第一版前言

本书由北京多所高等院校的六位数学教师通过多年的教学实践，共同编写而成.全书共分6章，第1章复变函数及其极限和连续性，由北京邮电学院杨延齐编写；第2章解析函数，由北京轻工业学院章栋恩编写；第4章复级数，由北京计算机学院唐兢编写；第3章复积分、第5章留数及其在积分计算中的应用、第6章保角映射，分别由北京理工大学刘泊涵、林民辉和祝同江编写.本书前4章由祝同江审稿，第5、6章分别由北京理工大学应用数学系葛渭高教授、张学莲教授审稿.

根据全国许多高等院校“工程数学——复变函数”教学的实际情况和教育改革的需要，按照1980年6月在北京举行的高等学校工科数学教材编审委员会扩大会议审定的工程数学教学大纲（草案），我们对本书各章的重点和难点进行过反复讨论，对超出上述大纲要求的内容标以“＊”号.考虑到该课程通常安排在工科大学第二学年讲授，它是工科大学生最后一年数学课程之一，在教学中应当注意学生阅读能力的培养.针对该课程内容多、计划学时少的实际情况，本书有些定理、公式的证明和有关例题将作为学生的课外或课内的自学阅读内容处理，这些内容标以“△”号，并且在每一节末附有阅读思考题、习题和答案，以便加深学生对有关内容的理解.其中有些习题也标以“△”号，可作为学生预习的习题超前布置下去，用来检查学生的自学阅读情况.

另外，为了便于读者自学阅读，本书除对内容的重点和难点增加了一些必要的解释和例题进行说明外，对基本概念、定理和公式的叙述及其证明也力求简便和严谨.与同类教材相比有许多不同之处，具体说明如下：

1.本书对泰勒（Taylor）级数展开定理中所给级数的收敛半径、留数定理、初等函数所构成保角映射的一一对应性及其解析表达式进行了比较严格的叙述或讨论.

2.为了使本书在理论叙述上自成体系，第1章中除增加了“在有界闭区域上（或闭曲线上）连续函数的模一定有界”定理外，还对辐角的多值性及其有关等式进行了更细致的讨论.这些内容在复积分和复级数许多定理的证明中，以及对辐角原理、保角映射概念的叙述都经常用到.

3.考虑到许多非重点工科院校不在计划学时内介绍保角映射的理论，可是他们也需要几种简单分式线性映射的有关知识.本书将把4种简单分式线性映射及其保圆性放到第1章作为映射（复变函数的几何解释）的例题和后续内容给出，以便有关专业选用.

4.针对许多学生经常把“函数u=u（x，y）和v=v（x，y）在点（x0，y0）可微，并且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程”错误地理解为函数f（z）=u+iv在点z0=x0+iy0解析的充要条件，本书将把该条件作为函数f（z）在一点可导的充要条件，放到2.1节导数定义之后给出.由此可以直接看出“函数在一点可导一定连续”的结论仍然成立.在此基础上，对函数解析的概念和解析的充要条件进行了更深入的讨论，以便读者对有关内容，以及对复变函数中将区域定义为连通的开集有进一步的理解.

5.考虑到复积分与对坐标曲线积分的内在联系和后续定理证明的需要，本书第3章在复习对坐标曲线积分与路径无关的几种充要条件的基础上，引出了柯西-古萨（Cauchy-Goursat）基本定理.然后给出了该定理的另一种叙述形式，并且对复闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式的条件进行了更简单的叙述.这些叙述便于读者理解和在计算中应用.另外，考虑到积分和式的极限不同于普通极限，对积分模的不等式的性质给出了比较严格的简单证明.

6.本书分别从函数的极限和数列极限的定义出发直接得到了两个类似的定理.这些定理便于学生理解和应用，使复变函数极限和复数列极限存在的充要条件的证明变得非常简单，也为许多定理的证明在文字叙述上提供了方便.

在复级数中，利用阿贝尔（Abel）引理直接得到了一个新定理，该定理描述了复数项幂级数与实数项幂级数收敛半径之间的内在联系.从它不仅可以看出复数项幂级数收敛半径的存在性，而且还可以直接看出求实数项幂级数收敛半径的检比法和检根法，对复数项幂级数仍然成立.

另外，对幂级数逐项微分、积分定理也给出了证明.并且补充了一个简单引理，使泰勒级数展开定理、洛朗（Laurent）级数展开定理的证明比较简单，也便于工科学生阅读.

7.鉴于留数与洛朗级数的内在联系，第5章首先介绍函数的孤立奇点及其留数的概念，使对孤立奇点分类深入的讨论变得比较自然；然后对留数计算也叙述得比较详细，针对某些特殊情形给出了简单的计算方法.并且给出了求极限的洛必达（L’Hospital）法则，以便在留数计算中应用.为了加强对洛朗级数的教学和实际应用的需要，推广了用留数计算定积分的三个公式的应用范围；并且针对某些特殊情况，增加了用洛朗级数系数的积分表达式来计算留数和积分的方法，其中包括积分闭曲线内含有无穷多个被积函数奇点的情形，这些方法比较简单.另外，对函数在点∞处留数的计算公式也用函数在该点邻域内的洛朗级数展开式给出了新的证明，其证明方法也非常简单.

8.为了便于自学和实际应用的需要，第6章中分式线性映射保对称性的证明是作为例题给出的，并且对广义圆周（在扩充复平面上）的各种情形进行了详细讨论.针对一般学生都感到困难的求解一一对应的保角映射问题，增加了比较多的例题；还对上半平面映射为上半平面、单位圆映射为单位圆的分式线性映射的应用，进行了举例说明.另外，对多角形映射定理也给出了新的叙述和证明，可供有关读者和工程技术人员阅读.

本书在编写过程中得到北京理工大学应用数学系、北京邮电学院基础部数学教研室、北京轻工业学院数学教研室、北京计算机学院数学教研室等单位的许多同志的大力支持，他们对本书的编写提出过许多修改意见和建议，借此表示衷心感谢.

由于我们学识水平所限，书中一定还有许多缺点和错误，殷切期望广大读者批评指正.

编者

1993年4月于北京