weber，1804—1891）和科尔劳许（R.Kohlrausch，1809—1858）的实验结果计算出电磁波在真空中的速度为3.1074 ×108 m/s，而1849年斐索（A.H.L.Fizeau，1819—1896）测量出的光速为3.14858 ×108 m/s]。

现在已经知道，除了光波和无线电波外，X射线、γ射线也都是电磁波，它们的波长比光波波长更短，但它们在本质上与光波和无线电波完全相同。如果我们按照波长或频率把这些电磁波排列成谱，则有如图1.1所示的电磁波谱图。通常所说的光学区或光学频谱，包括紫外线、可见光和红外线，波长范围约从1nm（1nm=10 -7 cm）到1mm。可见光是人眼可以感觉到各种颜色的光波，在真空中的波长范围约从390nm到780nm（频率范围从7.69 ×1014 Hz到3.84 ×1014 Hz）。在电磁波谱图上，这是一个很窄的谱带。

电磁波在真空中的速度与在介质中的速度之比称为绝对折射率n（通常简称折射率），即

由式（1.7）和式（1.10），有

式中，εr和μr分别是相对介电常数和相对磁导率。由于除了磁性物质之外，大多数物质的μr≈1，因而得到

上式称为麦克斯韦关系式。表1.1列出了一些物质的的数值（对低频电场测出）和对于钠光（波长λ=589.3nm）的折射率n。可见，对于一些化学结构简单的气体，两者符合得很好。但是，对于许多液体和固体，两者相差较大。这是因为的数值（因而折射率n）实际上与频率有关（色散效应，参见1.9节），并且液体和固体的折射率一般随频率的变化较大，所以对于液体和固体，对高频的光波测出的折射率与在低频下测出的的数值自然相差较大。