2.4 机械零件的扭转
2.4.1 轴类零件的扭转内力和应力
在工程实际中经常见到如图2-10所示的机器中的传动轴和如图2-11所示的方向盘的操纵杆等构件，它们可简化为图2-12所示的计算简图。该类杆件的受力特点是：作用于其上的外力是一对转向相反、作用面与杆件横截面平行的外力偶矩，以M记之。在这样的外力偶矩作用下，杆件变形的特点是：杆的任意两个横截面围绕轴线作相对转动。杆件的这种变形称为扭转。
图2-10 机器中的传动轴
图2-11 方向盘的操纵杆
现在以受两外扭矩M作用的圆轴为例，分析扭转时的内力和应力（见图2-13）。
图2-12 计算简图
图2-13 圆轴受扭简图
利用截面法，在1-1处假想用截面将轴截分为二，取左段为分离体。根据平衡条件，知截面上存在一个与外扭矩M大小相等、方向相反的力偶矩，这个力偶矩就是杆件受扭转时横截面的内力，称为扭矩，用符号Mn表示。
由于应力可通过应变表现出来，故为了导出应力计算公式，可先找出应变的规律。如从圆轴上取两个相距为dx的横截面m-m和n-n，圆轴扭转时，该两截面的相对转动角为dϕ，如图2-14（a）所示。O1O2DA和O1O2CB为两个过轴线的纵截面。将上述4个截面所围成的楔形单元体截取出来，如图2-14（b）所示。根据平面假设，截面n-n如同刚性平面一样，相对于截面m-m绕轴线旋转了dϕ角度，截面上的半径O2C和O2D也转过了同样的角度，到达O2C′和O2D′的位置，矩形ABCD变为平行四边形ABC′ D′，直角改变量γ即为圆轴表面处的切应变。由图可见，在距轴线为任意半径ρ处，用与ABCD平行的截面所截取的矩形EFGH变形为EFG′ H′，相应的切应变为γρ，因为是小变形，γρ很小，由几何关系可得
式（2-10）中的dϕdx为扭转角ϕ沿轴线x的变化率，是x的函数，对具体给定的截面而言，它是常量，因此剪应变γρ沿圆轴半径成线性变化，离轴线越远，剪应变越大。圆轴表面处剪应变最大，并可看出，剪应变发生在与半径垂直的平面内，同一半径上的所有点应变均一样。这就是圆轴扭转时的变形规律，它是平面假设的必然结果。
图2-14 剪应力分布规律
根据实验，在弹性范围内，剪应力τ与剪应变γ之间的关系，也符合胡克定律，即
τ=Gγ （2-11）
将式（2-10）代入式（2-11），得到
式（2-12）说明，当圆轴材料一定时，剪应力τ也沿着截面半径按线性规律变化，即τρ与ρ成正比，其方向垂直于半径，并与扭矩Mn方向相符合，如图2-15所示。
式（2-12）只是表明了剪应力在横截面上的分布规律，还不能用于实际计算，因为式中的dϕ /dx尚未确定，需要通过建立截面上的扭矩Mn与剪应力τ之间的关系来确定。
在截面上距圆心ρ处取微面积dA（见图2-16），其上的微内力为τρdA，因τρ与半径垂直，该微内力对圆心的矩为ρτρdA，截面上所有微力矩的合力矩，即微力矩在整个横截面上的积分，应该是截面上的扭矩Mn，即
图2-15 截面上剪应力分布
图2-16 横截面内力与应力的静力学关系
令
，于是可以得到
式中：ρτ为横截面上距轴心为ρ处的剪应力；Mn为圆轴横截面上的扭矩；ρ为横截面上所求剪应力的点到轴心的距离；Iρ为横截面的极惯性矩。
式（2-13）为圆轴扭转时横截面上剪应力的计算公式，最大剪应力发生在距轴心最远的圆截面的边缘，即
。令
，于是
式中：WT为圆轴的抗扭截面模量，与极惯性矩Iρ一样，是仅与截面形状、尺寸有关的几何量。
2.4.2 轴类零件的扭转强度和刚度计算
1.扭转强度条件
圆轴扭转时要保证其正常工作，必须使最大剪应力不超过许用剪应力[]τ，即扭转强度条件为
在静载荷情况下，材料扭转的许用剪应力[τ]和许用应力[σ]之间的关系在2.3节中已经得到：塑性材料，[τ]=（0.6～0.8）[σ]；脆性材料，[τ]=（0.8～1.0）[τ]。所以，圆轴的极惯性矩
，
。
在空心轴的情况下，
。其中，D为空心轴的外径，d为空心轴的内径。有兴趣的读者可以自行推导。
图2-17 校核AB轴的扭转强度
【例2-5】由无缝钢管制成的汽车传动轴AB（见图2-17），外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢。使用时最大扭矩Tmax=1.5kN·m。如材料[τ]=60MPa，试校核AB轴的扭转强度。
解：由AB轴的截面积尺寸，计算抗扭截面模量为
轴的最大剪应力为
所以AB轴满足强度条件，是安全的。
2.扭转刚度条件
在机械设备中，对受扭圆轴不仅有强度要求，对扭转变形也有所限制。工程上，对受扭圆轴的刚度要求通常是限制轴的单位长度扭转角θ的最大值。所谓单位长度扭转角度，就是
则轴的扭转刚度条件为θmax≤θ。工程上习惯采用°/m（度/米）为单位长度扭转角的单位。结合式（2-16），上述刚度条件可表示成
式中：θmax为轴的最大单位长度扭转角，单位为°/m；Mmax为轴的最大扭矩（绝对值）；GIρ为轴的抗扭刚度；[θ]为单位长度许用扭转角。
【例2-6】设有A、B两个凸缘的圆轴（见图2-18（a）），在扭转外力偶矩m作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除m（见图2-18（b））。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Iρ1和G2Iρ2，试求轴内和圆筒内的扭矩。
图2-18 扭转剪切问题
解：由于圆筒与凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩M解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩M1和M2。设想用横截面把轴与圆筒切开，因这时已无外力偶矩，平衡方程是M1-M2=0。
焊接前轴在M作用下的扭转角为
。这就是凸缘B的水平直径相对于A转过的角度（见图2-18（c））。在圆筒与轴相焊接并解除M后，因受圆筒的阻抗，轴的上述变形不能完全恢复，最后协调的位置为aa。这时圆轴余留的扭转角为ϕ1，而圆筒的扭转角为ϕ2。显然，ϕ1+ϕ2=ϕ。由扭转角的公式
，得到
