1.1.2 正弦交流电

在现代工农业生产和日常生活中，人们所用的大部分是交流电。大小和方向都随时间做周期性变化的电动势、电压和电流，统称为交流电。

由于常用的交流电是按正弦规律随时间变化的，因此也称为正弦交流电。

交流电有着极其广泛的应用。与直流电相比，它有许多独特的优点。首先，交流电可以利用变压器进行电压变换，便于远距离高压传输，以减少电路损耗；便于低压配电，可保证用电安全。其次，交流电动机比直流电动机构造简单、价格低廉、性能可靠，因此，现代发电厂发出的电几乎都是交流电，照明、动力、电热等大多数设备也都使用交流电。在电路分析计算时，同频率的正弦量加、减运算后，其结果仍为正弦量，频率保持不变，使电路分析计算较为简便。

1.正弦交流电的产生

法拉第发现电磁感应现象使人类“磁生电”的梦想成真。发电机就是根据电磁感应原理制成的。正弦交流电由交流发电机产生。

最简单的交流发电机模型如图1-1所示。线圈abcd在匀强磁场中绕固定转轴匀速转动，把线圈的两根引线焊接到随线圈一起转动的两个铜环上，铜环通过电刷与电流表连接。线圈每旋转一周，指针就左右摆动一次。这表明，转动的线圈里产生了感应电流，并且感应电流的大小和方向都随时间做周期性的变化——线圈中有交流电产生。

如图1-2所示为线圈的截面图。线圈abcd以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，当线圈转动到线圈平面与磁感线垂直位置时，线圈ab边和cd边的线速度方向都与磁感线平行，导线不切割磁感线，所以线圈中没有感应电流产生。我们把线圈平面与感应线垂直的位置叫中性面。设线圈在转动的起始时间 t=0，线圈与中性面的夹角为φ0，ts后线圈转过角度ωt，则t时刻线圈平面与中性面的夹角为ωt+φ0。从图中可以看出，ab、cd转动的线速度v与磁感线的夹角是ωt+φ0。设ab边和cd边的长度都为L，磁场的磁通密度为B，则线圈两边产生的感应电动势e ab=e b=B l v sin(ωt+φ0)。由于这两个电动势是串联的，因此在t时刻整个线圈产生的感应电动势e为

e=2Blvsin(ωt+φ0)

当线圈平面转动到与磁感线平行位置时，ab边和cd边都垂直切割磁感线。显然，此时线圈中产生的感应电动势最大，用 Em 表示。若线圈有 N 匝，面积为 S，则Em=2NBlv=NBωS。

因此，线圈产生的感应电动势又可表示为

e=2Blvsin(ωt+φ0)

式中，e表示t时刻电动势的瞬时值。交流电的瞬时值用小写字母表示，如电流瞬时值i，

电压瞬时值u。

Em称为电动势的最大值，也叫振幅或峰值，用大写字母加小写字母m表示，如电流最大值Im，电压最大值Um。

公式 e=E msin(ωt+φ0)叫电动势的瞬时值表达式，i=i msin(ωt+φ0)和u=u msin(ωt+φ0)分别是电流和电压的瞬时值表达式。它们统称为交流电的解析式，都是正弦量。

交流电的变化规律除用解析式表示外，还能用波形图直观地表示出来。如图1-3所示的是 e=Emsin(ωt+φ0)的波形图。当 t=0时，公式e=Emsinφ0即为初始值；当t=t1,(ωt+φ0)=π/2时，e=Em，出现最大值；当t=t2(ωt+φ0)=π时，e=0。同理，t=t3时，e=-Em；t=t4时，e=0；t=t5时，e=Emsin(ωt+φ0)回到初始值，电动势变化一周期。以后周而复始。

2.正弦交流电的三要素

（1）最大值

正弦交流电瞬时值表达式为

e=E msin(ω t+φe)

u=U msin(ω t+φu)

i=I msin(ω t+φi)

