1.3 球面波和柱面波

除平面波外，球面波和柱面波也是两种常见的波。在光学中，它们分别由点光源和线光源所产生。

1.3.1 球面波的波函数

假设在真空中或各向同性的均匀介质中的S点放一个点光源，容易想象，从S点发出的光波将以相同的速度向各个方向传播，经过一段时间以后，电磁振动所达到的各点将构成一个以S点为中心的球面（图1.8），即等相面（波面）是球面，故这种光波称为球面光波。

对于一个在某个方向上振动的振源（光源）发出的球面波，要求出它的矢量表达式并不容易。因为这时空间各点的场量不仅与它们到振源的距离有关，而且也与它们相对于振源振动方向的方位有关，这就是说场量的各个直角分量的相对大小与场点的方位有关。这样一来，如要用光波的矢量理论来讨论某些光学问题，就会使问题变得很复杂。再考虑到实际光源发出的光波的场方向随时间极快地无规则变化，使我们只能够研究场矢量的某种平均值。所以，一般在光学中常常忽略场的矢量性质，而把光波场的每一个直角分量孤立地看做标量场（光波场的每一个直角分量Ej满足标量波动方程），用标量场的理论来讨论问题。这样做虽然是一种近似，但对于大部分光学问题（如光的干涉、衍射）来说，所得到的结果是相当精确的。

下面我们从一个简单的考虑出发，来得到球面波的标量表达式。由图1.8所示的球面波的空间对称性，容易明白，只要研究从S点出发的某一方向（如方向）上各点的电磁场变化规律，就可以了解整个空间电磁场的情况。

我们仍然研究最简单的简谐（单色）波。考虑波动沿方向传播，显然距点光源S为r的P点的位相为（kr-ωt）（假定源点振动的初位相为零）。若P点振幅用Ar表示，则P点电场振动可以表示为

或以复数式表示

对于球面波来说，其振幅Ar是随距离r变化的，因为单位时间内通过任一球面（波面）的能量相同，而随着球面的扩大，单位时间内通过单位面积的能量将越来越小。设距源点S为单位距离的P1点和距源点S为r的P点的光强度分别用I1和IP表示，那么应有关系

因此

由于光强度与振幅的平方成正比，有

式中，A1是P1点的振幅。由以上两式可得Ar=A1/r，因此式（1.40）和式（1.41）应改写为A1

和

以上两式表示球面简谐波的波函数。容易看出，球面波的振幅不再是常量，它与离开波源的距离r成反比；球面波的等相面是r为常量的球面。

1.3.2 球面波的复振幅

把球面简谐波复数形式的波函数式（1.43）写为

同样可以把振幅和空间位相因子部分，即

称为球面简谐波的复振幅，并简单地以它代表一个球面简谐波。

在光学中，常常需要求球面波在某个平面上的复振幅分布。例如，在直角坐标系xyz中（图1.9），波源S的坐标为x0，y0，-z0，我们来求它发出的球面波在z=0平面（xy平面）上的复振幅分布。注意到波源S到z=0平面上任一点P（坐标为x，y）的距离为

因此由式（1.44）可得z=0平面上的复振幅分布为

这一函数形式比较复杂，不便于应用。在实际问题中，可以根据具体条件做近似处理。特别是，当考察的空间离开波源很远，考察平面的尺寸与距离r相比很小时，可以忽略球面波振幅随r的变化，并且可把球面波的波面视为平面，即球面波在考察区域内可视为平面波。图1.10表示了这一情形，可见当距离r增大时，球面波波面的一部分渐渐变为平面波面。在光学中，只要把光源放到足够远的位置，并且考察区域又比较小时，就可近似地把光波看成是平面波（平行光）；或者是把点光源放在透镜的前焦点上，利用透镜的折射将球面光波变为平面光波。至于考察区域离波源不是特别远时所能够做的近似处理，我们留在5.3节讨论。

最后，看一下图1.9中S发出的球面波的共轭波。它在z=0平面上的复振幅分布为

从位相因子可见，这是一个会聚的球面波（波矢量方向与矢径r方向相反），会聚中心S′和S对z=0平面成镜像对称（参见图1.9）。

1.3.3 柱面波的波函数

柱面波是具有无限长圆柱形波面的波。在光学中，通常利用单色平面波照明一个细长狭缝来获得接近于理想化的柱面光波（图1.11）。可以证明（方法与球面波的讨论类似），柱面波的振幅与成反比，它的波函数可以写为

式中，r是考察点到波源的垂直距离。同样，柱面波也可以简单地用复振幅来描述，即

[例题1.1] 证明单色平面波的波函数E=Acos（kz-ωt）是波动微分方程的解。

证：求E对z的一次和二次偏导数

再求E对t的一次和二次偏导数

因为所以

[例题1.2] 已知单色平面波的电场表示为

试写出相联系的磁场的表达式。

解：由麦克斯韦方程组（1.2）的第3式

因为Ey=Ez=0，且，故

或者

上式两边对t积分，得到

并且Hx=0，Hy=0，可见H和E互相垂直，两者同时又垂直于波的传播方向z，如图1.7所示。