2.1 数制与编码

数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种，在嵌入式系统中常使用的有二进制、十进制和十六进制。

数制所使用的数码的个数称为基，数制的每一位所具有的值称为权。

2.1.1 进位计数制

1.十进制计数制

十进制的基为10，即它所使用的数码为0～9，共10个数字。十进制各位的权是以10为底的幂，每个数因所处位置不同，其值是不同的，每一位数是其右边相邻那位数的10倍。

计数规律：逢10进1。

任意一个十进制数（S）10，可以表示为

（S）10=kn-110n-1+kn-210n-2+…+k0100+k-110-1+k-210-2+…+k-m-110-m-1

式中，ki是0～9中的任意一个数字，m、n是正整数，10是十进制的基数。

【例2.1】 （2001.9）10=2×103+0×102+0×101+1×100+9×10-1

十进制在书写中通常可省去下标，如2001.9即表示（2001.9）10。

十进制是日常生活中常用的数制，人机交互也常采用十进制。

2.二进制计数制

二进制的基为2，即它所使用的数码为0、1，共两个数字。二进制各位的权是以2为底的幂，每个数因所处位置不同，其值是不同的，每一位数是其右边相邻那位数的2倍。

计数规律：逢2进1。

任意一个二进制数（S）2可以表示成

（S）2=kn-12n-1+kn-22n-2+…+k020+k-12-1+k-22-2+…+k-m-12-m-1

式中，ki只能取0或1，m、n是正整数，2是二进制的基数。

【例2.2】 （1101.101）2=l×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

二进制数只有两个数码，即0和1，在电子计算机中容易实现。例如，可以用高电平表示1，低电平表示0，或者用晶体管截止时的输出表示1，导通时的输出表示0。所以，采用二进制就可以利用电路进行计数工作。二进制数的运算规则类似于十进制，加法为逢2进1，减法为借1为2。利用加法和减法就可以进行乘法、除法及其他数值运算。

由于二进制位数太长，不易记忆和书写，所以人们又提出了十六进制的书写形式。

3.十六进制计数制

十六进制的基为16，即它所使用的数码为0～9和A～F，共16个数字。十六进制各位的权是以16为底的幂，每个数因所处位置不同，其值是不同的，每一位数是其右边相邻那位数的16倍。

计数规律：逢16进1。

任意一个十六进制数（S）16可以表示成

（S）16=kn-116n-1+kn-216n-2+…+k0160+k-116-1+k-216-2+…+k-m-116-m-1

式中，ki可取0，1，2，…，9，A，B，C，D，E，F这16个数码和字母之一，用A～F表示10～15；m、n是正整数；16为十六进制的基数。

【例2.3】 （8AE6）16=8×163+A×162+E×161+6×160

十六进制数在书写中可使用另一种表示方式，如（8AE6）16可表示为8AE6H。

2.1.2 进位计数制的相互转换

人们习惯使用的是十进制数，计算机采用的是二进制数，人们书写时又多采用十六进制数，因此，必然产生各种进位计数制之间的相互转换问题。

1.十进制数转换成十六进制数

一个十进制整数转换成十六进制数时，按除16取余的方法进行。

【例2.4】

转换结果=（725）10=（2D5）16。

一个十进制小数转换成十六进制小数时，可按乘16取整的方法进行。

【例2.5】

转换结果=（0.7875）10=（0.C99）16。

注意：小数转换不一定能算尽，只需算到一定精度的位数即可，因此可能会产生一些误差，但当位数较多时，这个误差就很小了。

如果一个十进制数既有整数部分又有小数部分，可将整数部分和小数部分分别进行十六进制数的等值转换，然后合并即可得到结果。

2.十六进制数转换成十进制数

十六进制数转换成等值的十进制数时，可用按权相加的方法进行。

【例2.6】

（1C4.68）16=1×162+C×161+4×160+6×16-1+8×16-2=256+192+4+0.375+0.03125=（452.40625）10

3.十六进制数与二进制数的转换

一位十六进制数表示的数值恰好相当于4位二进制数表示的数值，因此彼此之间的转换极为方便，只要从小数点开始分别向左右展开即可。

【例2.7】

（3AB4）16=（0011101010110100）2

（11111101.01001111）2=（FD.4F）16

可见，在计算机中用十六进制书写要比用二进制书写简短，而且用十六进制表示的数据信息很容易转换成二进制表示。这就是普遍使用十六进制数的原因。

当十进制数转换成二进制数时，可采用十六进制数作为中间过渡。

2.1.3 数码和字符的代码表示

1.术语

数码：代表一个确切的数字，如二进制数、八进制数等。

代码：特定的二进制数码组，是不同信号的代号，不一定有数的意义。

编码：n位二进制数可以组合成2n个不同的信息，给每个信息规定一个具体码组，这个过程叫做编码。

2.二进制码

自然码：有权码，每位代码都有固定权值，结构形式与二进制数完全相同。

循环码：无权码，每位代码无固定权值，任何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同。

自然二进制码和循环二进制码如表2.1所示。

表2.1 两种4位二进制编码

3.二-十进制码（BCD码）

BCD码是用二进制代码对十进制数进行编码，它既具有二进制码的形式（4位二进制码），又有十进制数的特点（每4位二进制码是1位十进制数）。BCD码有多种形式，单片机系统软件中常常用到8421BCD码，编码值与字符0～9的低4位码相同，易于实现人机交互。

【例2.8】

（1999）10=（0001100110011001）BCD

（0110100001000000）BCD=（6840）10

4.字母与字符的编码

嵌入式计算机系统不仅能够对数值数据进行处理，还能够对文本和其他非数值数据信息进行处理。计算机中这些非数值数据如字母、字符等都要用特定的二进制码表示。字母与字符用二进制码表示的方法很多，目前在计算机中普遍采用的是ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国标准信息交换码）。常见的ASCII码，采用7位二进制数（00H～7FH）表示一个字符，包括10个十进制数码0～9，52个英文大、小写字母（A～Z，a～z），32个专用符号和32个控制符号，共计128个字符。在128个字符中有96个是可打印字符，32个是不可打印的字符。ASCII字符编码如表2.2所示。

表2.2 ASCII码字符表

在计算机的存储单元中，一个ASCII码值占一个字节（8个二进制位），低7位（b6～b0）表示不同的字符代码，其最高位（b7）用做奇偶校验位。

除标准ASCII码外，有的公司通过使用字节最高位（b7）将ASCII码扩展到256个，增加80H～0FFH共128个字符，一般称为“扩充字符”，并非标准的ASCII码。