式中，在正弦符号前面的系数Em、Um、Im称为这些正弦量的最大值，它是交流电瞬时值中所能达到的最大值。从正弦交流电的波形图可知，交流电完成一次周期性变化时，正、负最大值各出现一次。

（2）初相

(ωt+φ0)称为交流电的相位，又称相角。它是一个随时间变化的量，不仅决定了交流电瞬时值的大小和方向，还可以用来比较交流电的变化步调。

计时开始时刻，即t=0时的相位φ0称为初相，它反映了交流电起始时刻的状态。正弦量的初相不同，初始值就不同，到达最大值和某一特定值所需时间也不同。

初相φ0=0波形图如图1-4（a）所示；φ0＞0时，波形沿横坐标向右平移了一个φ0角，如图1-4（b）所示；φ0＜0时，波形沿横坐标向左平移了一个φ0角，如图1-4（c）所示。

（3）角频率、周期和频率

角频率是描述正弦交流电变化快慢的物理量。我们把交流电每秒钟变化的电角度叫做交流电的角频率，用字母ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。

在工程中，常用周期或频率来表示交流电变化的快慢。交流电完成一次周期性变化所需的时间，叫做交流电的周期，用字母T表示，单位是秒（s）。交流电在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为交流电的频率，用字母f表示，单位是赫兹（Hz），简称赫。

根据定义，周期和频率互为倒数，即

T=1/f或f=1/T

因为交流电完成1次周期性变化所对应的电角度为2π，所用时间为T，所以角频率ω与周期T和频率f的关系是

ω=2π/T=2πf

我国采用50Hz作为电力标准频率，也称为工频交流电，其周期是0.02s，即20ms，角频率是100πrad/s或314rad/s，电流方向每秒钟变化100次。

任何一个正弦量的最大值、角频率和初相确定后，就可以写出它的解析式，得出这个正弦量任一时刻的瞬时值。因此，最大值、角频率和初相称为正弦量的三要素。

3.正弦交流电的相位差

设两个同频率的正弦交流电：

u=U msin(ω t+φu)

i=I msin(ω t+φi)

式中，(ωt+φu)是电压u的相位；(ωt+φi)是电流i的相位。

两个同频率正弦量的相位之差，叫做它们的相位差，用φ表示。这样，电压u和电流i的相位差为

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)= φu-φi

相位差是描述同频率正弦量相互关系的重要特征量。它表示两个同频率正弦量变化的步调，即在时间上超前或滞后到达正、负最大值或零值的关系。图1-5所示为两个同频率正弦电压和电流的相位关系。

在图1-5（a）中，φu＞φi，相位差φ=φu-φi＞0，称为电压u超前电流i角度φ，或称电流i滞后电压u角度φ。它表示电压u比电流i要早到达正（或负）最大值或零值的时间是φ/ω。

图1-5（b）中，u和i具有相同的初相位，即相位差φ=0，称为u与il同相；而u和i2相位正好相反，称为反相，即u与i2的相位差为±180°。

4.正弦交流电的有效值和平均值

交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。交流电 i 与直流电 I 分别通过两个相同的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相同，则该直流电的数值 I 就叫交流电的有效值。交流电有效值的表示方法与直流电相同，用大写字母表示，如E、U、I分别表示交流电的电动势、电压和电流的有效值。

交流电压表、电流表所测量的数值、各种交流电气设备铭牌上所标的额定电压和额定电流值、我们平时所说的交流电的值都是指有效值。以后凡涉及交流电的数值，只要没有特别说明，都是指有效值。

理论计算证明，正弦交流电的有效值和最大值之间满足下列关系：

我国照明电路的电压是220V，其最大值是220 2=311V，接入220V交流电路的电容器耐压值必须不小于311V。

在电子技术中，有时要求交流电的平均值。交流电压或电流在半个周期内所有瞬时值的平均数，称为该交流电压或电流的平均值。理论和实践都可以证明：交流电的平均值是最大值的2/π，即为最大值的0.637。